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# 二叉搜索树

如下图所示，<u>二叉搜索树（binary search tree）</u>满足以下条件。

1. 对于根节点，左子树中所有节点的值 $<$ 根节点的值 $<$ 右子树中所有节点的值。
2. 任意节点的左、右子树也是二叉搜索树，即同样满足条件 `1.` 。

![二叉搜索树](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png)

## 二叉搜索树的操作

我们将二叉搜索树封装为一个类 `BinarySearchTree` ，并声明一个成员变量 `root` ，指向树的根节点。

### 查找节点

给定目标节点值 `num` ，可以根据二叉搜索树的性质来查找。如下图所示，我们声明一个节点 `cur` ，从二叉树的根节点 `root` 出发，循环比较节点值 `cur.val` 和 `num` 之间的大小关系。

- 若 `cur.val < num` ，说明目标节点在 `cur` 的右子树中，因此执行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，说明目标节点在 `cur` 的左子树中，因此执行 `cur = cur.left` 。
- 若 `cur.val = num` ，说明找到目标节点，跳出循环并返回该节点。

=== "<1>"
    ![二叉搜索树查找节点示例](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png)

=== "<2>"
    ![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png)

=== "<3>"
    ![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png)

=== "<4>"
    ![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png)

二叉搜索树的查找操作与二分查找算法的工作原理一致，都是每轮排除一半情况。循环次数最多为二叉树的高度，当二叉树平衡时，使用 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：

```src
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{search}
```

### 插入节点

给定一个待插入元素 `num` ，为了保持二叉搜索树“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质，插入操作流程如下图所示。

1. **查找插入位置**：与查找操作相似，从根节点出发，根据当前节点值和 `num` 的大小关系循环向下搜索，直到越过叶节点（遍历至 `None` ）时跳出循环。
2. **在该位置插入节点**：初始化节点 `num` ，将该节点置于 `None` 的位置。

![在二叉搜索树中插入节点](binary_search_tree.assets/bst_insert.png)

在代码实现中，需要注意以下两点。

- 二叉搜索树不允许存在重复节点，否则将违反其定义。因此，若待插入节点在树中已存在，则不执行插入，直接返回。
- 为了实现插入节点，我们需要借助节点 `pre` 保存上一轮循环的节点。这样在遍历至 `None` 时，我们可以获取到其父节点，从而完成节点插入操作。

```src
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{insert}
```

与查找节点相同，插入节点使用 $O(\log n)$ 时间。

### 删除节点

先在二叉树中查找到目标节点，再将其删除。与插入节点类似，我们需要保证在删除操作完成后，二叉搜索树的“左子树 < 根节点 < 右子树”的性质仍然满足。因此，我们根据目标节点的子节点数量，分 0、1 和 2 三种情况，执行对应的删除节点操作。

如下图所示，当待删除节点的度为 $0$ 时，表示该节点是叶节点，可以直接删除。

![在二叉搜索树中删除节点（度为 0 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png)

如下图所示，当待删除节点的度为 $1$ 时，将待删除节点替换为其子节点即可。

![在二叉搜索树中删除节点（度为 1 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png)

当待删除节点的度为 $2$ 时，我们无法直接删除它，而需要使用一个节点替换该节点。由于要保持二叉搜索树“左子树 $<$ 根节点 $<$ 右子树”的性质，**因此这个节点可以是右子树的最小节点或左子树的最大节点**。

假设我们选择右子树的最小节点（中序遍历的下一个节点），则删除操作流程如下图所示。

1. 找到待删除节点在“中序遍历序列”中的下一个节点，记为 `tmp` 。
2. 用 `tmp` 的值覆盖待删除节点的值，并在树中递归删除节点 `tmp` 。

=== "<1>"
    ![在二叉搜索树中删除节点（度为 2 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png)

=== "<2>"
    ![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png)

=== "<3>"
    ![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png)

=== "<4>"
    ![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png)

删除节点操作同样使用 $O(\log n)$ 时间，其中查找待删除节点需要 $O(\log n)$ 时间，获取中序遍历后继节点需要 $O(\log n)$ 时间。示例代码如下：

```src
[file]{binary_search_tree}-[class]{binary_search_tree}-[func]{remove}
```

### 中序遍历有序

如下图所示，二叉树的中序遍历遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的遍历顺序，而二叉搜索树满足“左子节点 $<$ 根节点 $<$ 右子节点”的大小关系。

这意味着在二叉搜索树中进行中序遍历时，总是会优先遍历下一个最小节点，从而得出一个重要性质：**二叉搜索树的中序遍历序列是升序的**。

利用中序遍历升序的性质，我们在二叉搜索树中获取有序数据仅需 $O(n)$ 时间，无须进行额外的排序操作，非常高效。

![二叉搜索树的中序遍历序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png)

## 二叉搜索树的效率

给定一组数据，我们考虑使用数组或二叉搜索树存储。观察下表，二叉搜索树的各项操作的时间复杂度都是对数阶，具有稳定且高效的性能。只有在高频添加、低频查找删除数据的场景下，数组比二叉搜索树的效率更高。

<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 数组与搜索树的效率对比 </p>

|          | 无序数组 | 二叉搜索树  |
| -------- | -------- | ----------- |
| 查找元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |
| 插入元素 | $O(1)$   | $O(\log n)$ |
| 删除元素 | $O(n)$   | $O(\log n)$ |

在理想情况下，二叉搜索树是“平衡”的，这样就可以在 $\log n$ 轮循环内查找任意节点。

然而，如果我们在二叉搜索树中不断地插入和删除节点，可能导致二叉树退化为下图所示的链表，这时各种操作的时间复杂度也会退化为 $O(n)$ 。

![二叉搜索树退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png)

## 二叉搜索树常见应用

- 用作系统中的多级索引，实现高效的查找、插入、删除操作。
- 作为某些搜索算法的底层数据结构。
- 用于存储数据流，以保持其有序状态。