hello-algo/chapter_computational_complexity/space_time_tradeoff.md

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# 2.4.   权衡时间与空间

理想情况下，我们希望算法的时间复杂度和空间复杂度都能达到最优。然而在实际情况中，同时优化时间复杂度和空间复杂度通常是非常困难的。

**降低时间复杂度通常需要以提升空间复杂度为代价，反之亦然**。我们将牺牲内存空间来提升算法运行速度的思路称为「以空间换时间」；反之，则称之为「以时间换空间」。

选择哪种思路取决于我们更看重哪个方面。在大多数情况下，时间比空间更宝贵，因此以空间换时间通常是更常用的策略。当然，在数据量很大的情况下，控制空间复杂度也是非常重要的。

## 2.4.1.   示例题目 *

以 LeetCode 全站第一题 [两数之和](https://leetcode.cn/problems/two-sum/) 为例。

!!! question "两数之和"

    给定一个整数数组 `nums` 和一个整数目标值 `target` ，请你在该数组中找出“和”为目标值 `target` 的那两个整数，并返回它们的数组下标。

    你可以假设每种输入只会对应一个答案。但是，数组中同一个元素在答案里不能重复出现。

    你可以按任意顺序返回答案。

「暴力枚举」和「辅助哈希表」分别对应“空间最优”和“时间最优”的两种解法。遵循时间比空间更宝贵的原则，后者是本题的最佳解法。

### 方法一：暴力枚举

考虑直接遍历所有可能的组合。通过开启一个两层循环，判断两个整数的和是否为 `target` ，若是，则返回它们的索引（即下标）。

=== "Java"

    ```java title="leetcode_two_sum.java"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target) {
        int size = nums.length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < size; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] == target)
                    return new int[] { i, j };
            }
        }
        return new int[0];
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    vector<int> twoSumBruteForce(vector<int> &nums, int target) {
        int size = nums.size();
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (int i = 0; i < size - 1; i++) {
            for (int j = i + 1; j < size; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] == target)
                    return {i, j};
            }
        }
        return {};
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="leetcode_two_sum.py"
    def two_sum_brute_force(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
        """方法一：暴力枚举"""
        # 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for i in range(len(nums) - 1):
            for j in range(i + 1, len(nums)):
                if nums[i] + nums[j] == target:
                    return [i, j]
        return []
    ```

=== "Go"

    ```go title="leetcode_two_sum.go"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    func twoSumBruteForce(nums []int, target int) []int {
        size := len(nums)
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for i := 0; i < size-1; i++ {
            for j := i + 1; i < size; j++ {
                if nums[i]+nums[j] == target {
                    return []int{i, j}
                }
            }
        }
        return nil
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="leetcode_two_sum.js"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    function twoSumBruteForce(nums, target) {
        const n = nums.length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i + 1; j < n; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] === target) {
                    return [i, j];
                }
            }
        }
        return [];
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    function twoSumBruteForce(nums: number[], target: number): number[] {
        const n = nums.length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (let i = 0; i < n; i++) {
            for (let j = i + 1; j < n; j++) {
                if (nums[i] + nums[j] === target) {
                    return [i, j];
                }
            }
        }
        return [];
    };
    ```

=== "C"

    ```c title="leetcode_two_sum.c"
    [class]{}-[func]{twoSumBruteForce}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    int[] twoSumBruteForce(int[] nums, int target)
    {
        int size = nums.Length;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for (int i = 0; i < size - 1; i++)
        {
            for (int j = i + 1; j < size; j++)
            {
                if (nums[i] + nums[j] == target)
                    return new int[] { i, j };
            }
        }
        return new int[0];
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="leetcode_two_sum.swift"
    /* 方法一：暴力枚举 */
    func twoSumBruteForce(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        for i in nums.indices.dropLast() {
            for j in nums.indices.dropFirst(i + 1) {
                if nums[i] + nums[j] == target {
                    return [i, j]
                }
            }
        }
        return [0]
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="leetcode_two_sum.zig"
    // 方法一：暴力枚举
    fn twoSumBruteForce(nums: []i32, target: i32) ?[2]i32 {
        var size: usize = nums.len;
        var i: usize = 0;
        // 两层循环，时间复杂度 O(n^2)
        while (i < size - 1) : (i += 1) {
            var j = i + 1;
            while (j < size) : (j += 1) {
                if (nums[i] + nums[j] == target) {
                    return [_]i32{@intCast(i32, i), @intCast(i32, j)};
                }
            }
        }
        return null;
    }
    ```

该方法的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，空间复杂度为 $O(1)$ ，**属于以时间换空间**。此方法时间复杂度太高，在大数据量下非常耗时。

### 方法二：辅助哈希表

考虑借助一个哈希表，key-value 分别为数组元素和元素索引。循环遍历数组中的每个元素 num，并执行：

1. 判断数字 `target - num` 是否在哈希表中，若是则直接返回该两个元素的索引；
2. 将元素 `num` 和其索引添加进哈希表；

=== "Java"

    ```java title="leetcode_two_sum.java"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target) {
        int size = nums.length;
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        Map<Integer, Integer> dic = new HashMap<>();
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            if (dic.containsKey(target - nums[i])) {
                return new int[] { dic.get(target - nums[i]), i };
            }
            dic.put(nums[i], i);
        }
        return new int[0];
    }
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="leetcode_two_sum.cpp"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    vector<int> twoSumHashTable(vector<int> &nums, int target) {
        int size = nums.size();
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        unordered_map<int, int> dic;
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            if (dic.find(target - nums[i]) != dic.end()) {
                return {dic[target - nums[i]], i};
            }
            dic.emplace(nums[i], i);
        }
        return {};
    }
    ```

=== "Python"

    ```python title="leetcode_two_sum.py"
    def two_sum_hash_table(nums: list[int], target: int) -> list[int]:
        """方法二：辅助哈希表"""
        # 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        dic = {}
        # 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for i in range(len(nums)):
            if target - nums[i] in dic:
                return [dic[target - nums[i]], i]
            dic[nums[i]] = i
        return []
    ```

=== "Go"

    ```go title="leetcode_two_sum.go"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    func twoSumHashTable(nums []int, target int) []int {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        hashTable := map[int]int{}
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for idx, val := range nums {
            if preIdx, ok := hashTable[target-val]; ok {
                return []int{preIdx, idx}
            }
            hashTable[val] = idx
        }
        return nil
    }
    ```

=== "JavaScript"

    ```javascript title="leetcode_two_sum.js"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    function twoSumHashTable(nums, target) {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        let m = {};
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            if (m[nums[i]] !== undefined) {
                return [m[nums[i]], i];
            } else {
                m[target - nums[i]] = i;
            }
        }
        return [];
    }
    ```

=== "TypeScript"

    ```typescript title="leetcode_two_sum.ts"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    function twoSumHashTable(nums: number[], target: number): number[] {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        let m: Map<number, number> = new Map();
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
            let index = m.get(nums[i]);
            if (index !== undefined) {
                return [index, i];
            } else {
                m.set(target - nums[i], i);
            }
        }
        return [];
    };
    ```

=== "C"

    ```c title="leetcode_two_sum.c"
    [class]{}-[func]{twoSumHashTable}
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="leetcode_two_sum.cs"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    int[] twoSumHashTable(int[] nums, int target)
    {
        int size = nums.Length;
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        Dictionary<int, int> dic = new();
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for (int i = 0; i < size; i++)
        {
            if (dic.ContainsKey(target - nums[i]))
            {
                return new int[] { dic[target - nums[i]], i };
            }
            dic.Add(nums[i], i);
        }
        return new int[0];
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="leetcode_two_sum.swift"
    /* 方法二：辅助哈希表 */
    func twoSumHashTable(nums: [Int], target: Int) -> [Int] {
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        var dic: [Int: Int] = [:]
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        for i in nums.indices {
            if let j = dic[target - nums[i]] {
                return [j, i]
            }
            dic[nums[i]] = i
        }
        return [0]
    }
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="leetcode_two_sum.zig"
    // 方法二：辅助哈希表
    fn twoSumHashTable(nums: []i32, target: i32) !?[2]i32 {
        var size: usize = nums.len;
        // 辅助哈希表，空间复杂度 O(n)
        var dic = std.AutoHashMap(i32, i32).init(std.heap.page_allocator);
        defer dic.deinit();
        var i: usize = 0;
        // 单层循环，时间复杂度 O(n)
        while (i < size) : (i += 1) {
            if (dic.contains(target - nums[i])) {
                return [_]i32{dic.get(target - nums[i]).?, @intCast(i32, i)};
            }
            try dic.put(nums[i], @intCast(i32, i));
        }
        return null;
    }
    ```

该方法的时间复杂度为 $O(N)$ ，空间复杂度为 $O(N)$ ，**体现了以空间换时间**。尽管此方法引入了额外的空间使用，但在时间和空间的整体效率更为均衡，因此它是本题的最优解法。