You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
hello-algo/zh-hant/docs/chapter_searching/binary_search.md

84 lines
4.8 KiB

feat: Traditional Chinese version (#1163) * First commit * Update mkdocs.yml * Translate all the docs to traditional Chinese * Translate the code files. * Translate the docker file * Fix mkdocs.yml * Translate all the figures from SC to TC * 二叉搜尋樹 -> 二元搜尋樹 * Update terminology. * Update terminology * 构造函数/构造方法 -> 建構子 异或 -> 互斥或 * 擴充套件 -> 擴展 * constant - 常量 - 常數 * 類 -> 類別 * AVL -> AVL 樹 * 數組 -> 陣列 * 係統 -> 系統 斐波那契數列 -> 費波那契數列 運算元量 -> 運算量 引數 -> 參數 * 聯絡 -> 關聯 * 麵試 -> 面試 * 面向物件 -> 物件導向 歸併排序 -> 合併排序 范式 -> 範式 * Fix 算法 -> 演算法 * 錶示 -> 表示 反碼 -> 一補數 補碼 -> 二補數 列列尾部 -> 佇列尾部 區域性性 -> 區域性 一摞 -> 一疊 * Synchronize with main branch * 賬號 -> 帳號 推匯 -> 推導 * Sync with main branch * First commit * Update mkdocs.yml * Translate all the docs to traditional Chinese * Translate the code files. * Translate the docker file * Fix mkdocs.yml * Translate all the figures from SC to TC * 二叉搜尋樹 -> 二元搜尋樹 * Update terminology * 构造函数/构造方法 -> 建構子 异或 -> 互斥或 * 擴充套件 -> 擴展 * constant - 常量 - 常數 * 類 -> 類別 * AVL -> AVL 樹 * 數組 -> 陣列 * 係統 -> 系統 斐波那契數列 -> 費波那契數列 運算元量 -> 運算量 引數 -> 參數 * 聯絡 -> 關聯 * 麵試 -> 面試 * 面向物件 -> 物件導向 歸併排序 -> 合併排序 范式 -> 範式 * Fix 算法 -> 演算法 * 錶示 -> 表示 反碼 -> 一補數 補碼 -> 二補數 列列尾部 -> 佇列尾部 區域性性 -> 區域性 一摞 -> 一疊 * Synchronize with main branch * 賬號 -> 帳號 推匯 -> 推導 * Sync with main branch * Update terminology.md * 操作数量(num. of operations)-> 操作數量 * 字首和->前綴和 * Update figures * 歸 -> 迴 記憶體洩漏 -> 記憶體流失 * Fix the bug of the file filter * 支援 -> 支持 Add zh-Hant/README.md * Add the zh-Hant chapter covers. Bug fixes. * 外掛 -> 擴充功能 * Add the landing page for zh-Hant version * Unify the font of the chapter covers for the zh, en, and zh-Hant version * Move zh-Hant/ to zh-hant/ * Translate terminology.md to traditional Chinese
7 months ago
# 二分搜尋
<u>二分搜尋binary search</u>是一種基於分治策略的高效搜尋演算法。它利用資料的有序性,每輪縮小一半搜尋範圍,直至找到目標元素或搜尋區間為空為止。
!!! question
給定一個長度為 $n$ 的陣列 `nums` ,元素按從小到大的順序排列且不重複。請查詢並返回元素 `target` 在該陣列中的索引。若陣列不包含該元素,則返回 $-1$ 。示例如下圖所示。
![二分搜尋示例資料](binary_search.assets/binary_search_example.png)
如下圖所示,我們先初始化指標 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ,分別指向陣列首元素和尾元素,代表搜尋區間 $[0, n - 1]$ 。請注意,中括號表示閉區間,其包含邊界值本身。
接下來,迴圈執行以下兩步。
1. 計算中點索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ,其中 $\lfloor \: \rfloor$ 表示向下取整操作。
2. 判斷 `nums[m]``target` 的大小關係,分為以下三種情況。
1.`nums[m] < target` 時,說明 `target` 在區間 $[m + 1, j]$ 中,因此執行 $i = m + 1$ 。
2.`nums[m] > target` 時,說明 `target` 在區間 $[i, m - 1]$ 中,因此執行 $j = m - 1$ 。
3.`nums[m] = target` 時,說明找到 `target` ,因此返回索引 $m$ 。
若陣列不包含目標元素,搜尋區間最終會縮小為空。此時返回 $-1$ 。
=== "<1>"
![二分搜尋流程](binary_search.assets/binary_search_step1.png)
=== "<2>"
![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)
=== "<3>"
![binary_search_step3](binary_search.assets/binary_search_step3.png)
=== "<4>"
![binary_search_step4](binary_search.assets/binary_search_step4.png)
=== "<5>"
![binary_search_step5](binary_search.assets/binary_search_step5.png)
=== "<6>"
![binary_search_step6](binary_search.assets/binary_search_step6.png)
=== "<7>"
![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
值得注意的是,由於 $i$ 和 $j$ 都是 `int` 型別,**因此 $i + j$ 可能會超出 `int` 型別的取值範圍**。為了避免大數越界,我們通常採用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 來計算中點。
程式碼如下所示:
```src
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search}
```
**時間複雜度為 $O(\log n)$** :在二分迴圈中,區間每輪縮小一半,因此迴圈次數為 $\log_2 n$ 。
**空間複雜度為 $O(1)$** :指標 $i$ 和 $j$ 使用常數大小空間。
## 區間表示方法
除了上述雙閉區間外,常見的區間表示還有“左閉右開”區間,定義為 $[0, n)$ ,即左邊界包含自身,右邊界不包含自身。在該表示下,區間 $[i, j)$ 在 $i = j$ 時為空。
我們可以基於該表示實現具有相同功能的二分搜尋演算法:
```src
[file]{binary_search}-[class]{}-[func]{binary_search_lcro}
```
如下圖所示,在兩種區間表示下,二分搜尋演算法的初始化、迴圈條件和縮小區間操作皆有所不同。
由於“雙閉區間”表示中的左右邊界都被定義為閉區間,因此透過指標 $i$ 和指標 $j$ 縮小區間的操作也是對稱的。這樣更不容易出錯,**因此一般建議採用“雙閉區間”的寫法**。
![兩種區間定義](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)
## 優點與侷限性
二分搜尋在時間和空間方面都有較好的效能。
- 二分搜尋的時間效率高。在大資料量下,對數階的時間複雜度具有顯著優勢。例如,當資料大小 $n = 2^{20}$ 時,線性查詢需要 $2^{20} = 1048576$ 輪迴圈,而二分搜尋僅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 輪迴圈。
- 二分搜尋無須額外空間。相較於需要藉助額外空間的搜尋演算法(例如雜湊查詢),二分搜尋更加節省空間。
然而,二分搜尋並非適用於所有情況,主要有以下原因。
- 二分搜尋僅適用於有序資料。若輸入資料無序,為了使用二分搜尋而專門進行排序,得不償失。因為排序演算法的時間複雜度通常為 $O(n \log n)$ ,比線性查詢和二分搜尋都更高。對於頻繁插入元素的場景,為保持陣列有序性,需要將元素插入到特定位置,時間複雜度為 $O(n)$ ,也是非常昂貴的。
- 二分搜尋僅適用於陣列。二分搜尋需要跳躍式(非連續地)訪問元素,而在鏈結串列中執行跳躍式訪問的效率較低,因此不適合應用在鏈結串列或基於鏈結串列實現的資料結構。
- 小資料量下,線性查詢效能更佳。線上性查詢中,每輪只需 1 次判斷操作;而在二分搜尋中,需要 1 次加法、1 次除法、1 ~ 3 次判斷操作、1 次加法(減法),共 4 ~ 6 個單元操作;因此,當資料量 $n$ 較小時,線性查詢反而比二分搜尋更快。