hello-algo/docs/chapter_tree/binary_tree.md

---
comments: true
---

# 二叉树

「二叉树 Binary Tree」是一种非线性数据结构，代表着祖先与后代之间的派生关系，体现着“一分为二”的分治逻辑。类似于链表，二叉树也是以结点为单位存储的，结点包含「值」和两个「指针」。

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 链表结点类 */
    class TreeNode {
        int val;         // 结点值
        TreeNode left;   // 左子结点指针
        TreeNode right;  // 右子结点指针
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 链表结点结构体 */
    struct TreeNode {
        int val;          // 结点值
        TreeNode *left;   // 左子结点指针
        TreeNode *right;  // 右子结点指针
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
    ```

=== "Python"

    ```python title=""
    """ 链表结点类 """
    class TreeNode:
        def __init__(self, val=None, left=None, right=None):
            self.val = val      # 结点值
            self.left = left    # 左子结点指针
            self.right = right  # 右子结点指针
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    /* 链表结点类 */
    type TreeNode struct {
        Val   int
        Left  *TreeNode
        Right *TreeNode
    }
    /* 结点初始化方法 */
    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
        return &TreeNode{
            Left:  nil,
            Right: nil,
            Val:   v,
        }
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title=""
    /* 链表结点类 */
    function TreeNode(val, left, right) {
        this.val = (val === undefined ? 0 : val); // 结点值
        this.left = (left === undefined ? null : left); // 左子结点指针
        this.right = (right === undefined ? null : right); // 右子结点指针
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    /* 链表结点类 */
    class TreeNode {
        val: number;
        left: TreeNode | null;
        right: TreeNode | null;
    
        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 结点值
            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子结点指针
            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子结点指针
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title=""
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    /* 链表结点类 */
    class TreeNode {
        int val;          // 结点值
        TreeNode? left;   // 左子结点指针
        TreeNode? right;  // 右子结点指针
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""

    ```

结点的两个指针分别指向「左子结点 Left Child Node」和「右子结点 Right Child Node」，并且称该结点为两个子结点的「父结点 Parent Node」。给定二叉树某结点，将左子结点以下的树称为该结点的「左子树 Left Subtree」，右子树同理。

除了叶结点外，每个结点都有子结点和子树。例如，若将下图的「结点 2」看作父结点，那么其左子结点和右子结点分别为「结点 4」和「结点 5」，左子树和右子树分别为「结点 4 及其以下结点形成的树」和「结点 5 及其以下结点形成的树」。

![binary_tree_definition](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

<p align="center"> Fig. 子结点与子树 </p>

## 二叉树常见术语

二叉树的术语较多，建议尽量理解并记住。后续可能遗忘，可以在需要使用时回来查看确认。

- 「根结点 Root Node」：二叉树最顶层的结点，其没有父结点；
- 「叶结点 Leaf Node」：没有子结点的结点，其两个指针都指向 $\text{null}$ ；
- 结点所处「层 Level」：从顶至底依次增加，根结点所处层为 1 ；
- 结点「度 Degree」：结点的子结点数量。二叉树中，度的范围是 0, 1, 2 ；
- 「边 Edge」：连接两个结点的边，即结点指针；
- 二叉树「高度」：二叉树中根结点到最远叶结点走过边的数量；
- 结点「深度 Depth」 ：根结点到该结点走过边的数量；
- 结点「高度 Height」：最远叶结点到该结点走过边的数量；

![binary_tree_terminology](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的常见术语 </p>

!!! tip "高度与深度的定义"

    值得注意，我们通常将「高度」和「深度」定义为“走过边的数量”，而有些题目或教材会将其定义为“走过结点的数量”，此时高度或深度都需要 + 1 。

## 二叉树基本操作

**初始化二叉树**。与链表类似，先初始化结点，再构建引用指向（即指针）。

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    // 初始化结点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    """ 初始化二叉树 """
    # 初始化节点
    n1 = TreeNode(val=1)
    n2 = TreeNode(val=2)
    n3 = TreeNode(val=3)
    n4 = TreeNode(val=4)
    n5 = TreeNode(val=5)
    # 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    n1 := NewTreeNode(1)
    n2 := NewTreeNode(2)
    n3 := NewTreeNode(3)
    n4 := NewTreeNode(4)
    n5 := NewTreeNode(5)
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.Left = n2
    n1.Right = n3
    n2.Left = n4
    n2.Right = n5
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree.js"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化结点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建引用指向（即指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"

    ```

**插入与删除结点**。与链表类似，插入与删除结点都可以通过修改指针实现。

![binary_tree_add_remove](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

<p align="center"> Fig. 在二叉树中插入与删除结点 </p>

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 插入与删除结点 */
    TreeNode* P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除结点 P
    n1->left = n2;
    ```

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    """ 插入与删除结点 """
    p = TreeNode(0)
    # 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = p
    p.left = n2
    # 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 插入与删除结点 */
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    p := NewTreeNode(0)
    n1.Left = p
    p.Left = n2
    // 删除结点 P
    n1.Left = n2
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title="binary_tree.js"
    /* 插入与删除结点 */
    let P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 插入与删除结点 */
    const P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 插入与删除结点 */
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入结点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除结点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"

    ```

!!! note

    插入结点会改变二叉树的原有逻辑结构，删除结点往往意味着删除了该结点的所有子树。因此，二叉树中的插入与删除一般都是由一套操作配合完成的，这样才能实现有意义的操作。

## 常见二叉树类型

### 完美二叉树

「完美二叉树 Perfect Binary Tree」的所有层的结点都被完全填满。在完美二叉树中，所有结点的度 = 2 ；若树高度 $= h$ ，则结点总数 $= 2^{h+1} - 1$ ，呈标准的指数级关系，反映着自然界中常见的细胞分裂。

!!! tip

    在中文社区中，完美二叉树常被称为「满二叉树」，请注意与完满二叉树区分。

![perfect_binary_tree](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)

### 完全二叉树

「完全二叉树 Complete Binary Tree」只有最底层的结点未被填满，且最底层结点尽量靠左填充。

**完全二叉树非常适合用数组来表示**。如果按照层序遍历序列的顺序来存储，那么空结点 `null` 一定全部出现在序列的尾部，因此我们就可以不用存储这些 null 了。

![complete_binary_tree](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)

### 完满二叉树

「完满二叉树 Full Binary Tree」除了叶结点之外，其余所有结点都有两个子结点。

![full_binary_tree](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)

### 平衡二叉树

「平衡二叉树 Balanced Binary Tree」中任意结点的左子树和右子树的高度之差的绝对值 $\leq 1$ 。

![balanced_binary_tree](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)

## 二叉树的退化

当二叉树的每层的结点都被填满时，达到「完美二叉树」；而当所有结点都偏向一边时，二叉树退化为「链表」。

- 完美二叉树是一个二叉树的“最佳状态”，可以完全发挥出二叉树“分治”的优势；
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ ；

![binary_tree_corner_cases](binary_tree.assets/binary_tree_corner_cases.png)

<p align="center"> Fig. 二叉树的最佳和最差结构 </p>

如下表所示，在最佳和最差结构下，二叉树的叶结点数量、结点总数、高度等达到极大或极小值。

<div class="center-table" markdown>

|                               | 完美二叉树 | 链表         |
| ----------------------------- | ---------- | ---------- |
| 第 $i$ 层的结点数量    | $2^{i-1}$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的叶结点数量 | $2^h$          | $1$     |
| 树的高度为 $h$ 时的结点总数 | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$     |
| 树的结点总数为 $n$ 时的高度 | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$     |

</div>

## 二叉树表示方式 *

我们一般使用二叉树的「链表表示」，即存储单位为结点 `TreeNode` ，结点之间通过指针（引用）相连接。本文前述示例代码展示了二叉树在链表表示下的各项基本操作。

那能否可以用「数组表示」二叉树呢？答案是肯定的。先来分析一个简单案例，给定一个「完美二叉树」，将结点按照层序遍历的顺序编号（从 0 开始），那么可以推导得出父结点索引与子结点索引之间的「映射公式」：**设结点的索引为 $i$ ，则该结点的左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$** 。

**本质上，映射公式的作用就是链表中的指针**。对于层序遍历序列中的任意结点，我们都可以使用映射公式来访问子结点。因此，可以直接使用层序遍历序列（即数组）来表示完美二叉树。

![array_representation_mapping](binary_tree.assets/array_representation_mapping.png)

然而，完美二叉树只是个例，二叉树中间层往往存在许多空结点（即 `null` ），而层序遍历序列并不包含这些空结点，并且我们无法单凭序列来猜测空结点的数量和分布位置，**即理论上存在许多种二叉树都符合该层序遍历序列**。显然，这种情况无法使用数组来存储二叉树。

![array_representation_without_empty](binary_tree.assets/array_representation_without_empty.png)

为了解决此问题，考虑按照完美二叉树的形式来表示所有二叉树，**即在序列中使用特殊符号来显式地表示“空位”**。如下图所示，这样处理后，序列（数组）就可以唯一表示二叉树了。

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 int 的包装类 Integer ，就可以使用 null 来标记空位
    Integer[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 为了符合数据类型为 int ，使用 int 最大值标记空位
    // 该方法的使用前提是没有结点的值 = INT_MAX
    vector<int> tree = { 1, 2, 3, 4, INT_MAX, 6, 7, 8, 9, INT_MAX, INT_MAX, 12, INT_MAX, INT_MAX, 15 };
    ```

=== "Python"

    ```python title=""
    """ 二叉树的数组表示 """
    # 直接使用 None 来表示空位
    tree = [1, 2, 3, 4, None, 6, 7, 8, 9, None, None, 12, None, None, 15]
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    
    ```

=== "JavaScript"

    ```js title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 直接使用 null 来表示空位
    let tree = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 直接使用 null 来表示空位
    let tree: (number | null)[] = [1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15];
    ```

=== "C"

    ```c title=""
    
    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    /* 二叉树的数组表示 */
    // 使用 int? 可空类型 ，就可以使用 null 来标记空位
    int?[] tree = { 1, 2, 3, 4, null, 6, 7, 8, 9, null, null, 12, null, null, 15 };
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""

    ```

![array_representation_with_empty](binary_tree.assets/array_representation_with_empty.png)

回顾「完全二叉树」的定义，其只有最底层有空结点，并且最底层的结点尽量靠左，因而所有空结点都一定出现在层序遍历序列的末尾。**因为我们先验地确定了空位的位置，所以在使用数组表示完全二叉树时，可以省略存储“空位”**。因此，完全二叉树非常适合使用数组来表示。

![array_representation_complete_binary_tree](binary_tree.assets/array_representation_complete_binary_tree.png)

数组表示有两个优点： 一是不需要存储指针，节省空间；二是可以随机访问结点。然而，当二叉树中的“空位”很多时，数组中只包含很少结点的数据，空间利用率很低。