yetao
/
hello-algo
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git
1
0
Fork 0
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
Branches Tags
${ item.name }
Create tag ${ searchTerm }
Create branch ${ searchTerm }
from '1b95dc55d0'
${ noResults }
hello-algo/zh-Hant/docs/chapter_searching/binary_search_insertion.md

649 lines
32 KiB
Raw Normal View History Unescape

build
8 months ago
---
comments: true
---
# 10.2   二分搜尋插入點
二分搜尋不僅可用於搜尋目標元素，還可用於解決許多變種問題，比如搜尋目標元素的插入位置。
## 10.2.1   無重複元素的情況
!!! question
給定一個長度為 $n$ 的有序陣列 `nums` 和一個元素 `target` ，陣列不存在重複元素。現將 `target` 插入陣列 `nums` 中，並保持其有序性。若陣列中已存在元素 `target` ，則插入到其左方。請返回插入後 `target` 在陣列中的索引。示例如圖 10-4 所示。
![二分搜尋插入點示例資料](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_example.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 10-4 &nbsp; 二分搜尋插入點示例資料 </p>
如果想複用上一節的二分搜尋程式碼，則需要回答以下兩個問題。
**問題一**：當陣列中包含 `target` 時，插入點的索引是否是該元素的索引？
題目要求將 `target` 插入到相等元素的左邊，這意味著新插入的 `target` 替換了原來 `target` 的位置。也就是說，**當陣列包含 `target` 時，插入點的索引就是該 `target` 的索引**。
**問題二**：當陣列中不存在 `target` 時，插入點是哪個元素的索引？
進一步思考二分搜尋過程：當 `nums[m] < target` 時 $i$ 移動，這意味著指標 $i$ 在向大於等於 `target` 的元素靠近。同理，指標 $j$ 始終在向小於等於 `target` 的元素靠近。
因此二分結束時一定有：$i$ 指向首個大於 `target` 的元素，$j$ 指向首個小於 `target` 的元素。**易得當陣列不包含 `target` 時，插入索引為 $i$** 。程式碼如下所示：
=== "Python"
```python title="binary_search_insertion.py"
def binary_search_insertion_simple(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分搜尋插入點（無重複元素）"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 計算中點索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在區間 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在區間 [i, m-1] 中
else:
return m # 找到 target ，返回插入點 m
# 未找到 target ，返回插入點 i
return i
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_insertion.java"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_insertion.cs"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int BinarySearchInsertionSimple(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_insertion.go"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums []int, target int) int {
// 初始化雙閉區間 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 計算中點索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在區間 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在區間 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 找到 target ，返回插入點 m
return m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_insertion.swift"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
func binarySearchInsertionSimple(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化雙閉區間 [0, n-1]
var i = nums.startIndex
var j = nums.endIndex - 1
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
if nums[m] < target {
i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if nums[m] > target {
j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_insertion.js"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(nums, target) {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_insertion.ts"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
function binarySearchInsertionSimple(
nums: Array<number>,
target: number
): number {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_insertion.dart"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(List<int> nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_insertion.rs"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fn binary_search_insertion_simple(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m;
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
i
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_insertion.c"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
int binarySearchInsertionSimple(int *nums, int numSize, int target) {
int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m; // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_insertion.kt"
/* 二分搜尋插入點（無重複元素） */
fun binarySearchInsertionSimple(nums: IntArray, target: Int): Int {
var i = 0
var j = nums.size - 1 // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
val m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
return m // 找到 target ，返回插入點 m
}
}
// 未找到 target ，返回插入點 i
return i
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_insertion.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion_simple}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertionSimple}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion_simple%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%EF%BC%88%E6%97%A0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bm%2B1,%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%97%A0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%95%B0%E7%BB%84%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%208,%2012,%2015,%2023,%2026,%2031,%2035%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion_simple%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion_simple%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%EF%BC%88%E6%97%A0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bm%2B1,%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%20m%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20m%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9C%AA%E6%89%BE%E5%88%B0%20target%20%EF%BC%8C%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%97%A0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%95%B0%E7%BB%84%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%208,%2012,%2015,%2023,%2026,%2031,%2035%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion_simple%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
## 10.2.2 &nbsp; 存在重複元素的情況
!!! question
在上一題的基礎上，規定陣列可能包含重複元素，其餘不變。
假設陣列中存在多個 `target` ，則普通二分搜尋只能返回其中一個 `target` 的索引，**而無法確定該元素的左邊和右邊還有多少 `target`**。
題目要求將目標元素插入到最左邊，**所以我們需要查詢陣列中最左一個 `target` 的索引**。初步考慮透過圖 10-5 所示的步驟實現。
1. 執行二分搜尋，得到任意一個 `target` 的索引，記為 $k$ 。
2. 從索引 $k$ 開始，向左進行線性走訪，當找到最左邊的 `target` 時返回。
![線性查詢重複元素的插入點](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_naive.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 10-5 &nbsp; 線性查詢重複元素的插入點 </p>
此方法雖然可用，但其包含線性查詢，因此時間複雜度為 $O(n)$ 。當陣列中存在很多重複的 `target` 時，該方法效率很低。
現考慮拓展二分搜尋程式碼。如圖 10-6 所示，整體流程保持不變，每輪先計算中點索引 $m$ ，再判斷 `target` 和 `nums[m]` 的大小關係，分為以下幾種情況。
- 當 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 時，說明還沒有找到 `target` ，因此採用普通二分搜尋的縮小區間操作，**從而使指標 $i$ 和 $j$ 向 `target` 靠近**。
- 當 `nums[m] == target` 時，說明小於 `target` 的元素在區間 $[i, m - 1]$ 中，因此採用 $j = m - 1$ 來縮小區間，**從而使指標 $j$ 向小於 `target` 的元素靠近**。
迴圈完成後，$i$ 指向最左邊的 `target` ，$j$ 指向首個小於 `target` 的元素，**因此索引 $i$ 就是插入點**。
=== "<1>"
![二分搜尋重複元素的插入點的步驟](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![binary_search_insertion_step2](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![binary_search_insertion_step3](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![binary_search_insertion_step4](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step4.png){ class="animation-figure" }
=== "<5>"
![binary_search_insertion_step5](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step5.png){ class="animation-figure" }
=== "<6>"
![binary_search_insertion_step6](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step6.png){ class="animation-figure" }
=== "<7>"
![binary_search_insertion_step7](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step7.png){ class="animation-figure" }
=== "<8>"
![binary_search_insertion_step8](binary_search_insertion.assets/binary_search_insertion_step8.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 10-6 &nbsp; 二分搜尋重複元素的插入點的步驟 </p>
觀察以下程式碼，判斷分支 `nums[m] > target` 和 `nums[m] == target` 的操作相同，因此兩者可以合併。
即便如此，我們仍然可以將判斷條件保持展開，因為其邏輯更加清晰、可讀性更好。
=== "Python"
```python title="binary_search_insertion.py"
def binary_search_insertion(nums: list[int], target: int) -> int:
"""二分搜尋插入點（存在重複元素）"""
i, j = 0, len(nums) - 1 # 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 計算中點索引 m
if nums[m] < target:
i = m + 1 # target 在區間 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target:
j = m - 1 # target 在區間 [i, m-1] 中
else:
j = m - 1 # 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
# 返回插入點 i
return i
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_insertion.cpp"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(vector<int> &nums, int target) {
int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_insertion.java"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_insertion.cs"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int BinarySearchInsertion(int[] nums, int target) {
int i = 0, j = nums.Length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_insertion.go"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
func binarySearchInsertion(nums []int, target int) int {
// 初始化雙閉區間 [0, n-1]
i, j := 0, len(nums)-1
for i <= j {
// 計算中點索引 m
m := i + (j-i)/2
if nums[m] < target {
// target 在區間 [m+1, j] 中
i = m + 1
} else if nums[m] > target {
// target 在區間 [i, m-1] 中
j = m - 1
} else {
// 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
j = m - 1
}
}
// 返回插入點 i
return i
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_insertion.swift"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
func binarySearchInsertion(nums: [Int], target: Int) -> Int {
// 初始化雙閉區間 [0, n-1]
var i = nums.startIndex
var j = nums.endIndex - 1
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
if nums[m] < target {
i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if nums[m] > target {
j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1 // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_insertion.js"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
function binarySearchInsertion(nums, target) {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_insertion.ts"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
function binarySearchInsertion(nums: Array<number>, target: number): number {
let i = 0,
j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); // 計算中點索引 m, 使用 Math.floor() 向下取整
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_insertion.dart"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(List<int> nums, int target) {
int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) ~/ 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_insertion.rs"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
pub fn binary_search_insertion(nums: &[i32], target: i32) -> i32 {
let (mut i, mut j) = (0, nums.len() as i32 - 1); // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while i <= j {
let m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if nums[m as usize] < target {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if nums[m as usize] > target {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
i
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_insertion.c"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
int binarySearchInsertion(int *nums, int numSize, int target) {
int i = 0, j = numSize - 1; // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
int m = i + (j - i) / 2; // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1; // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1; // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1; // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_insertion.kt"
/* 二分搜尋插入點（存在重複元素） */
fun binarySearchInsertion(nums: IntArray, target: Int): Int {
var i = 0
var j = nums.size - 1 // 初始化雙閉區間 [0, n-1]
while (i <= j) {
val m = i + (j - i) / 2 // 計算中點索引 m
if (nums[m] < target) {
i = m + 1 // target 在區間 [m+1, j] 中
} else if (nums[m] > target) {
j = m - 1 // target 在區間 [i, m-1] 中
} else {
j = m - 1 // 首個小於 target 的元素在區間 [i, m-1] 中
}
}
// 返回插入點 i
return i
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_insertion.rb"
[class]{}-[func]{binary_search_insertion}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_insertion.zig"
[class]{}-[func]{binarySearchInsertion}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%EF%BC%88%E5%AD%98%E5%9C%A8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bm%2B1,%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E%20target%20%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%95%B0%E7%BB%84%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%206,%206,%206,%206,%2010,%2012,%2015%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20binary_search_insertion%28nums%3A%20list%5Bint%5D,%20target%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%EF%BC%88%E5%AD%98%E5%9C%A8%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20i,%20j%20%3D%200,%20len%28nums%29%20-%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E5%8F%8C%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20n-1%5D%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20j%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20m%20%3D%20%28i%20%2B%20j%29%20//%202%20%20%23%20%E8%AE%A1%E7%AE%97%E4%B8%AD%E7%82%B9%E7%B4%A2%E5%BC%95%20m%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20nums%5Bm%5D%20%3C%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%3D%20m%20%2B%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bm%2B1,%20j%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20nums%5Bm%5D%20%3E%20target%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20target%20%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20m%20-%201%20%20%23%20%E9%A6%96%E4%B8%AA%E5%B0%8F%E4%BA%8E%20target%20%E7%9A%84%E5%85%83%E7%B4%A0%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5Bi,%20m-1%5D%20%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%20i%0A%20%20%20%20return%20i%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%8C%85%E5%90%AB%E9%87%8D%E5%A4%8D%E5%85%83%E7%B4%A0%E7%9A%84%E6%95%B0%E7%BB%84%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B1,%203,%206,%206,%206,%206,%206,%2010,%2012,%2015%5D%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BA%8C%E5%88%86%E6%9F%A5%E6%89%BE%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%0A%20%20%20%20target%20%3D%206%0A%20%20%20%20index%20%3D%20binary_search_insertion%28nums,%20target%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%E5%85%83%E7%B4%A0%20%7Btarget%7D%20%E7%9A%84%E6%8F%92%E5%85%A5%E7%82%B9%E7%9A%84%E7%B4%A2%E5%BC%95%E4%B8%BA%20%7Bindex%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=5&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
!!! tip
本節的程式碼都是“雙閉區間”寫法。有興趣的讀者可以自行實現“左閉右開”寫法。
總的來看，二分搜尋無非就是給指標 $i$ 和 $j$ 分別設定搜尋目標，目標可能是一個具體的元素（例如 `target` ），也可能是一個元素範圍（例如小於 `target` 的元素）。
在不斷的迴圈二分中，指標 $i$ 和 $j$ 都逐漸逼近預先設定的目標。最終，它們或是成功找到答案，或是越過邊界後停止。