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# 二叉树遍历

从物理结构的角度来看，树是一种基于链表的数据结构，因此其遍历方式是通过指针逐个访问节点。然而，树是一种非线性数据结构，这使得遍历树比遍历链表更加复杂，需要借助搜索算法来实现。

二叉树常见的遍历方式包括层序遍历、前序遍历、中序遍历和后序遍历等。

## 层序遍历

如下图所示，<u>层序遍历（level-order traversal）</u>从顶部到底部逐层遍历二叉树，并在每一层按照从左到右的顺序访问节点。

层序遍历本质上属于<u>广度优先遍历（breadth-first traversal）</u>，也称<u>广度优先搜索（breadth-first search, BFS）</u>，它体现了一种“一圈一圈向外扩展”的逐层遍历方式。

![二叉树的层序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_bfs.png)

### 代码实现

广度优先遍历通常借助“队列”来实现。队列遵循“先进先出”的规则，而广度优先遍历则遵循“逐层推进”的规则，两者背后的思想是一致的。实现代码如下：

```src
[file]{binary_tree_bfs}-[class]{}-[func]{level_order}
```

### 复杂度分析

- **时间复杂度为 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
- **空间复杂度为 $O(n)$** ：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。

## 前序、中序、后序遍历

相应地，前序、中序和后序遍历都属于<u>深度优先遍历（depth-first traversal）</u>，也称<u>深度优先搜索（depth-first search, DFS）</u>，它体现了一种“先走到尽头，再回溯继续”的遍历方式。

下图展示了对二叉树进行深度优先遍历的工作原理。**深度优先遍历就像是绕着整棵二叉树的外围“走”一圈**，在每个节点都会遇到三个位置，分别对应前序遍历、中序遍历和后序遍历。

![二叉搜索树的前序、中序、后序遍历](binary_tree_traversal.assets/binary_tree_dfs.png)

### 代码实现

深度优先搜索通常基于递归实现：

```src
[file]{binary_tree_dfs}-[class]{}-[func]{post_order}
```

!!! tip

    深度优先搜索也可以基于迭代实现，有兴趣的读者可以自行研究。

下图展示了前序遍历二叉树的递归过程，其可分为“递”和“归”两个逆向的部分。

1. “递”表示开启新方法，程序在此过程中访问下一个节点。
2. “归”表示函数返回，代表当前节点已经访问完毕。

=== "<1>"
    ![前序遍历的递归过程](binary_tree_traversal.assets/preorder_step1.png)

=== "<2>"
    ![preorder_step2](binary_tree_traversal.assets/preorder_step2.png)

=== "<3>"
    ![preorder_step3](binary_tree_traversal.assets/preorder_step3.png)

=== "<4>"
    ![preorder_step4](binary_tree_traversal.assets/preorder_step4.png)

=== "<5>"
    ![preorder_step5](binary_tree_traversal.assets/preorder_step5.png)

=== "<6>"
    ![preorder_step6](binary_tree_traversal.assets/preorder_step6.png)

=== "<7>"
    ![preorder_step7](binary_tree_traversal.assets/preorder_step7.png)

=== "<8>"
    ![preorder_step8](binary_tree_traversal.assets/preorder_step8.png)

=== "<9>"
    ![preorder_step9](binary_tree_traversal.assets/preorder_step9.png)

=== "<10>"
    ![preorder_step10](binary_tree_traversal.assets/preorder_step10.png)

=== "<11>"
    ![preorder_step11](binary_tree_traversal.assets/preorder_step11.png)

### 复杂度分析

- **时间复杂度为 $O(n)$** ：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间。
- **空间复杂度为 $O(n)$** ：在最差情况下，即树退化为链表时，递归深度达到 $n$ ，系统占用 $O(n)$ 栈帧空间。