yetao
/
hello-algo
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git
1
0
Fork 0
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
Branches Tags
${ item.name }
Create tag ${ searchTerm }
Create branch ${ searchTerm }
from '8dbf132f48'
${ noResults }
hello-algo/zh-Hant/docs/chapter_computational_compl.../iteration_and_recursion.md

2068 lines
70 KiB
Raw Normal View History Unescape

build
8 months ago
---
comments: true
---
# 2.2   迭代與遞迴
在演算法中，重複執行某個任務是很常見的，它與複雜度分析息息相關。因此，在介紹時間複雜度和空間複雜度之前，我們先來了解如何在程式中實現重複執行任務，即兩種基本的程式控制結構：迭代、遞迴。
## 2.2.1   迭代
<u>迭代（iteration）</u>是一種重複執行某個任務的控制結構。在迭代中，程式會在滿足一定的條件下重複執行某段程式碼，直到這個條件不再滿足。
### 1. &nbsp; for 迴圈
`for` 迴圈是最常見的迭代形式之一，**適合在預先知道迭代次數時使用**。
以下函式基於 `for` 迴圈實現了求和 $1 + 2 + \dots + n$ ，求和結果使用變數 `res` 記錄。需要注意的是，Python 中 `range(a, b)` 對應的區間是“左閉右開”的，對應的走訪範圍為 $a, a + 1, \dots, b-1$ ：
=== "Python"
```python title="iteration.py"
def for_loop(n: int) -> int:
"""for 迴圈"""
res = 0
# 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i in range(1, n + 1):
res += i
return res
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
/* for 迴圈 */
int forLoop(int n) {
int res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
/* for 迴圈 */
int forLoop(int n) {
int res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
/* for 迴圈 */
int ForLoop(int n) {
int res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
/* for 迴圈 */
func forLoop(n int) int {
res := 0
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i := 1; i <= n; i++ {
res += i
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
/* for 迴圈 */
func forLoop(n: Int) -> Int {
var res = 0
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1 ... n {
res += i
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
/* for 迴圈 */
function forLoop(n) {
let res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (let i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
/* for 迴圈 */
function forLoop(n: number): number {
let res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (let i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
/* for 迴圈 */
int forLoop(int n) {
int res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
/* for 迴圈 */
fn for_loop(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1..=n {
res += i;
}
res
}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
/* for 迴圈 */
int forLoop(int n) {
int res = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
res += i;
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="iteration.kt"
/* for 迴圈 */
fun forLoop(n: Int): Int {
var res = 0
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (i in 1..n) {
res += i
}
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="iteration.rb"
### for 迴圈 ###
def for_loop(n)
res = 0
# 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1..n
res += i
end
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
// for 迴圈
fn forLoop(n: usize) i32 {
var res: i32 = 0;
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |i| {
res = res + @as(i32, @intCast(i));
}
return res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20for_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20for_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnfor%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20for_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20for_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnfor%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
圖 2-1 是該求和函式的流程框圖。
![求和函式的流程框圖](iteration_and_recursion.assets/iteration.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-1 &nbsp; 求和函式的流程框圖 </p>
此求和函式的操作數量與輸入資料大小 $n$ 成正比，或者說成“線性關係”。實際上，**時間複雜度描述的就是這個“線性關係”**。相關內容將會在下一節中詳細介紹。
### 2. &nbsp; while 迴圈
與 `for` 迴圈類似，`while` 迴圈也是一種實現迭代的方法。在 `while` 迴圈中，程式每輪都會先檢查條件，如果條件為真，則繼續執行，否則就結束迴圈。
下面我們用 `while` 迴圈來實現求和 $1 + 2 + \dots + n$ ：
=== "Python"
```python title="iteration.py"
def while_loop(n: int) -> int:
"""while 迴圈"""
res = 0
i = 1 # 初始化條件變數
# 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while i <= n:
res += i
i += 1 # 更新條件變數
return res
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
/* while 迴圈 */
int whileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
/* while 迴圈 */
int whileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
/* while 迴圈 */
int WhileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i += 1; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
/* while 迴圈 */
func whileLoop(n int) int {
res := 0
// 初始化條件變數
i := 1
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
for i <= n {
res += i
// 更新條件變數
i++
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
/* while 迴圈 */
func whileLoop(n: Int) -> Int {
var res = 0
var i = 1 // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while i <= n {
res += i
i += 1 // 更新條件變數
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
/* while 迴圈 */
function whileLoop(n) {
let res = 0;
let i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
/* while 迴圈 */
function whileLoop(n: number): number {
let res = 0;
let i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
/* while 迴圈 */
int whileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
/* while 迴圈 */
fn while_loop(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
let mut i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while i <= n {
res += i;
i += 1; // 更新條件變數
}
res
}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
/* while 迴圈 */
int whileLoop(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i;
i++; // 更新條件變數
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="iteration.kt"
/* while 迴圈 */
fun whileLoop(n: Int): Int {
var res = 0
var i = 1 // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += i
i++ // 更新條件變數
}
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="iteration.rb"
### while 迴圈 ###
def while_loop(n)
res = 0
i = 1 # 初始化條件變數
# 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while i <= n
res += i
i += 1 # 更新條件變數
end
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
// while 迴圈
fn whileLoop(n: i32) i32 {
var res: i32 = 0;
var i: i32 = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 2, ..., n-1, n
while (i <= n) {
res += @intCast(i);
i += 1;
}
return res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20while_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22while%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20i%20%3D%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20while_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnwhile%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20while_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22while%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20i%20%3D%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20while_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnwhile%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
**`while` 迴圈比 `for` 迴圈的自由度更高**。在 `while` 迴圈中，我們可以自由地設計條件變數的初始化和更新步驟。
例如在以下程式碼中，條件變數 $i$ 每輪進行兩次更新，這種情況就不太方便用 `for` 迴圈實現：
=== "Python"
```python title="iteration.py"
def while_loop_ii(n: int) -> int:
"""while 迴圈（兩次更新）"""
res = 0
i = 1 # 初始化條件變數
# 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while i <= n:
res += i
# 更新條件變數
i += 1
i *= 2
return res
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
/* while 迴圈（兩次更新） */
int whileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
/* while 迴圈（兩次更新） */
int whileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
/* while 迴圈（兩次更新） */
int WhileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i += 1;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
/* while 迴圈（兩次更新） */
func whileLoopII(n int) int {
res := 0
// 初始化條件變數
i := 1
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
for i <= n {
res += i
// 更新條件變數
i++
i *= 2
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
/* while 迴圈（兩次更新） */
func whileLoopII(n: Int) -> Int {
var res = 0
var i = 1 // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while i <= n {
res += i
// 更新條件變數
i += 1
i *= 2
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
/* while 迴圈（兩次更新） */
function whileLoopII(n) {
let res = 0;
let i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
/* while 迴圈（兩次更新） */
function whileLoopII(n: number): number {
let res = 0;
let i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
/* while 迴圈（兩次更新） */
int whileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
/* while 迴圈（兩次更新） */
fn while_loop_ii(n: i32) -> i32 {
let mut res = 0;
let mut i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while i <= n {
res += i;
// 更新條件變數
i += 1;
i *= 2;
}
res
}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
/* while 迴圈（兩次更新） */
int whileLoopII(int n) {
int res = 0;
int i = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i;
// 更新條件變數
i++;
i *= 2;
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="iteration.kt"
/* while 迴圈（兩次更新） */
fun whileLoopII(n: Int): Int {
var res = 0
var i = 1 // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += i
// 更新條件變數
i++
i *= 2
}
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="iteration.rb"
### while 迴圈（兩次更新）###
def while_loop_ii(n)
res = 0
i = 1 # 初始化條件變數
# 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while i <= n
res += i
# 更新條件變數
i += 1
i *= 2
end
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
// while 迴圈（兩次更新）
fn whileLoopII(n: i32) i32 {
var res: i32 = 0;
var i: i32 = 1; // 初始化條件變數
// 迴圈求和 1, 4, 10, ...
while (i <= n) {
res += @intCast(i);
// 更新條件變數
i += 1;
i *= 2;
}
return res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 495px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20while_loop_ii%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22while%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%EF%BC%88%E5%85%A9%E6%AC%A1%E6%9B%B4%E6%96%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20i%20%3D%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%204%2C%2010%2C%20...%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2A%3D%202%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20while_loop_ii%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnwhile%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%EF%BC%88%E5%85%A9%E6%AC%A1%E6%9B%B4%E6%96%B0%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20while_loop_ii%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22while%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%EF%BC%88%E5%85%A9%E6%AC%A1%E6%9B%B4%E6%96%B0%EF%BC%89%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20i%20%3D%201%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E6%B1%82%E5%92%8C%201%2C%204%2C%2010%2C%20...%0A%20%20%20%20while%20i%20%3C%3D%20n%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20i%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9B%B4%E6%96%B0%E6%A2%9D%E4%BB%B6%E8%AE%8A%E6%95%B8%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2B%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20i%20%2A%3D%202%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20while_loop_ii%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cnwhile%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%EF%BC%88%E5%85%A9%E6%AC%A1%E6%9B%B4%E6%96%B0%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
總的來說，**`for` 迴圈的程式碼更加緊湊，`while` 迴圈更加靈活**，兩者都可以實現迭代結構。選擇使用哪一個應該根據特定問題的需求來決定。
### 3. &nbsp; 巢狀迴圈
我們可以在一個迴圈結構內巢狀另一個迴圈結構，下面以 `for` 迴圈為例：
=== "Python"
```python title="iteration.py"
def nested_for_loop(n: int) -> str:
"""雙層 for 迴圈"""
res = ""
# 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for i in range(1, n + 1):
# 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for j in range(1, n + 1):
res += f"({i}, {j}), "
return res
```
=== "C++"
```cpp title="iteration.cpp"
/* 雙層 for 迴圈 */
string nestedForLoop(int n) {
ostringstream res;
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
res << "(" << i << ", " << j << "), ";
}
}
return res.str();
}
```
=== "Java"
```java title="iteration.java"
/* 雙層 for 迴圈 */
String nestedForLoop(int n) {
StringBuilder res = new StringBuilder();
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; j++) {
res.append("(" + i + ", " + j + "), ");
}
}
return res.toString();
}
```
=== "C#"
```csharp title="iteration.cs"
/* 雙層 for 迴圈 */
string NestedForLoop(int n) {
StringBuilder res = new();
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; j++) {
res.Append($"({i}, {j}), ");
}
}
return res.ToString();
}
```
=== "Go"
```go title="iteration.go"
/* 雙層 for 迴圈 */
func nestedForLoop(n int) string {
res := ""
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for i := 1; i <= n; i++ {
for j := 1; j <= n; j++ {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
res += fmt.Sprintf("(%d, %d), ", i, j)
}
}
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="iteration.swift"
/* 雙層 for 迴圈 */
func nestedForLoop(n: Int) -> String {
var res = ""
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1 ... n {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for j in 1 ... n {
res.append("(\(i), \(j)), ")
}
}
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="iteration.js"
/* 雙層 for 迴圈 */
function nestedForLoop(n) {
let res = '';
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (let j = 1; j <= n; j++) {
res += `(${i}, ${j}), `;
}
}
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="iteration.ts"
/* 雙層 for 迴圈 */
function nestedForLoop(n: number): string {
let res = '';
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (let j = 1; j <= n; j++) {
res += `(${i}, ${j}), `;
}
}
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="iteration.dart"
/* 雙層 for 迴圈 */
String nestedForLoop(int n) {
String res = "";
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; j++) {
res += "($i, $j), ";
}
}
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="iteration.rs"
/* 雙層 for 迴圈 */
fn nested_for_loop(n: i32) -> String {
let mut res = vec![];
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1..=n {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for j in 1..=n {
res.push(format!("({}, {}), ", i, j));
}
}
res.join("")
}
```
=== "C"
```c title="iteration.c"
/* 雙層 for 迴圈 */
char *nestedForLoop(int n) {
// n * n 為對應點數量，"(i, j), " 對應字串長最大為 6+10*2，加上最後一個空字元 \0 的額外空間
int size = n * n * 26 + 1;
char *res = malloc(size * sizeof(char));
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (int j = 1; j <= n; j++) {
char tmp[26];
snprintf(tmp, sizeof(tmp), "(%d, %d), ", i, j);
strncat(res, tmp, size - strlen(res) - 1);
}
}
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="iteration.kt"
/* 雙層 for 迴圈 */
fun nestedForLoop(n: Int): String {
val res = StringBuilder()
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (i in 1..n) {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (j in 1..n) {
res.append(" ($i, $j), ")
}
}
return res.toString()
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="iteration.rb"
### 雙層 for 迴圈 ###
def nested_for_loop(n)
res = ""
# 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for i in 1..n
# 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for j in 1..n
res += "(#{i}, #{j}), "
end
end
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="iteration.zig"
// 雙層 for 迴圈
fn nestedForLoop(allocator: Allocator, n: usize) ![]const u8 {
var res = std.ArrayList(u8).init(allocator);
defer res.deinit();
var buffer: [20]u8 = undefined;
// 迴圈 i = 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |i| {
// 迴圈 j = 1, 2, ..., n-1, n
for (1..n+1) |j| {
var _str = try std.fmt.bufPrint(&buffer, "({d}, {d}), ", .{i, j});
try res.appendSlice(_str);
}
}
return res.toOwnedSlice();
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20nested_for_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%99%E5%B1%A4%20for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%20i%20%3D%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%20j%20%3D%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20f%22%28%7Bi%7D%2C%20%7Bj%7D%29%2C%20%22%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20nested_for_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E9%9B%99%E5%B1%A4%20for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E7%B5%90%E6%9E%9C%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20nested_for_loop%28n%3A%20int%29%20-%3E%20str%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%9B%99%E5%B1%A4%20for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%22%22%22%0A%20%20%20%20res%20%3D%20%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%20i%20%3D%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%20j%20%3D%201%2C%202%2C%20...%2C%20n-1%2C%20n%0A%20%20%20%20%20%20%20%20for%20j%20in%20range%281%2C%20n%20%2B%201%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20f%22%28%7Bi%7D%2C%20%7Bj%7D%29%2C%20%22%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20nested_for_loop%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E9%9B%99%E5%B1%A4%20for%20%E8%BF%B4%E5%9C%88%E7%9A%84%E8%B5%B0%E8%A8%AA%E7%B5%90%E6%9E%9C%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
圖 2-2 是該巢狀迴圈的流程框圖。
![巢狀迴圈的流程框圖](iteration_and_recursion.assets/nested_iteration.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-2 &nbsp; 巢狀迴圈的流程框圖 </p>
在這種情況下，函式的操作數量與 $n^2$ 成正比，或者說演算法執行時間和輸入資料大小 $n$ 成“平方關係”。
我們可以繼續新增巢狀迴圈，每一次巢狀都是一次“升維”，將會使時間複雜度提高至“立方關係”“四次方關係”，以此類推。
## 2.2.2 &nbsp; 遞迴
<u>遞迴（recursion）</u>是一種演算法策略，透過函式呼叫自身來解決問題。它主要包含兩個階段。
1. **遞**：程式不斷深入地呼叫自身，通常傳入更小或更簡化的參數，直到達到“終止條件”。
2. **迴**：觸發“終止條件”後，程式從最深層的遞迴函式開始逐層返回，匯聚每一層的結果。
而從實現的角度看，遞迴程式碼主要包含三個要素。
1. **終止條件**：用於決定什麼時候由“遞”轉“迴”。
2. **遞迴呼叫**：對應“遞”，函式呼叫自身，通常輸入更小或更簡化的參數。
3. **返回結果**：對應“迴”，將當前遞迴層級的結果返回至上一層。
觀察以下程式碼，我們只需呼叫函式 `recur(n)` ，就可以完成 $1 + 2 + \dots + n$ 的計算：
=== "Python"
```python title="recursion.py"
def recur(n: int) -> int:
"""遞迴"""
# 終止條件
if n == 1:
return 1
# 遞：遞迴呼叫
res = recur(n - 1)
# 迴：返回結果
return n + res
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
/* 遞迴 */
int recur(int n) {
// 終止條件
if (n == 1)
return 1;
// 遞：遞迴呼叫
int res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
/* 遞迴 */
int recur(int n) {
// 終止條件
if (n == 1)
return 1;
// 遞：遞迴呼叫
int res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
/* 遞迴 */
int Recur(int n) {
// 終止條件
if (n == 1)
return 1;
// 遞：遞迴呼叫
int res = Recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
/* 遞迴 */
func recur(n int) int {
// 終止條件
if n == 1 {
return 1
}
// 遞：遞迴呼叫
res := recur(n - 1)
// 迴：返回結果
return n + res
}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
/* 遞迴 */
func recur(n: Int) -> Int {
// 終止條件
if n == 1 {
return 1
}
// 遞：遞迴呼叫
let res = recur(n: n - 1)
// 迴：返回結果
return n + res
}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
/* 遞迴 */
function recur(n) {
// 終止條件
if (n === 1) return 1;
// 遞：遞迴呼叫
const res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
/* 遞迴 */
function recur(n: number): number {
// 終止條件
if (n === 1) return 1;
// 遞：遞迴呼叫
const res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
/* 遞迴 */
int recur(int n) {
// 終止條件
if (n == 1) return 1;
// 遞：遞迴呼叫
int res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
/* 遞迴 */
fn recur(n: i32) -> i32 {
// 終止條件
if n == 1 {
return 1;
}
// 遞：遞迴呼叫
let res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
n + res
}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
/* 遞迴 */
int recur(int n) {
// 終止條件
if (n == 1)
return 1;
// 遞：遞迴呼叫
int res = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="recursion.kt"
/* 遞迴 */
fun recur(n: Int): Int {
// 終止條件
if (n == 1)
return 1
// 遞: 遞迴呼叫
val res = recur(n - 1)
// 迴: 返回結果
return n + res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="recursion.rb"
### 遞迴 ###
def recur(n)
# 終止條件
return 1 if n == 1
# 遞：遞迴呼叫
res = recur(n - 1)
# 迴：返回結果
n + res
end
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
// 遞迴函式
fn recur(n: i32) i32 {
// 終止條件
if (n == 1) {
return 1;
}
// 遞：遞迴呼叫
var res: i32 = recur(n - 1);
// 迴：返回結果
return n + res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20res%20%3D%20recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%EF%BC%9A%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%0A%20%20%20%20return%20n%20%2B%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%87%BD%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20res%20%3D%20recur%28n%20-%201%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%EF%BC%9A%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%0A%20%20%20%20return%20n%20%2B%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%87%BD%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
圖 2-3 展示了該函式的遞迴過程。
![求和函式的遞迴過程](iteration_and_recursion.assets/recursion_sum.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-3 &nbsp; 求和函式的遞迴過程 </p>
雖然從計算角度看，迭代與遞迴可以得到相同的結果，**但它們代表了兩種完全不同的思考和解決問題的範式**。
- **迭代**：“自下而上”地解決問題。從最基礎的步驟開始，然後不斷重複或累加這些步驟，直到任務完成。
- **遞迴**：“自上而下”地解決問題。將原問題分解為更小的子問題，這些子問題和原問題具有相同的形式。接下來將子問題繼續分解為更小的子問題，直到基本情況時停止（基本情況的解是已知的）。
以上述求和函式為例，設問題 $f(n) = 1 + 2 + \dots + n$ 。
- **迭代**：在迴圈中模擬求和過程，從 $1$ 走訪到 $n$ ，每輪執行求和操作，即可求得 $f(n)$ 。
- **遞迴**：將問題分解為子問題 $f(n) = n + f(n-1)$ ，不斷（遞迴地）分解下去，直至基本情況 $f(1) = 1$ 時終止。
### 1. &nbsp; 呼叫堆疊
遞迴函式每次呼叫自身時，系統都會為新開啟的函式分配記憶體，以儲存區域性變數、呼叫位址和其他資訊等。這將導致兩方面的結果。
- 函式的上下文資料都儲存在稱為“堆疊幀空間”的記憶體區域中，直至函式返回後才會被釋放。因此，**遞迴通常比迭代更加耗費記憶體空間**。
- 遞迴呼叫函式會產生額外的開銷。**因此遞迴通常比迴圈的時間效率更低**。
如圖 2-4 所示，在觸發終止條件前，同時存在 $n$ 個未返回的遞迴函式，**遞迴深度為 $n$** 。
![遞迴呼叫深度](iteration_and_recursion.assets/recursion_sum_depth.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-4 &nbsp; 遞迴呼叫深度 </p>
在實際中，程式語言允許的遞迴深度通常是有限的，過深的遞迴可能導致堆疊溢位錯誤。
### 2. &nbsp; 尾遞迴
有趣的是，**如果函式在返回前的最後一步才進行遞迴呼叫**，則該函式可以被編譯器或直譯器最佳化，使其在空間效率上與迭代相當。這種情況被稱為<u>尾遞迴（tail recursion）</u>。
- **普通遞迴**：當函式返回到上一層級的函式後，需要繼續執行程式碼，因此系統需要儲存上一層呼叫的上下文。
- **尾遞迴**：遞迴呼叫是函式返回前的最後一個操作，這意味著函式返回到上一層級後，無須繼續執行其他操作，因此系統無須儲存上一層函式的上下文。
以計算 $1 + 2 + \dots + n$ 為例，我們可以將結果變數 `res` 設為函式參數，從而實現尾遞迴：
=== "Python"
```python title="recursion.py"
def tail_recur(n, res):
"""尾遞迴"""
# 終止條件
if n == 0:
return res
# 尾遞迴呼叫
return tail_recur(n - 1, res + n)
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
/* 尾遞迴 */
int tailRecur(int n, int res) {
// 終止條件
if (n == 0)
return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
/* 尾遞迴 */
int tailRecur(int n, int res) {
// 終止條件
if (n == 0)
return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
/* 尾遞迴 */
int TailRecur(int n, int res) {
// 終止條件
if (n == 0)
return res;
// 尾遞迴呼叫
return TailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
/* 尾遞迴 */
func tailRecur(n int, res int) int {
// 終止條件
if n == 0 {
return res
}
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n-1, res+n)
}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
/* 尾遞迴 */
func tailRecur(n: Int, res: Int) -> Int {
// 終止條件
if n == 0 {
return res
}
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n: n - 1, res: res + n)
}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
/* 尾遞迴 */
function tailRecur(n, res) {
// 終止條件
if (n === 0) return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
/* 尾遞迴 */
function tailRecur(n: number, res: number): number {
// 終止條件
if (n === 0) return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
/* 尾遞迴 */
int tailRecur(int n, int res) {
// 終止條件
if (n == 0) return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
/* 尾遞迴 */
fn tail_recur(n: i32, res: i32) -> i32 {
// 終止條件
if n == 0 {
return res;
}
// 尾遞迴呼叫
tail_recur(n - 1, res + n)
}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
/* 尾遞迴 */
int tailRecur(int n, int res) {
// 終止條件
if (n == 0)
return res;
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="recursion.kt"
/* 尾遞迴 */
tailrec fun tailRecur(n: Int, res: Int): Int {
// 新增 tailrec 關鍵詞，以開啟尾遞迴最佳化
// 終止條件
if (n == 0)
return res
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n)
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="recursion.rb"
### 尾遞迴 ###
def tail_recur(n, res)
# 終止條件
return res if n == 0
# 尾遞迴呼叫
tail_recur(n - 1, res + n)
end
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
// 尾遞迴函式
fn tailRecur(n: i32, res: i32) i32 {
// 終止條件
if (n == 0) {
return res;
}
// 尾遞迴呼叫
return tailRecur(n - 1, res + n);
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 423px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20tail_recur%28n%2C%20res%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20res%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20return%20tail_recur%28n%20-%201%2C%20res%20%2B%20n%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20tail_recur%28n%2C%200%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%87%BD%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20tail_recur%28n%2C%20res%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%200%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20res%0A%20%20%20%20%23%20%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20return%20tail_recur%28n%20-%201%2C%20res%20%2B%20n%29%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20tail_recur%28n%2C%200%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E5%B0%BE%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%87%BD%E5%BC%8F%E7%9A%84%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
尾遞迴的執行過程如圖 2-5 所示。對比普通遞迴和尾遞迴，兩者的求和操作的執行點是不同的。
- **普通遞迴**：求和操作是在“迴”的過程中執行的，每層返回後都要再執行一次求和操作。
- **尾遞迴**：求和操作是在“遞”的過程中執行的，“迴”的過程只需層層返回。
![尾遞迴過程](iteration_and_recursion.assets/tail_recursion_sum.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-5 &nbsp; 尾遞迴過程 </p>
!!! tip
請注意，許多編譯器或直譯器並不支持尾遞迴最佳化。例如，Python 預設不支持尾遞迴最佳化，因此即使函式是尾遞迴形式，仍然可能會遇到堆疊溢位問題。
### 3. &nbsp; 遞迴樹
當處理與“分治”相關的演算法問題時，遞迴往往比迭代的思路更加直觀、程式碼更加易讀。以“費波那契數列”為例。
!!! question
給定一個費波那契數列 $0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, \dots$ ，求該數列的第 $n$ 個數字。
設費波那契數列的第 $n$ 個數字為 $f(n)$ ，易得兩個結論。
- 數列的前兩個數字為 $f(1) = 0$ 和 $f(2) = 1$ 。
- 數列中的每個數字是前兩個數字的和，即 $f(n) = f(n - 1) + f(n - 2)$ 。
按照遞推關係進行遞迴呼叫，將前兩個數字作為終止條件，便可寫出遞迴程式碼。呼叫 `fib(n)` 即可得到費波那契數列的第 $n$ 個數字：
=== "Python"
```python title="recursion.py"
def fib(n: int) -> int:
"""費波那契數列：遞迴"""
# 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if n == 1 or n == 2:
return n - 1
# 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
res = fib(n - 1) + fib(n - 2)
# 返回結果 f(n)
return res
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
/* 費波那契數列：遞迴 */
int fib(int n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
/* 費波那契數列：遞迴 */
int fib(int n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
/* 費波那契數列：遞迴 */
int Fib(int n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
/* 費波那契數列：遞迴 */
func fib(n int) int {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if n == 1 || n == 2 {
return n - 1
}
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
res := fib(n-1) + fib(n-2)
// 返回結果 f(n)
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
/* 費波那契數列：遞迴 */
func fib(n: Int) -> Int {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if n == 1 || n == 2 {
return n - 1
}
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
let res = fib(n: n - 1) + fib(n: n - 2)
// 返回結果 f(n)
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
/* 費波那契數列：遞迴 */
function fib(n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n === 1 || n === 2) return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
const res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
/* 費波那契數列：遞迴 */
function fib(n: number): number {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n === 1 || n === 2) return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
const res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
/* 費波那契數列：遞迴 */
int fib(int n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2) return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
/* 費波那契數列：遞迴 */
fn fib(n: i32) -> i32 {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if n == 1 || n == 2 {
return n - 1;
}
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
let res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果
res
}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
/* 費波那契數列：遞迴 */
int fib(int n) {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1;
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
int res = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="recursion.kt"
/* 費波那契數列：遞迴 */
fun fib(n: Int): Int {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 || n == 2)
return n - 1
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
val res = fib(n - 1) + fib(n - 2)
// 返回結果 f(n)
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="recursion.rb"
### 費波那契數列：遞迴 ###
def fib(n)
# 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
return n - 1 if n == 1 || n == 2
# 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
res = fib(n - 1) + fib(n - 2)
# 返回結果 f(n)
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
// 費波那契數列
fn fib(n: i32) i32 {
// 終止條件 f(1) = 0, f(2) = 1
if (n == 1 or n == 2) {
return n - 1;
}
// 遞迴呼叫 f(n) = f(n-1) + f(n-2)
var res: i32 = fib(n - 1) + fib(n - 2);
// 返回結果 f(n)
return res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 459px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20fib%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%B2%BB%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B8%E5%88%97%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%20f%281%29%20%3D%200%2C%20f%282%29%20%3D%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%20f%28n%29%20%3D%20f%28n-1%29%20%2B%20f%28n-2%29%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fib%28n%20-%201%29%20%2B%20fib%28n%20-%202%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%20f%28n%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fib%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E8%B2%BB%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B8%E5%88%97%E7%9A%84%E7%AC%AC%20%7Bn%7D%20%E9%A0%85%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20fib%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E8%B2%BB%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B8%E5%88%97%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E7%B5%82%E6%AD%A2%E6%A2%9D%E4%BB%B6%20f%281%29%20%3D%200%2C%20f%282%29%20%3D%201%0A%20%20%20%20if%20n%20%3D%3D%201%20or%20n%20%3D%3D%202%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20n%20-%201%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%20f%28n%29%20%3D%20f%28n-1%29%20%2B%20f%28n-2%29%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fib%28n%20-%201%29%20%2B%20fib%28n%20-%202%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%20f%28n%29%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20fib%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E8%B2%BB%E6%B3%A2%E9%82%A3%E5%A5%91%E6%95%B8%E5%88%97%E7%9A%84%E7%AC%AC%20%7Bn%7D%20%E9%A0%85%E7%82%BA%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
觀察以上程式碼，我們在函式內遞迴呼叫了兩個函式，**這意味著從一個呼叫產生了兩個呼叫分支**。如圖 2-6 所示，這樣不斷遞迴呼叫下去，最終將產生一棵層數為 $n$ 的<u>遞迴樹（recursion tree）</u>。
![費波那契數列的遞迴樹](iteration_and_recursion.assets/recursion_tree.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 2-6 &nbsp; 費波那契數列的遞迴樹 </p>
從本質上看，遞迴體現了“將問題分解為更小子問題”的思維範式，這種分治策略至關重要。
- 從演算法角度看，搜尋、排序、回溯、分治、動態規劃等許多重要演算法策略直接或間接地應用了這種思維方式。
- 從資料結構角度看，遞迴天然適合處理鏈結串列、樹和圖的相關問題，因為它們非常適合用分治思想進行分析。
## 2.2.3 &nbsp; 兩者對比
總結以上內容，如表 2-1 所示，迭代和遞迴在實現、效能和適用性上有所不同。
<p align="center"> 表 2-1 &nbsp; 迭代與遞迴特點對比 </p>
<div class="center-table" markdown>
| | 迭代 | 遞迴 |
| -------- | -------------------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| 實現方式 | 迴圈結構 | 函式呼叫自身 |
| 時間效率 | 效率通常較高，無函式呼叫開銷 | 每次函式呼叫都會產生開銷 |
| 記憶體使用 | 通常使用固定大小的記憶體空間 | 累積函式呼叫可能使用大量的堆疊幀空間 |
| 適用問題 | 適用於簡單迴圈任務，程式碼直觀、可讀性好 | 適用於子問題分解，如樹、圖、分治、回溯等，程式碼結構簡潔、清晰 |
</div>
!!! tip
如果感覺以下內容理解困難，可以在讀完“堆疊”章節後再來複習。
那麼，迭代和遞迴具有什麼內在關聯呢？以上述遞迴函式為例，求和操作在遞迴的“迴”階段進行。這意味著最初被呼叫的函式實際上是最後完成其求和操作的，**這種工作機制與堆疊的“先入後出”原則異曲同工**。
事實上，“呼叫堆疊”和“堆疊幀空間”這類遞迴術語已經暗示了遞迴與堆疊之間的密切關係。
1. **遞**：當函式被呼叫時，系統會在“呼叫堆疊”上為該函式分配新的堆疊幀，用於儲存函式的區域性變數、參數、返回位址等資料。
2. **迴**：當函式完成執行並返回時，對應的堆疊幀會被從“呼叫堆疊”上移除，恢復之前函式的執行環境。
因此，**我們可以使用一個顯式的堆疊來模擬呼叫堆疊的行為**，從而將遞迴轉化為迭代形式：
=== "Python"
```python title="recursion.py"
def for_loop_recur(n: int) -> int:
"""使用迭代模擬遞迴"""
# 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
stack = []
res = 0
# 遞：遞迴呼叫
for i in range(n, 0, -1):
# 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.append(i)
# 迴：返回結果
while stack:
# 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop()
# res = 1+2+3+...+n
return res
```
=== "C++"
```cpp title="recursion.cpp"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
int forLoopRecur(int n) {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
stack<int> stack;
int res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (int i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.push(i);
}
// 迴：返回結果
while (!stack.empty()) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.top();
stack.pop();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "Java"
```java title="recursion.java"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
int forLoopRecur(int n) {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
Stack<Integer> stack = new Stack<>();
int res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (int i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.push(i);
}
// 迴：返回結果
while (!stack.isEmpty()) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "C#"
```csharp title="recursion.cs"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
int ForLoopRecur(int n) {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
Stack<int> stack = new();
int res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (int i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.Push(i);
}
// 迴：返回結果
while (stack.Count > 0) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.Pop();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "Go"
```go title="recursion.go"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
func forLoopRecur(n int) int {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
stack := list.New()
res := 0
// 遞：遞迴呼叫
for i := n; i > 0; i-- {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.PushBack(i)
}
// 迴：返回結果
for stack.Len() != 0 {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.Back().Value.(int)
stack.Remove(stack.Back())
}
// res = 1+2+3+...+n
return res
}
```
=== "Swift"
```swift title="recursion.swift"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
func forLoopRecur(n: Int) -> Int {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
var stack: [Int] = []
var res = 0
// 遞：遞迴呼叫
for i in (1 ... n).reversed() {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.append(i)
}
// 迴：返回結果
while !stack.isEmpty {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.removeLast()
}
// res = 1+2+3+...+n
return res
}
```
=== "JS"
```javascript title="recursion.js"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
function forLoopRecur(n) {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
const stack = [];
let res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (let i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.push(i);
}
// 迴：返回結果
while (stack.length) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "TS"
```typescript title="recursion.ts"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
function forLoopRecur(n: number): number {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
const stack: number[] = [];
let res: number = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (let i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.push(i);
}
// 迴：返回結果
while (stack.length) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "Dart"
```dart title="recursion.dart"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
int forLoopRecur(int n) {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
List<int> stack = [];
int res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (int i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.add(i);
}
// 迴：返回結果
while (!stack.isEmpty) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.removeLast();
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "Rust"
```rust title="recursion.rs"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
fn for_loop_recur(n: i32) -> i32 {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
let mut stack = Vec::new();
let mut res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for i in (1..=n).rev() {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack.push(i);
}
// 迴：返回結果
while !stack.is_empty() {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop().unwrap();
}
// res = 1+2+3+...+n
res
}
```
=== "C"
```c title="recursion.c"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
int forLoopRecur(int n) {
int stack[1000]; // 藉助一個大陣列來模擬堆疊
int top = -1; // 堆疊頂索引
int res = 0;
// 遞：遞迴呼叫
for (int i = n; i > 0; i--) {
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack[1 + top++] = i;
}
// 迴：返回結果
while (top >= 0) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack[top--];
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="recursion.kt"
/* 使用迭代模擬遞迴 */
fun forLoopRecur(n: Int): Int {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
val stack = Stack<Int>()
var res = 0
// 遞: 遞迴呼叫
for (i in n downTo 0) {
build
7 months ago
// 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
build
8 months ago
stack.push(i)
}
// 迴: 返回結果
while (stack.isNotEmpty()) {
// 透過“出堆疊操作”模擬“迴”
res += stack.pop()
}
// res = 1+2+3+...+n
return res
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="recursion.rb"
### 使用迭代模擬遞迴 ###
def for_loop_recur(n)
# 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
stack = []
res = 0
# 遞：遞迴呼叫
for i in n.downto(0)
# 透過“入堆疊操作”模擬“遞”
stack << i
end
# 迴：返回結果
while !stack.empty?
res += stack.pop
end
# res = 1+2+3+...+n
res
end
```
=== "Zig"
```zig title="recursion.zig"
// 使用迭代模擬遞迴
fn forLoopRecur(comptime n: i32) i32 {
// 使用一個顯式的堆疊來模擬系統呼叫堆疊
var stack: [n]i32 = undefined;
var res: i32 = 0;
// 遞：遞迴呼叫
var i: usize = n;
while (i > 0) {
stack[i - 1] = @intCast(i);
i -= 1;
}
// 迴：返回結果
var index: usize = n;
while (index > 0) {
index -= 1;
res += stack[index];
}
// res = 1+2+3+...+n
return res;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
build
7 months ago
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20for_loop_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%A8%A1%E6%93%AC%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E4%B8%80%E5%80%8B%E9%A1%AF%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%96%8A%E4%BE%86%E6%A8%A1%E6%93%AC%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E5%91%BC%E5%8F%AB%E5%A0%86%E7%96%8A%0A%20%20%20%20stack%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%8F%E9%81%8E%E2%80%9C%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%96%8A%E6%93%8D%E4%BD%9C%E2%80%9D%E6%A8%A1%E6%93%AC%E2%80%9C%E9%81%9E%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stack.append%28i%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%EF%BC%9A%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%0A%20%20%20%20while%20stack%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%8F%E9%81%8E%E2%80%9C%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%96%8A%E6%93%8D%E4%BD%9C%E2%80%9D%E6%A8%A1%E6%93%AC%E2%80%9C%E8%BF%B4%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20stack.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20res%20%3D%201%2B2%2B3%2B...%2Bn%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20for_loop_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%A8%A1%E6%93%AC%E9%81%9E%E8%BF%B4%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20for_loop_recur%28n%3A%20int%29%20-%3E%20int%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%A8%A1%E6%93%AC%E9%81%9E%E8%BF%B4%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E4%BD%BF%E7%94%A8%E4%B8%80%E5%80%8B%E9%A1%AF%E5%BC%8F%E7%9A%84%E5%A0%86%E7%96%8A%E4%BE%86%E6%A8%A1%E6%93%AC%E7%B3%BB%E7%B5%B1%E5%91%BC%E5%8F%AB%E5%A0%86%E7%96%8A%0A%20%20%20%20stack%20%3D%20%5B%5D%0A%20%20%20%20res%20%3D%200%0A%20%20%20%20%23%20%E9%81%9E%EF%BC%9A%E9%81%9E%E8%BF%B4%E5%91%BC%E5%8F%AB%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%28n%2C%200%2C%20-1%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%8F%E9%81%8E%E2%80%9C%E5%85%A5%E5%A0%86%E7%96%8A%E6%93%8D%E4%BD%9C%E2%80%9D%E6%A8%A1%E6%93%AC%E2%80%9C%E9%81%9E%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20stack.append%28i%29%0A%20%20%20%20%23%20%E8%BF%B4%EF%BC%9A%E8%BF%94%E5%9B%9E%E7%B5%90%E6%9E%9C%0A%20%20%20%20while%20stack%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E9%80%8F%E9%81%8E%E2%80%9C%E5%87%BA%E5%A0%86%E7%96%8A%E6%93%8D%E4%BD%9C%E2%80%9D%E6%A8%A1%E6%93%AC%E2%80%9C%E8%BF%B4%E2%80%9D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20res%20%2B%3D%20stack.pop%28%29%0A%20%20%20%20%23%20res%20%3D%201%2B2%2B3%2B...%2Bn%0A%20%20%20%20return%20res%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20n%20%3D%205%0A%20%20%20%20res%20%3D%20for_loop_recur%28n%29%0A%20%20%20%20print%28f%22%5Cn%E4%BD%BF%E7%94%A8%E8%BF%AD%E4%BB%A3%E6%A8%A1%E6%93%AC%E9%81%9E%E8%BF%B4%E6%B1%82%E5%92%8C%E7%B5%90%E6%9E%9C%20res%20%3D%20%7Bres%7D%22%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=3&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
build
8 months ago
觀察以上程式碼，當遞迴轉化為迭代後，程式碼變得更加複雜了。儘管迭代和遞迴在很多情況下可以互相轉化，但不一定值得這樣做，有以下兩點原因。
- 轉化後的程式碼可能更加難以理解，可讀性更差。
- 對於某些複雜問題，模擬系統呼叫堆疊的行為可能非常困難。
總之，**選擇迭代還是遞迴取決於特定問題的性質**。在程式設計實踐中，權衡兩者的優劣並根據情境選擇合適的方法至關重要。