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hello-algo/docs/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md

1328 lines
45 KiB

1 year ago
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comments: true
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# 14.4   0-1 背包问题
背包问题是一个非常好的动态规划入门题目,是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种,例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。
在本节中,我们先来求解最常见的 0-1 背包问题。
!!! question
给定 $n$ 个物品,第 $i$ 个物品的重量为 $wgt[i-1]$、价值为 $val[i-1]$ ,和一个容量为 $cap$ 的背包。每个物品只能选择一次,问在不超过背包容量下能放入物品的最大价值。
观察图 14-17 ,由于物品编号 $i$ 从 $1$ 开始计数,数组索引从 $0$ 开始计数,因此物品 $i$ 对应重量 $wgt[i-1]$ 和价值 $val[i-1]$ 。
1 year ago
![0-1 背包的示例数据](knapsack_problem.assets/knapsack_example.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
<p align="center"> 图 14-17 &nbsp; 0-1 背包的示例数据 </p>
我们可以将 0-1 背包问题看作是一个由 $n$ 轮决策组成的过程,每个物体都有不放入和放入两种决策,因此该问题是满足决策树模型的。
该问题的目标是求解“在限定背包容量下的最大价值”,因此较大概率是个动态规划问题。
**第一步:思考每轮的决策,定义状态,从而得到 $dp$ 表**
对于每个物品来说,不放入背包,背包容量不变;放入背包,背包容量减小。由此可得状态定义:当前物品编号 $i$ 和剩余背包容量 $c$ ,记为 $[i, c]$ 。
状态 $[i, c]$ 对应的子问题为:**前 $i$ 个物品在剩余容量为 $c$ 的背包中的最大价值**,记为 $dp[i, c]$ 。
待求解的是 $dp[n, cap]$ ,因此需要一个尺寸为 $(n+1) \times (cap+1)$ 的二维 $dp$ 表。
**第二步:找出最优子结构,进而推导出状态转移方程**
当我们做出物品 $i$ 的决策后,剩余的是前 $i-1$ 个物品的决策,可分为以下两种情况。
- **不放入物品 $i$** :背包容量不变,状态变化为 $[i-1, c]$ 。
- **放入物品 $i$** :背包容量减小 $wgt[i-1]$ ,价值增加 $val[i-1]$ ,状态变化为 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 。
上述分析向我们揭示了本题的最优子结构:**最大价值 $dp[i, c]$ 等于不放入物品 $i$ 和放入物品 $i$ 两种方案中的价值更大的那一个**。由此可推出状态转移方程:
$$
dp[i, c] = \max(dp[i-1, c], dp[i-1, c - wgt[i-1]] + val[i-1])
$$
需要注意的是,若当前物品重量 $wgt[i - 1]$ 超出剩余背包容量 $c$ ,则只能选择不放入背包。
**第三步:确定边界条件和状态转移顺序**
当无物品或无剩余背包容量时最大价值为 $0$ ,即首列 $dp[i, 0]$ 和首行 $dp[0, c]$ 都等于 $0$ 。
当前状态 $[i, c]$ 从上方的状态 $[i-1, c]$ 和左上方的状态 $[i-1, c-wgt[i-1]]$ 转移而来,因此通过两层循环正序遍历整个 $dp$ 表即可。
根据以上分析,我们接下来按顺序实现暴力搜索、记忆化搜索、动态规划解法。
### 1. &nbsp; 方法一:暴力搜索
搜索代码包含以下要素。
- **递归参数**:状态 $[i, c]$ 。
- **返回值**:子问题的解 $dp[i, c]$ 。
- **终止条件**:当物品编号越界 $i = 0$ 或背包剩余容量为 $0$ 时,终止递归并返回价值 $0$ 。
- **剪枝**:若当前物品重量超出背包剩余容量,则只能不放入背包。
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
1 year ago
def knapsack_dfs(wgt: list[int], val: list[int], i: int, c: int) -> int:
"""0-1 背包:暴力搜索"""
# 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 or c == 0:
return 0
# 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c:
return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
# 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c)
yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
# 返回两种方案中价值更大的那一个
return max(no, yes)
1 year ago
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
int knapsackDFS(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
int knapsackDFS(int[] wgt, int[] val, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return Math.max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
1 year ago
int KnapsackDFS(int[] weight, int[] val, int i, int c) {
1 year ago
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (weight[i - 1] > c) {
1 year ago
return KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
1 year ago
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
1 year ago
int no = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c);
int yes = KnapsackDFS(weight, val, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
1 year ago
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return Math.Max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
func knapsackDFS(wgt, val []int, i, c int) int {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i-1] > c {
return knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c)
yes := knapsackDFS(wgt, val, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
}
1 year ago
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
func knapsackDFS(wgt: [Int], val: [Int], i: Int, c: Int) -> Int {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c {
return knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c)
let yes = knapsackDFS(wgt: wgt, val: val, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return max(no, yes)
}
1 year ago
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
function knapsackDFS(wgt, val, i, c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i === 0 || c === 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return Math.max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
function knapsackDFS(
wgt: Array<number>,
val: Array<number>,
i: number,
c: number
): number {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i === 0 || c === 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
const no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
const yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return Math.max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
int knapsackDFS(List<int> wgt, List<int> val, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return max(no, yes);
}
1 year ago
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
fn knapsack_dfs(wgt: &[i32], val: &[i32], i: usize, c: usize) -> i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c as i32 {
return knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c);
let yes = knapsack_dfs(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
std::cmp::max(no, yes)
}
1 year ago
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
1 year ago
/* 0-1 背包:暴力搜索 */
int knapsackDFS(int wgt[], int val[], int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
int yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
1 year ago
return myMax(no, yes);
1 year ago
}
1 year ago
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
1 year ago
// 0-1 背包:暴力搜索
fn knapsackDFS(wgt: []i32, val: []i32, i: usize, c: usize) i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 or c == 0) {
return 0;
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
var no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c);
var yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
// 返回两种方案中价值更大的那一个
return @max(no, yes);
}
1 year ago
```
如图 14-18 所示,由于每个物品都会产生不选和选两条搜索分支,因此时间复杂度为 $O(2^n)$ 。
观察递归树,容易发现其中存在重叠子问题,例如 $dp[1, 10]$ 等。而当物品较多、背包容量较大,尤其是相同重量的物品较多时,重叠子问题的数量将会大幅增多。
1 year ago
![0-1 背包的暴力搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
<p align="center"> 图 14-18 &nbsp; 0-1 背包的暴力搜索递归树 </p>
### 2. &nbsp; 方法二:记忆化搜索
为了保证重叠子问题只被计算一次,我们借助记忆列表 `mem` 来记录子问题的解,其中 `mem[i][c]` 对应 $dp[i, c]$ 。
引入记忆化之后,**时间复杂度取决于子问题数量**,也就是 $O(n \times cap)$ 。
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
1 year ago
def knapsack_dfs_mem(
wgt: list[int], val: list[int], mem: list[list[int]], i: int, c: int
) -> int:
"""0-1 背包:记忆化搜索"""
# 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 or c == 0:
return 0
# 若已有记录,则直接返回
if mem[i][c] != -1:
return mem[i][c]
# 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c:
return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
# 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c)
yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
# 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = max(no, yes)
return mem[i][c]
1 year ago
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(vector<int> &wgt, vector<int> &val, vector<vector<int>> &mem, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(int[] wgt, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = Math.max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
1 year ago
int KnapsackDFSMem(int[] weight, int[] val, int[][] mem, int i, int c) {
1 year ago
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (weight[i - 1] > c) {
1 year ago
return KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
1 year ago
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
1 year ago
int no = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c);
int yes = KnapsackDFSMem(weight, val, mem, i - 1, c - weight[i - 1]) + val[i - 1];
1 year ago
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = Math.Max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
func knapsackDFSMem(wgt, val []int, mem [][]int, i, c int) int {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若已有记录,则直接返回
if mem[i][c] != -1 {
return mem[i][c]
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i-1] > c {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
no := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c)
yes := knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i-1, c-wgt[i-1]) + val[i-1]
// 返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = int(math.Max(float64(no), float64(yes)))
return mem[i][c]
}
1 year ago
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
func knapsackDFSMem(wgt: [Int], val: [Int], mem: inout [[Int]], i: Int, c: Int) -> Int {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0
}
// 若已有记录,则直接返回
if mem[i][c] != -1 {
return mem[i][c]
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c {
return knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c)
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c)
let yes = knapsackDFSMem(wgt: wgt, val: val, mem: &mem, i: i - 1, c: c - wgt[i - 1]) + val[i - 1]
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = max(no, yes)
return mem[i][c]
}
1 year ago
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
function knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i, c) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i === 0 || c === 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] !== -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
const yes =
knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = Math.max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
function knapsackDFSMem(
wgt: Array<number>,
val: Array<number>,
mem: Array<Array<number>>,
i: number,
c: number
): number {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i === 0 || c === 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] !== -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
const no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
const yes =
knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = Math.max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
int knapsackDFSMem(
List<int> wgt,
List<int> val,
List<List<int>> mem,
int i,
int c,
) {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
fn knapsack_dfs_mem(wgt: &[i32], val: &[i32], mem: &mut Vec<Vec<i32>>, i: usize, c: usize) -> i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if i == 0 || c == 0 {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if mem[i][c] != -1 {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if wgt[i - 1] > c as i32 {
return knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
let no = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c);
let yes = knapsack_dfs_mem(wgt, val, mem, i - 1, c - wgt[i - 1] as usize) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = std::cmp::max(no, yes);
mem[i][c]
}
1 year ago
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
1 year ago
/* 0-1 背包:记忆化搜索 */
1 year ago
int knapsackDFSMem(int wgt[], int val[], int memCols, int **mem, int i, int c) {
1 year ago
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 || c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
int no = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c);
int yes = knapsackDFSMem(wgt, val, memCols, mem, i - 1, c - wgt[i - 1]) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
1 year ago
mem[i][c] = myMax(no, yes);
1 year ago
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
1 year ago
// 0-1 背包:记忆化搜索
fn knapsackDFSMem(wgt: []i32, val: []i32, mem: anytype, i: usize, c: usize) i32 {
// 若已选完所有物品或背包无容量,则返回价值 0
if (i == 0 or c == 0) {
return 0;
}
// 若已有记录,则直接返回
if (mem[i][c] != -1) {
return mem[i][c];
}
// 若超过背包容量,则只能不放入背包
if (wgt[i - 1] > c) {
return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
}
// 计算不放入和放入物品 i 的最大价值
var no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c);
var yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1];
// 记录并返回两种方案中价值更大的那一个
mem[i][c] = @max(no, yes);
return mem[i][c];
}
1 year ago
```
图 14-19 展示了在记忆化递归中被剪掉的搜索分支。
1 year ago
![0-1 背包的记忆化搜索递归树](knapsack_problem.assets/knapsack_dfs_mem.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
<p align="center"> 图 14-19 &nbsp; 0-1 背包的记忆化搜索递归树 </p>
### 3. &nbsp; 方法三:动态规划
动态规划实质上就是在状态转移中填充 $dp$ 表的过程,代码如下所示。
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
1 year ago
def knapsack_dp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
"""0-1 背包:动态规划"""
n = len(wgt)
# 初始化 dp 表
dp = [[0] * (cap + 1) for _ in range(n + 1)]
# 状态转移
for i in range(1, n + 1):
for c in range(1, cap + 1):
if wgt[i - 1] > c:
# 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c]
else:
# 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
return dp[n][cap]
1 year ago
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
int knapsackDP(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
int n = wgt.size();
// 初始化 dp 表
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(cap + 1, 0));
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
int knapsackDP(int[] wgt, int[] val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
int[][] dp = new int[n + 1][cap + 1];
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = Math.max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
1 year ago
int KnapsackDP(int[] weight, int[] val, int cap) {
1 year ago
int n = weight.Length;
// 初始化 dp 表
int[,] dp = new int[n + 1, cap + 1];
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (weight[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i, c] = dp[i - 1, c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i, c] = Math.Max(dp[i - 1, c - weight[i - 1]] + val[i - 1], dp[i - 1, c]);
}
}
}
return dp[n, cap];
}
1 year ago
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
func knapsackDP(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([][]int, n+1)
for i := 0; i <= n; i++ {
dp[i] = make([]int, cap+1)
}
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
for c := 1; c <= cap; c++ {
if wgt[i-1] > c {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i-1][c]
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = int(math.Max(float64(dp[i-1][c]), float64(dp[i-1][c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[n][cap]
}
1 year ago
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
func knapsackDP(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
let n = wgt.count
// 初始化 dp 表
var dp = Array(repeating: Array(repeating: 0, count: cap + 1), count: n + 1)
// 状态转移
for i in stride(from: 1, through: n, by: 1) {
for c in stride(from: 1, through: cap, by: 1) {
if wgt[i - 1] > c {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c]
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
}
}
}
return dp[n][cap]
}
1 year ago
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
function knapsackDP(wgt, val, cap) {
const n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
const dp = Array(n + 1)
.fill(0)
.map(() => Array(cap + 1).fill(0));
// 状态转移
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = Math.max(
dp[i - 1][c],
dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]
);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
function knapsackDP(
wgt: Array<number>,
val: Array<number>,
cap: number
): number {
const n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
const dp = Array.from({ length: n + 1 }, () =>
Array.from({ length: cap + 1 }, () => 0)
);
// 状态转移
for (let i = 1; i <= n; i++) {
for (let c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = Math.max(
dp[i - 1][c],
dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]
);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
int knapsackDP(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<List<int>> dp = List.generate(n + 1, (index) => List.filled(cap + 1, 0));
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
fn knapsack_dp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![vec![0; cap + 1]; n + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
for c in 1..=cap {
if wgt[i - 1] > c as i32 {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = std::cmp::max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
dp[n][cap]
}
1 year ago
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
1 year ago
/* 0-1 背包:动态规划 */
int knapsackDP(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) {
int n = wgtSize;
// 初始化 dp 表
1 year ago
int **dp = malloc((n + 1) * sizeof(int *));
for (int i = 0; i <= n; i++) {
dp[i] = calloc(cap + 1, sizeof(int));
}
1 year ago
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (int c = 1; c <= cap; c++) {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
1 year ago
dp[i][c] = myMax(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
1 year ago
}
}
}
1 year ago
int res = dp[n][cap];
// 释放内存
for (int i = 0; i <= n; i++) {
free(dp[i]);
}
return res;
1 year ago
}
1 year ago
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
1 year ago
// 0-1 背包:动态规划
fn knapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
comptime var n = wgt.len;
// 初始化 dp 表
var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1);
// 状态转移
for (1..n + 1) |i| {
for (1..cap + 1) |c| {
if (wgt[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[i][c] = dp[i - 1][c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[n][cap];
}
1 year ago
```
如图 14-20 所示,时间复杂度和空间复杂度都由数组 `dp` 大小决定,即 $O(n \times cap)$ 。
=== "<1>"
1 year ago
![0-1 背包的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step1.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<2>"
1 year ago
![knapsack_dp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step2.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<3>"
1 year ago
![knapsack_dp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step3.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<4>"
1 year ago
![knapsack_dp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step4.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<5>"
1 year ago
![knapsack_dp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step5.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<6>"
1 year ago
![knapsack_dp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step6.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<7>"
1 year ago
![knapsack_dp_step7](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step7.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<8>"
1 year ago
![knapsack_dp_step8](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step8.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<9>"
1 year ago
![knapsack_dp_step9](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step9.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<10>"
1 year ago
![knapsack_dp_step10](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step10.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<11>"
1 year ago
![knapsack_dp_step11](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step11.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<12>"
1 year ago
![knapsack_dp_step12](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step12.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<13>"
1 year ago
![knapsack_dp_step13](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step13.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<14>"
1 year ago
![knapsack_dp_step14](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_step14.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
<p align="center"> 图 14-20 &nbsp; 0-1 背包的动态规划过程 </p>
### 4. &nbsp; 空间优化
由于每个状态都只与其上一行的状态有关,因此我们可以使用两个数组滚动前进,将空间复杂度从 $O(n^2)$ 将低至 $O(n)$ 。
进一步思考,我们是否可以仅用一个数组实现空间优化呢?观察可知,每个状态都是由正上方或左上方的格子转移过来的。假设只有一个数组,当开始遍历第 $i$ 行时,该数组存储的仍然是第 $i-1$ 行的状态。
- 如果采取正序遍历,那么遍历到 $dp[i, j]$ 时,左上方 $dp[i-1, 1]$ ~ $dp[i-1, j-1]$ 值可能已经被覆盖,此时就无法得到正确的状态转移结果。
- 如果采取倒序遍历,则不会发生覆盖问题,状态转移可以正确进行。
图 14-21 展示了在单个数组下从第 $i = 1$ 行转换至第 $i = 2$ 行的过程。请思考正序遍历和倒序遍历的区别。
=== "<1>"
1 year ago
![0-1 背包的空间优化后的动态规划过程](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step1.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<2>"
1 year ago
![knapsack_dp_comp_step2](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step2.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<3>"
1 year ago
![knapsack_dp_comp_step3](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step3.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<4>"
1 year ago
![knapsack_dp_comp_step4](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step4.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<5>"
1 year ago
![knapsack_dp_comp_step5](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step5.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
=== "<6>"
1 year ago
![knapsack_dp_comp_step6](knapsack_problem.assets/knapsack_dp_comp_step6.png){ class="animation-figure" }
1 year ago
<p align="center"> 图 14-21 &nbsp; 0-1 背包的空间优化后的动态规划过程 </p>
在代码实现中,我们仅需将数组 `dp` 的第一维 $i$ 直接删除,并且把内循环更改为倒序遍历即可。
=== "Python"
```python title="knapsack.py"
1 year ago
def knapsack_dp_comp(wgt: list[int], val: list[int], cap: int) -> int:
"""0-1 背包:空间优化后的动态规划"""
n = len(wgt)
# 初始化 dp 表
dp = [0] * (cap + 1)
# 状态转移
for i in range(1, n + 1):
# 倒序遍历
for c in range(cap, 0, -1):
if wgt[i - 1] > c:
# 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[c] = dp[c]
else:
# 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
return dp[cap]
1 year ago
```
=== "C++"
```cpp title="knapsack.cpp"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(vector<int> &wgt, vector<int> &val, int cap) {
int n = wgt.size();
// 初始化 dp 表
vector<int> dp(cap + 1, 0);
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "Java"
```java title="knapsack.java"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int[] wgt, int[] val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
int[] dp = new int[cap + 1];
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "C#"
```csharp title="knapsack.cs"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
1 year ago
int KnapsackDPComp(int[] weight, int[] val, int cap) {
1 year ago
int n = weight.Length;
// 初始化 dp 表
int[] dp = new int[cap + 1];
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c > 0; c--) {
if (weight[i - 1] > c) {
// 若超过背包容量,则不选物品 i
dp[c] = dp[c];
} else {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = Math.Max(dp[c], dp[c - weight[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "Go"
```go title="knapsack.go"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt, val []int, cap int) int {
n := len(wgt)
// 初始化 dp 表
dp := make([]int, cap+1)
// 状态转移
for i := 1; i <= n; i++ {
// 倒序遍历
for c := cap; c >= 1; c-- {
if wgt[i-1] <= c {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = int(math.Max(float64(dp[c]), float64(dp[c-wgt[i-1]]+val[i-1])))
}
}
}
return dp[cap]
}
1 year ago
```
=== "Swift"
```swift title="knapsack.swift"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
func knapsackDPComp(wgt: [Int], val: [Int], cap: Int) -> Int {
let n = wgt.count
// 初始化 dp 表
var dp = Array(repeating: 0, count: cap + 1)
// 状态转移
for i in stride(from: 1, through: n, by: 1) {
// 倒序遍历
for c in stride(from: cap, through: 1, by: -1) {
if wgt[i - 1] <= c {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1])
}
}
}
return dp[cap]
}
1 year ago
```
=== "JS"
```javascript title="knapsack.js"
1 year ago
/* 0-1 背包:状态压缩后的动态规划 */
function knapsackDPComp(wgt, val, cap) {
const n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
const dp = Array(cap + 1).fill(0);
// 状态转移
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (let c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "TS"
```typescript title="knapsack.ts"
1 year ago
/* 0-1 背包:状态压缩后的动态规划 */
function knapsackDPComp(
wgt: Array<number>,
val: Array<number>,
cap: number
): number {
const n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
const dp = Array(cap + 1).fill(0);
// 状态转移
for (let i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (let c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = Math.max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "Dart"
```dart title="knapsack.dart"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(List<int> wgt, List<int> val, int cap) {
int n = wgt.length;
// 初始化 dp 表
List<int> dp = List.filled(cap + 1, 0);
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```
=== "Rust"
```rust title="knapsack.rs"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
fn knapsack_dp_comp(wgt: &[i32], val: &[i32], cap: usize) -> i32 {
let n = wgt.len();
// 初始化 dp 表
let mut dp = vec![0; cap + 1];
// 状态转移
for i in 1..=n {
// 倒序遍历
for c in (1..=cap).rev() {
if wgt[i - 1] <= c as i32 {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = std::cmp::max(dp[c], dp[c - wgt[i - 1] as usize] + val[i - 1]);
}
}
}
dp[cap]
}
1 year ago
```
=== "C"
```c title="knapsack.c"
1 year ago
/* 0-1 背包:空间优化后的动态规划 */
int knapsackDPComp(int wgt[], int val[], int cap, int wgtSize) {
int n = wgtSize;
// 初始化 dp 表
1 year ago
int *dp = calloc(cap + 1, sizeof(int));
1 year ago
// 状态转移
for (int i = 1; i <= n; i++) {
// 倒序遍历
for (int c = cap; c >= 1; c--) {
if (wgt[i - 1] <= c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
1 year ago
dp[c] = myMax(dp[c], dp[c - wgt[i - 1]] + val[i - 1]);
1 year ago
}
}
}
1 year ago
int res = dp[cap];
// 释放内存
free(dp);
return res;
1 year ago
}
1 year ago
```
=== "Zig"
```zig title="knapsack.zig"
1 year ago
// 0-1 背包:空间优化后的动态规划
fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 {
var n = wgt.len;
// 初始化 dp 表
var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1);
// 状态转移
for (1..n + 1) |i| {
// 倒序遍历
var c = cap;
while (c > 0) : (c -= 1) {
if (wgt[i - 1] < c) {
// 不选和选物品 i 这两种方案的较大值
dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]);
}
}
}
return dp[cap];
}
1 year ago
```