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# 二叉树

<u>二叉树（binary tree）</u>是一种非线性数据结构，代表“祖先”与“后代”之间的派生关系，体现了“一分为二”的分治逻辑。与链表类似，二叉树的基本单元是节点，每个节点包含值、左子节点引用和右子节点引用。

=== "Python"

    ```python title=""
    class TreeNode:
        """二叉树节点类"""
        def __init__(self, val: int):
            self.val: int = val                # 节点值
            self.left: TreeNode | None = None  # 左子节点引用
            self.right: TreeNode | None = None # 右子节点引用
    ```

=== "C++"

    ```cpp title=""
    /* 二叉树节点结构体 */
    struct TreeNode {
        int val;          // 节点值
        TreeNode *left;   // 左子节点指针
        TreeNode *right;  // 右子节点指针
        TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
    };
    ```

=== "Java"

    ```java title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        int val;         // 节点值
        TreeNode left;   // 左子节点引用
        TreeNode right;  // 右子节点引用
        TreeNode(int x) { val = x; }
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode(int? x) {
        public int? val = x;    // 节点值
        public TreeNode? left;  // 左子节点引用
        public TreeNode? right; // 右子节点引用
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title=""
    /* 二叉树节点结构体 */
    type TreeNode struct {
        Val   int
        Left  *TreeNode
        Right *TreeNode
    }
    /* 构造方法 */
    func NewTreeNode(v int) *TreeNode {
        return &TreeNode{
            Left:  nil, // 左子节点指针
            Right: nil, // 右子节点指针
            Val:   v,   // 节点值
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        var val: Int // 节点值
        var left: TreeNode? // 左子节点引用
        var right: TreeNode? // 右子节点引用

        init(x: Int) {
            val = x
        }
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        val; // 节点值
        left; // 左子节点指针
        right; // 右子节点指针
        constructor(val, left, right) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val;
            this.left = left === undefined ? null : left;
            this.right = right === undefined ? null : right;
        }
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
        val: number;
        left: TreeNode | null;
        right: TreeNode | null;
    
        constructor(val?: number, left?: TreeNode | null, right?: TreeNode | null) {
            this.val = val === undefined ? 0 : val; // 节点值
            this.left = left === undefined ? null : left; // 左子节点引用
            this.right = right === undefined ? null : right; // 右子节点引用
        }
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode {
      int val;         // 节点值
      TreeNode? left;  // 左子节点引用
      TreeNode? right; // 右子节点引用
      TreeNode(this.val, [this.left, this.right]);
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title=""
    use std::rc::Rc;
    use std::cell::RefCell;

    /* 二叉树节点结构体 */
    struct TreeNode {
        val: i32,                               // 节点值
        left: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,    // 左子节点引用
        right: Option<Rc<RefCell<TreeNode>>>,   // 右子节点引用
    }

    impl TreeNode {
        /* 构造方法 */
        fn new(val: i32) -> Rc<RefCell<Self>> {
            Rc::new(RefCell::new(Self {
                val,
                left: None,
                right: None
            }))
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title=""
    /* 二叉树节点结构体 */
    typedef struct TreeNode {
        int val;                // 节点值
        int height;             // 节点高度
        struct TreeNode *left;  // 左子节点指针
        struct TreeNode *right; // 右子节点指针
    } TreeNode;

    /* 构造函数 */
    TreeNode *newTreeNode(int val) {
        TreeNode *node;

        node = (TreeNode *)malloc(sizeof(TreeNode));
        node->val = val;
        node->height = 0;
        node->left = NULL;
        node->right = NULL;
        return node;
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title=""
    /* 二叉树节点类 */
    class TreeNode(val _val: Int) {  // 节点值
        val left: TreeNode? = null   // 左子节点引用
        val right: TreeNode? = null  // 右子节点引用
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title=""

    ```

=== "Zig"

    ```zig title=""

    ```

每个节点都有两个引用（指针），分别指向<u>左子节点（left-child node）</u>和<u>右子节点（right-child node）</u>，该节点被称为这两个子节点的<u>父节点（parent node）</u>。当给定一个二叉树的节点时，我们将该节点的左子节点及其以下节点形成的树称为该节点的<u>左子树（left subtree）</u>，同理可得<u>右子树（right subtree）</u>。

**在二叉树中，除叶节点外，其他所有节点都包含子节点和非空子树**。如下图所示，如果将“节点 2”视为父节点，则其左子节点和右子节点分别是“节点 4”和“节点 5”，左子树是“节点 4 及其以下节点形成的树”，右子树是“节点 5 及其以下节点形成的树”。

![父节点、子节点、子树](binary_tree.assets/binary_tree_definition.png)

## 二叉树常见术语

二叉树的常用术语如下图所示。

- <u>根节点（root node）</u>：位于二叉树顶层的节点，没有父节点。
- <u>叶节点（leaf node）</u>：没有子节点的节点，其两个指针均指向 `None` 。
- <u>边（edge）</u>：连接两个节点的线段，即节点引用（指针）。
- 节点所在的<u>层（level）</u>：从顶至底递增，根节点所在层为 1 。
- 节点的<u>度（degree）</u>：节点的子节点的数量。在二叉树中，度的取值范围是 0、1、2 。
- 二叉树的<u>高度（height）</u>：从根节点到最远叶节点所经过的边的数量。
- 节点的<u>深度（depth）</u>：从根节点到该节点所经过的边的数量。
- 节点的<u>高度（height）</u>：从距离该节点最远的叶节点到该节点所经过的边的数量。

![二叉树的常用术语](binary_tree.assets/binary_tree_terminology.png)

!!! tip

    请注意，我们通常将“高度”和“深度”定义为“经过的边的数量”，但有些题目或教材可能会将其定义为“经过的节点的数量”。在这种情况下，高度和深度都需要加 1 。

## 二叉树基本操作

### 初始化二叉树

与链表类似，首先初始化节点，然后构建引用（指针）。

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 初始化二叉树
    # 初始化节点
    n1 = TreeNode(val=1)
    n2 = TreeNode(val=2)
    n3 = TreeNode(val=3)
    n4 = TreeNode(val=4)
    n5 = TreeNode(val=5)
    # 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode* n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode* n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode* n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode* n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode* n5 = new TreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    ```

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new(1);
    TreeNode n2 = new(2);
    TreeNode n3 = new(3);
    TreeNode n4 = new(4);
    TreeNode n5 = new(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    n1 := NewTreeNode(1)
    n2 := NewTreeNode(2)
    n3 := NewTreeNode(3)
    n4 := NewTreeNode(4)
    n5 := NewTreeNode(5)
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.Left = n2
    n1.Right = n3
    n2.Left = n4
    n2.Right = n5
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"
    // 初始化节点
    let n1 = TreeNode(x: 1)
    let n2 = TreeNode(x: 2)
    let n3 = TreeNode(x: 3)
    let n4 = TreeNode(x: 4)
    let n5 = TreeNode(x: 5)
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="binary_tree.js"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    let n1 = new TreeNode(1),
        n2 = new TreeNode(2),
        n3 = new TreeNode(3),
        n4 = new TreeNode(4),
        n5 = new TreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="binary_tree.dart"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode n1 = new TreeNode(1);
    TreeNode n2 = new TreeNode(2);
    TreeNode n3 = new TreeNode(3);
    TreeNode n4 = new TreeNode(4);
    TreeNode n5 = new TreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2;
    n1.right = n3;
    n2.left = n4;
    n2.right = n5;
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="binary_tree.rs"
    // 初始化节点
    let n1 = TreeNode::new(1);
    let n2 = TreeNode::new(2);
    let n3 = TreeNode::new(3);
    let n4 = TreeNode::new(4);
    let n5 = TreeNode::new(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
    n1.borrow_mut().right = Some(n3);
    n2.borrow_mut().left = Some(n4);
    n2.borrow_mut().right = Some(n5);
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    /* 初始化二叉树 */
    // 初始化节点
    TreeNode *n1 = newTreeNode(1);
    TreeNode *n2 = newTreeNode(2);
    TreeNode *n3 = newTreeNode(3);
    TreeNode *n4 = newTreeNode(4);
    TreeNode *n5 = newTreeNode(5);
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1->left = n2;
    n1->right = n3;
    n2->left = n4;
    n2->right = n5;
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="binary_tree.kt"
    // 初始化节点
    val n1 = TreeNode(1)
    val n2 = TreeNode(2)
    val n3 = TreeNode(3)
    val n4 = TreeNode(4)
    val n5 = TreeNode(5)
    // 构建节点之间的引用（指针）
    n1.left = n2
    n1.right = n3
    n2.left = n4
    n2.right = n5
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="binary_tree.rb"

    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

??? pythontutor "可视化运行"

    https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

### 插入与删除节点

与链表类似，在二叉树中插入与删除节点可以通过修改指针来实现。下图给出了一个示例。

![在二叉树中插入与删除节点](binary_tree.assets/binary_tree_add_remove.png)

=== "Python"

    ```python title="binary_tree.py"
    # 插入与删除节点
    p = TreeNode(0)
    # 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = p
    p.left = n2
    # 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="binary_tree.cpp"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode* P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除节点 P
    n1->left = n2;
    ```

=== "Java"

    ```java title="binary_tree.java"
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="binary_tree.cs"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode P = new(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "Go"

    ```go title="binary_tree.go"
    /* 插入与删除节点 */
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    p := NewTreeNode(0)
    n1.Left = p
    p.Left = n2
    // 删除节点 P
    n1.Left = n2
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="binary_tree.swift"
    let P = TreeNode(x: 0)
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P
    P.left = n2
    // 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="binary_tree.js"
    /* 插入与删除节点 */
    let P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="binary_tree.ts"
    /* 插入与删除节点 */
    const P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="binary_tree.dart"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode P = new TreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P;
    P.left = n2;
    // 删除节点 P
    n1.left = n2;
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="binary_tree.rs"
    let p = TreeNode::new(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.borrow_mut().left = Some(p.clone());
    p.borrow_mut().left = Some(n2.clone());
    // 删除节点 p
    n1.borrow_mut().left = Some(n2);
    ```

=== "C"

    ```c title="binary_tree.c"
    /* 插入与删除节点 */
    TreeNode *P = newTreeNode(0);
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1->left = P;
    P->left = n2;
    // 删除节点 P
    n1->left = n2;
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="binary_tree.kt"
    val P = TreeNode(0)
    // 在 n1 -> n2 中间插入节点 P
    n1.left = P
    P.left = n2
    // 删除节点 P
    n1.left = n2
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="binary_tree.rb"

    ```

=== "Zig"

    ```zig title="binary_tree.zig"

    ```

??? pythontutor "可视化运行"

    https://pythontutor.com/render.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%3A%20int%20%3D%20val%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%80%BC%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%20%23%20%E5%B7%A6%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%3A%20TreeNode%20%7C%20None%20%3D%20None%20%23%20%E5%8F%B3%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%BC%95%E7%94%A8%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20n1%20%3D%20TreeNode%28val%3D1%29%0A%20%20%20%20n2%20%3D%20TreeNode%28val%3D2%29%0A%20%20%20%20n3%20%3D%20TreeNode%28val%3D3%29%0A%20%20%20%20n4%20%3D%20TreeNode%28val%3D4%29%0A%20%20%20%20n5%20%3D%20TreeNode%28val%3D5%29%0A%20%20%20%20%23%20%E6%9E%84%E5%BB%BA%E8%8A%82%E7%82%B9%E4%B9%8B%E9%97%B4%E7%9A%84%E5%BC%95%E7%94%A8%EF%BC%88%E6%8C%87%E9%92%88%EF%BC%89%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20n1.right%20%3D%20n3%0A%20%20%20%20n2.left%20%3D%20n4%0A%20%20%20%20n2.right%20%3D%20n5%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%B8%8E%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20p%20%3D%20TreeNode%280%29%0A%20%20%20%20%23%20%E5%9C%A8%20n1%20-%3E%20n2%20%E4%B8%AD%E9%97%B4%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20p%0A%20%20%20%20p.left%20%3D%20n2%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20P%0A%20%20%20%20n1.left%20%3D%20n2&cumulative=false&curInstr=37&heapPrimitives=nevernest&mode=display&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false

!!! note

    需要注意的是，插入节点可能会改变二叉树的原有逻辑结构，而删除节点通常意味着删除该节点及其所有子树。因此，在二叉树中，插入与删除通常是由一套操作配合完成的，以实现有实际意义的操作。

## 常见二叉树类型

### 完美二叉树

如下图所示，<u>完美二叉树（perfect binary tree）</u>所有层的节点都被完全填满。在完美二叉树中，叶节点的度为 $0$ ，其余所有节点的度都为 $2$ ；若树的高度为 $h$ ，则节点总数为 $2^{h+1} - 1$ ，呈现标准的指数级关系，反映了自然界中常见的细胞分裂现象。

!!! tip

    请注意，在中文社区中，完美二叉树常被称为<u>满二叉树</u>。

![完美二叉树](binary_tree.assets/perfect_binary_tree.png)

### 完全二叉树

如下图所示，<u>完全二叉树（complete binary tree）</u>只有最底层的节点未被填满，且最底层节点尽量靠左填充。

![完全二叉树](binary_tree.assets/complete_binary_tree.png)

### 完满二叉树

如下图所示，<u>完满二叉树（full binary tree）</u>除了叶节点之外，其余所有节点都有两个子节点。

![完满二叉树](binary_tree.assets/full_binary_tree.png)

### 平衡二叉树

如下图所示，<u>平衡二叉树（balanced binary tree）</u>中任意节点的左子树和右子树的高度之差的绝对值不超过 1 。

![平衡二叉树](binary_tree.assets/balanced_binary_tree.png)

## 二叉树的退化

下图展示了二叉树的理想结构与退化结构。当二叉树的每层节点都被填满时，达到“完美二叉树”；而当所有节点都偏向一侧时，二叉树退化为“链表”。

- 完美二叉树是理想情况，可以充分发挥二叉树“分治”的优势。
- 链表则是另一个极端，各项操作都变为线性操作，时间复杂度退化至 $O(n)$ 。

![二叉树的最佳结构与最差结构](binary_tree.assets/binary_tree_best_worst_cases.png)

如下表所示，在最佳结构和最差结构下，二叉树的叶节点数量、节点总数、高度等达到极大值或极小值。

<p align="center"> 表 <id> &nbsp; 二叉树的最佳结构与最差结构 </p>

|                             | 完美二叉树         | 链表    |
| --------------------------- | ------------------ | ------- |
| 第 $i$ 层的节点数量         | $2^{i-1}$          | $1$     |
| 高度为 $h$ 的树的叶节点数量 | $2^h$              | $1$     |
| 高度为 $h$ 的树的节点总数   | $2^{h+1} - 1$      | $h + 1$ |
| 节点总数为 $n$ 的树的高度   | $\log_2 (n+1) - 1$ | $n - 1$ |