yetao
/
hello-algo
mirror of https://github.com/krahets/hello-algo.git
1
0
Fork 0
Code Issues Packages Projects Releases Wiki Activity
You can not select more than 25 topics Topics must start with a letter or number, can include dashes ('-') and can be up to 35 characters long.
Branches Tags
${ item.name }
Create tag ${ searchTerm }
Create branch ${ searchTerm }
from 'a6adc8e20a'
${ noResults }
hello-algo/zh-Hant/docs/chapter_tree/binary_search_tree.md

1629 lines
78 KiB
Raw Normal View History Unescape

build
8 months ago
---
comments: true
---
# 7.4   二元搜尋樹
如圖 7-16 所示，<u>二元搜尋樹（binary search tree）</u>滿足以下條件。
1. 對於根節點，左子樹中所有節點的值 $<$ 根節點的值 $<$ 右子樹中所有節點的值。
2. 任意節點的左、右子樹也是二元搜尋樹，即同樣滿足條件 `1.` 。
![二元搜尋樹](binary_search_tree.assets/binary_search_tree.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-16 &nbsp; 二元搜尋樹 </p>
## 7.4.1 &nbsp; 二元搜尋樹的操作
我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 `BinarySearchTree` ，並宣告一個成員變數 `root` ，指向樹的根節點。
### 1. &nbsp; 查詢節點
給定目標節點值 `num` ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如圖 7-17 所示，我們宣告一個節點 `cur` ，從二元樹的根節點 `root` 出發，迴圈比較節點值 `cur.val` 和 `num` 之間的大小關係。
- 若 `cur.val < num` ，說明目標節點在 `cur` 的右子樹中，因此執行 `cur = cur.right` 。
- 若 `cur.val > num` ，說明目標節點在 `cur` 的左子樹中，因此執行 `cur = cur.left` 。
- 若 `cur.val = num` ，說明找到目標節點，跳出迴圈並返回該節點。
=== "<1>"
![二元搜尋樹查詢節點示例](binary_search_tree.assets/bst_search_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![bst_search_step2](binary_search_tree.assets/bst_search_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![bst_search_step3](binary_search_tree.assets/bst_search_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![bst_search_step4](binary_search_tree.assets/bst_search_step4.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-17 &nbsp; 二元搜尋樹查詢節點示例 </p>
二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def search(self, num: int) -> TreeNode | None:
"""查詢節點"""
cur = self._root
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur is not None:
# 目標節點在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 目標節點在 cur 的左子樹中
elif cur.val > num:
cur = cur.left
# 找到目標節點，跳出迴圈
else:
break
return cur
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(int num) {
TreeNode *cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur->val > num)
cur = cur->left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 查詢節點 */
TreeNode search(int num) {
TreeNode cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 查詢節點 */
TreeNode? Search(int num) {
TreeNode? cur = root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur =
cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 查詢節點 */
func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode {
node := bst.root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for node != nil {
if node.Val.(int) < num {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
node = node.Right
} else if node.Val.(int) > num {
// 目標節點在 cur 的左子樹中
node = node.Left
} else {
// 找到目標節點，跳出迴圈
break
}
}
// 返回目標節點
return node
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 查詢節點 */
func search(num: Int) -> TreeNode? {
var cur = root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if cur!.val > num {
cur = cur?.left
}
// 找到目標節點，跳出迴圈
else {
break
}
}
// 返回目標節點
return cur
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 查詢節點 */
search(num) {
let cur = this.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num) cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 查詢節點 */
search(num: number): TreeNode | null {
let cur = this.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > num) cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 查詢節點 */
TreeNode? search(int _num) {
TreeNode? cur = _root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.val > _num)
cur = cur.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
else
break;
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 查詢節點 */
pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc {
let mut cur = self.root.clone();
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(),
// 目標節點在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(),
// 找到目標節點，跳出迴圈
Ordering::Equal => break,
}
}
// 返回目標節點
cur
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 查詢節點 */
TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) {
TreeNode *cur = bst->root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
if (cur->val < num) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
cur = cur->right;
} else if (cur->val > num) {
// 目標節點在 cur 的左子樹中
cur = cur->left;
} else {
// 找到目標節點，跳出迴圈
break;
}
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 查詢節點 */
fun search(num: Int): TreeNode? {
var cur = root
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 目標節點在 cur 的左子樹中
else if (cur.value > num) cur.left
// 找到目標節點，跳出迴圈
else break
}
// 返回目標節點
return cur
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{search}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 查詢節點
fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) {
var cur = self.root;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 目標節點在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 目標節點在 cur 的左子樹中
} else if (cur.?.val > num) {
cur = cur.?.left;
// 找到目標節點，跳出迴圈
} else {
break;
}
}
// 返回目標節點
return cur;
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20search%28self,%20num%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20self._root%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20cur.val%20%3E%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cur%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20search%28self,%20num%3A%20int%29%20-%3E%20TreeNode%20%7C%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20self._root%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20elif%20cur.val%20%3E%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E7%9B%AE%E6%A0%87%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%B7%B3%E5%87%BA%E5%BE%AA%E7%8E%AF%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20return%20cur%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B
### 2. &nbsp; 插入節點
給定一個待插入元素 `num` ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如圖 7-18 所示。
1. **查詢插入位置**：與查詢操作相似，從根節點出發，根據當前節點值和 `num` 的大小關係迴圈向下搜尋，直到越過葉節點（走訪至 `None` ）時跳出迴圈。
2. **在該位置插入節點**：初始化節點 `num` ，將該節點置於 `None` 的位置。
![在二元搜尋樹中插入節點](binary_search_tree.assets/bst_insert.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-18 &nbsp; 在二元搜尋樹中插入節點 </p>
在程式碼實現中，需要注意以下兩點。
- 二元搜尋樹不允許存在重複節點，否則將違反其定義。因此，若待插入節點在樹中已存在，則不執行插入，直接返回。
- 為了實現插入節點，我們需要藉助節點 `pre` 儲存上一輪迴圈的節點。這樣在走訪至 `None` 時，我們可以獲取到其父節點，從而完成節點插入操作。
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def insert(self, num: int):
"""插入節點"""
# 若樹為空，則初始化根節點
if self._root is None:
self._root = TreeNode(num)
return
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
cur, pre = self._root, None
while cur is not None:
# 找到重複節點，直接返回
if cur.val == num:
return
pre = cur
# 插入位置在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 插入位置在 cur 的左子樹中
else:
cur = cur.left
# 插入節點
node = TreeNode(num)
if pre.val < num:
pre.right = node
else:
pre.left = node
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == nullptr) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur->val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur->left;
}
// 插入節點
TreeNode *node = new TreeNode(num);
if (pre->val < num)
pre->right = node;
else
pre->left = node;
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 插入節點 */
void insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 插入節點 */
void Insert(int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = new TreeNode(num);
return;
}
TreeNode? cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == num)
return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode node = new(num);
if (pre != null) {
if (pre.val < num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 插入節點 */
func (bst *binarySearchTree) insert(num int) {
cur := bst.root
// 若樹為空，則初始化根節點
if cur == nil {
bst.root = NewTreeNode(num)
return
}
// 待插入節點之前的節點位置
var pre *TreeNode = nil
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for cur != nil {
if cur.Val == num {
return
}
pre = cur
if cur.Val.(int) < num {
cur = cur.Right
} else {
cur = cur.Left
}
}
// 插入節點
node := NewTreeNode(num)
if pre.Val.(int) < num {
pre.Right = node
} else {
pre.Left = node
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 插入節點 */
func insert(num: Int) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if root == nil {
root = TreeNode(x: num)
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode?
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 找到重複節點，直接返回
if cur!.val == num {
return
}
pre = cur
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else {
cur = cur?.left
}
}
// 插入節點
let node = TreeNode(x: num)
if pre!.val < num {
pre?.right = node
} else {
pre?.left = node
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 插入節點 */
insert(num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (this.root === null) {
this.root = new TreeNode(num);
return;
}
let cur = this.root,
pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val === num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 插入節點
const node = new TreeNode(num);
if (pre.val < num) pre.right = node;
else pre.left = node;
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 插入節點 */
insert(num: number): void {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (this.root === null) {
this.root = new TreeNode(num);
return;
}
let cur: TreeNode | null = this.root,
pre: TreeNode | null = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val === num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 插入節點
const node = new TreeNode(num);
if (pre!.val < num) pre!.right = node;
else pre!.left = node;
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 插入節點 */
void insert(int _num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (_root == null) {
_root = TreeNode(_num);
return;
}
TreeNode? cur = _root;
TreeNode? pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.val == _num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 插入節點
TreeNode? node = TreeNode(_num);
if (pre!.val < _num)
pre.right = node;
else
pre.left = node;
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 插入節點 */
pub fn insert(&mut self, num: i32) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if self.root.is_none() {
self.root = Some(TreeNode::new(num));
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 找到重複節點，直接返回
Ordering::Equal => return,
// 插入位置在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 插入位置在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
}
// 插入節點
let pre = pre.unwrap();
let node = Some(TreeNode::new(num));
if num > pre.borrow().val {
pre.borrow_mut().right = node;
} else {
pre.borrow_mut().left = node;
}
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 插入節點 */
void insert(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (bst->root == NULL) {
bst->root = newTreeNode(num);
return;
}
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur->val == num) {
return;
}
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 插入位置在 cur 的右子樹中
cur = cur->right;
} else {
// 插入位置在 cur 的左子樹中
cur = cur->left;
}
}
// 插入節點
TreeNode *node = newTreeNode(num);
if (pre->val < num) {
pre->right = node;
} else {
pre->left = node;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 插入節點 */
fun insert(num: Int) {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (root == null) {
root = TreeNode(num)
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode? = null
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.value == num) return
pre = cur
// 插入位置在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 插入位置在 cur 的左子樹中
else cur.left
}
// 插入節點
val node = TreeNode(num)
if (pre?.value!! < num) pre.right = node
else pre.left = node
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{insert}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 插入節點
fn insert(self: *Self, num: T) !void {
// 若樹為空，則初始化根節點
if (self.root == null) {
self.root = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
return;
}
var cur = self.root;
var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到重複節點，直接返回
if (cur.?.val == num) return;
pre = cur;
// 插入位置在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 插入位置在 cur 的左子樹中
} else {
cur = cur.?.left;
}
}
// 插入節點
var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T));
node.init(num);
if (pre.?.val < num) {
pre.?.right = node;
} else {
pre.?.left = node;
}
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.insert%2816%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E7%A9%BA%E6%A0%91%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8B%A5%E6%A0%91%E4%B8%BA%E7%A9%BA%EF%BC%8C%E5%88%99%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E6%A0%B9%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BE%AA%E7%8E%AF%E6%9F%A5%E6%89%BE%EF%BC%8C%E8%B6%8A%E8%BF%87%E5%8F%B6%E8%8A%82%E7%82%B9%E5%90%8E%E8%B7%B3%E5%87%BA%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%89%BE%E5%88%B0%E9%87%8D%E5%A4%8D%E8%8A%82%E7%82%B9%EF%BC%8C%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E8%BF%94%E5%9B%9E%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%8F%B3%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E4%BD%8D%E7%BD%AE%E5%9C%A8%20cur%20%E7%9A%84%E5%B7%A6%E5%AD%90%E6%A0%91%E4%B8%AD%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20%23%20%E5%88%9D%E5%A7%8B%E5%8C%96%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%0A%20%20%20%20bst%20%3D%20BinarySearchTree%28%29%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%202,%206,%201,%203,%205,%207%5D%0A%20%20%20%20for%20num%20in%20nums%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20bst.insert%28num%29%0A%0A%20%20%20%20%23%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20bst.insert%2816%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=162&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全螢幕觀看 ></a></div>
與查詢節點相同，插入節點使用 $O(\log n)$ 時間。
### 3. &nbsp; 刪除節點
先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。
如圖 7-19 所示，當待刪除節點的度為 $0$ 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case1.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-19 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ） </p>
如圖 7-20 所示，當待刪除節點的度為 $1$ 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case2.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-20 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ） </p>
當待刪除節點的度為 $2$ 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 $<$ 根節點 $<$ 右子樹”的性質，**因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點**。
假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如圖 7-21 所示。
1. 找到待刪除節點在“中序走訪序列”中的下一個節點，記為 `tmp` 。
2. 用 `tmp` 的值覆蓋待刪除節點的值，並在樹中遞迴刪除節點 `tmp` 。
=== "<1>"
![在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step1.png){ class="animation-figure" }
=== "<2>"
![bst_remove_case3_step2](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step2.png){ class="animation-figure" }
=== "<3>"
![bst_remove_case3_step3](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step3.png){ class="animation-figure" }
=== "<4>"
![bst_remove_case3_step4](binary_search_tree.assets/bst_remove_case3_step4.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-21 &nbsp; 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ） </p>
刪除節點操作同樣使用 $O(\log n)$ 時間，其中查詢待刪除節點需要 $O(\log n)$ 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下：
=== "Python"
```python title="binary_search_tree.py"
def remove(self, num: int):
"""刪除節點"""
# 若樹為空，直接提前返回
if self._root is None:
return
# 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
cur, pre = self._root, None
while cur is not None:
# 找到待刪除節點，跳出迴圈
if cur.val == num:
break
pre = cur
# 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if cur.val < num:
cur = cur.right
# 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else:
cur = cur.left
# 若無待刪除節點，則直接返回
if cur is None:
return
# 子節點數量 = 0 or 1
if cur.left is None or cur.right is None:
# 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
child = cur.left or cur.right
# 刪除節點 cur
if cur != self._root:
if pre.left == cur:
pre.left = child
else:
pre.right = child
else:
# 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
self._root = child
# 子節點數量 = 2
else:
# 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
tmp: TreeNode = cur.right
while tmp.left is not None:
tmp = tmp.left
# 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmp.val)
# 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val
```
=== "C++"
```cpp title="binary_search_tree.cpp"
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == nullptr)
return;
TreeNode *cur = root, *pre = nullptr;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != nullptr) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur->val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur->val < num)
cur = cur->right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur->left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == nullptr)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre->left == cur)
pre->left = child;
else
pre->right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
// 釋放記憶體
delete cur;
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode *tmp = cur->right;
while (tmp->left != nullptr) {
tmp = tmp->left;
}
int tmpVal = tmp->val;
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp->val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur->val = tmpVal;
}
}
```
=== "Java"
```java title="binary_search_tree.java"
/* 刪除節點 */
void remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null)
return;
TreeNode cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode tmp = cur.right;
while (tmp.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_search_tree.cs"
/* 刪除節點 */
void Remove(int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null)
return;
TreeNode? cur = root, pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == num)
break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null)
return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre!.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode? tmp = cur.right;
while (tmp.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
Remove(tmp.val!.Value);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "Go"
```go title="binary_search_tree.go"
/* 刪除節點 */
func (bst *binarySearchTree) remove(num int) {
cur := bst.root
// 若樹為空，直接提前返回
if cur == nil {
return
}
// 待刪除節點之前的節點位置
var pre *TreeNode = nil
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
for cur != nil {
if cur.Val == num {
break
}
pre = cur
if cur.Val.(int) < num {
// 待刪除節點在右子樹中
cur = cur.Right
} else {
// 待刪除節點在左子樹中
cur = cur.Left
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur == nil {
return
}
// 子節點數為 0 或 1
if cur.Left == nil || cur.Right == nil {
var child *TreeNode = nil
// 取出待刪除節點的子節點
if cur.Left != nil {
child = cur.Left
} else {
child = cur.Right
}
// 刪除節點 cur
if cur != bst.root {
if pre.Left == cur {
pre.Left = child
} else {
pre.Right = child
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
bst.root = child
}
// 子節點數為 2
} else {
// 獲取中序走訪中待刪除節點 cur 的下一個節點
tmp := cur.Right
for tmp.Left != nil {
tmp = tmp.Left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
bst.remove(tmp.Val.(int))
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.Val = tmp.Val
}
}
```
=== "Swift"
```swift title="binary_search_tree.swift"
/* 刪除節點 */
func remove(num: Int) {
// 若樹為空，直接提前返回
if root == nil {
return
}
var cur = root
var pre: TreeNode?
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while cur != nil {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if cur!.val == num {
break
}
pre = cur
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if cur!.val < num {
cur = cur?.right
}
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else {
cur = cur?.left
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur == nil {
return
}
// 子節點數量 = 0 or 1
if cur?.left == nil || cur?.right == nil {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
let child = cur?.left ?? cur?.right
// 刪除節點 cur
if cur !== root {
if pre?.left === cur {
pre?.left = child
} else {
pre?.right = child
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur?.right
while tmp?.left != nil {
tmp = tmp?.left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(num: tmp!.val)
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur?.val = tmp!.val
}
}
```
=== "JS"
```javascript title="binary_search_tree.js"
/* 刪除節點 */
remove(num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (this.root === null) return;
let cur = this.root,
pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val === num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur === null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left === null || cur.right === null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur !== this.root) {
if (pre.left === cur) pre.left = child;
else pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
this.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let tmp = cur.right;
while (tmp.left !== null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
this.remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "TS"
```typescript title="binary_search_tree.ts"
/* 刪除節點 */
remove(num: number): void {
// 若樹為空，直接提前返回
if (this.root === null) return;
let cur: TreeNode | null = this.root,
pre: TreeNode | null = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur !== null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val === num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < num) cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur === null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left === null || cur.right === null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
const child: TreeNode | null =
cur.left !== null ? cur.left : cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur !== this.root) {
if (pre!.left === cur) pre!.left = child;
else pre!.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
this.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let tmp: TreeNode | null = cur.right;
while (tmp!.left !== null) {
tmp = tmp!.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
this.remove(tmp!.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp!.val;
}
}
```
=== "Dart"
```dart title="binary_search_tree.dart"
/* 刪除節點 */
void remove(int _num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (_root == null) return;
TreeNode? cur = _root;
TreeNode? pre = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.val == _num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.val < _num)
cur = cur.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else
cur = cur.left;
}
// 若無待刪除節點，直接返回
if (cur == null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
TreeNode? child = cur.left ?? cur.right;
// 刪除節點 cur
if (cur != _root) {
if (pre!.left == cur)
pre.left = child;
else
pre.right = child;
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
_root = child;
}
} else {
// 子節點數量 = 2
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode? tmp = cur.right;
while (tmp!.left != null) {
tmp = tmp.left;
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.val = tmp.val;
}
}
```
=== "Rust"
```rust title="binary_search_tree.rs"
/* 刪除節點 */
pub fn remove(&mut self, num: i32) {
// 若樹為空，直接提前返回
if self.root.is_none() {
return;
}
let mut cur = self.root.clone();
let mut pre = None;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while let Some(node) = cur.clone() {
match num.cmp(&node.borrow().val) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
Ordering::Equal => break,
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
Ordering::Greater => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().right.clone();
}
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
Ordering::Less => {
pre = cur.clone();
cur = node.borrow().left.clone();
}
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if cur.is_none() {
return;
}
let cur = cur.unwrap();
let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone());
match (left_child.clone(), right_child.clone()) {
// 子節點數量 = 0 or 1
(None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
let child = left_child.or(right_child);
let pre = pre.unwrap();
// 刪除節點 cur
if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) {
let left = pre.borrow().left.clone();
if left.is_some() && Rc::ptr_eq(&left.as_ref().unwrap(), &cur) {
pre.borrow_mut().left = child;
} else {
pre.borrow_mut().right = child;
}
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
self.root = child;
}
}
// 子節點數量 = 2
(Some(_), Some(_)) => {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
let mut tmp = cur.borrow().right.clone();
while let Some(node) = tmp.clone() {
if node.borrow().left.is_some() {
tmp = node.borrow().left.clone();
} else {
break;
}
}
let tmpval = tmp.unwrap().borrow().val;
// 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmpval);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.borrow_mut().val = tmpval;
}
}
}
```
=== "C"
```c title="binary_search_tree.c"
/* 刪除節點 */
// 由於引入了 stdio.h ，此處無法使用 remove 關鍵詞
void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (bst->root == NULL)
return;
TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != NULL) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur->val == num)
break;
pre = cur;
if (cur->val < num) {
// 待刪除節點在 root 的右子樹中
cur = cur->right;
} else {
// 待刪除節點在 root 的左子樹中
cur = cur->left;
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == NULL)
return;
// 判斷待刪除節點是否存在子節點
if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) {
/* 子節點數量 = 0 or 1 */
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點
TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right;
// 刪除節點 cur
if (pre->left == cur) {
pre->left = child;
} else {
pre->right = child;
}
// 釋放記憶體
free(cur);
} else {
/* 子節點數量 = 2 */
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
TreeNode *tmp = cur->right;
while (tmp->left != NULL) {
tmp = tmp->left;
}
int tmpVal = tmp->val;
// 遞迴刪除節點 tmp
removeItem(bst, tmp->val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur->val = tmpVal;
}
}
```
=== "Kotlin"
```kotlin title="binary_search_tree.kt"
/* 刪除節點 */
fun remove(num: Int) {
// 若樹為空，直接提前返回
if (root == null) return
var cur = root
var pre: TreeNode? = null
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.value == num) break
pre = cur
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
cur = if (cur.value < num) cur.right
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
else cur.left
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null) return
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.left == null || cur.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
val child = if (cur.left != null) cur.left else cur.right
// 刪除節點 cur
if (cur != root) {
if (pre!!.left == cur) pre.left = child
else pre.right = child
} else {
// 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點
root = child
}
// 子節點數量 = 2
} else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur.right
while (tmp!!.left != null) {
tmp = tmp.left
}
// 遞迴刪除節點 tmp
remove(tmp.value)
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.value = tmp.value
}
}
```
=== "Ruby"
```ruby title="binary_search_tree.rb"
[class]{BinarySearchTree}-[func]{remove}
```
=== "Zig"
```zig title="binary_search_tree.zig"
// 刪除節點
fn remove(self: *Self, num: T) void {
// 若樹為空，直接提前返回
if (self.root == null) return;
var cur = self.root;
var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null;
// 迴圈查詢，越過葉節點後跳出
while (cur != null) {
// 找到待刪除節點，跳出迴圈
if (cur.?.val == num) break;
pre = cur;
// 待刪除節點在 cur 的右子樹中
if (cur.?.val < num) {
cur = cur.?.right;
// 待刪除節點在 cur 的左子樹中
} else {
cur = cur.?.left;
}
}
// 若無待刪除節點，則直接返回
if (cur == null) return;
// 子節點數量 = 0 or 1
if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) {
// 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點
var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right;
// 刪除節點 cur
if (pre.?.left == cur) {
pre.?.left = child;
} else {
pre.?.right = child;
}
// 子節點數量 = 2
} else {
// 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點
var tmp = cur.?.right;
while (tmp.?.left != null) {
tmp = tmp.?.left;
}
var tmp_val = tmp.?.val;
// 遞迴刪除節點 tmp
self.remove(tmp.?.val);
// 用 tmp 覆蓋 cur
cur.?.val = tmp_val;
}
}
```
??? pythontutor "視覺化執行"
<div style="height: 549px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%20%20%20%20def%20remove%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20or%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.left%20is%20None%20or%20cur.right%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20/%201%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%20child%20%3D%20null%20/%20%E8%AF%A5%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20child%20%3D%20cur.left%20or%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20!%3D%20self._root%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.left%20%3D%3D%20cur%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E
<div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=class%20TreeNode%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%A0%91%E8%8A%82%E7%82%B9%E7%B1%BB%22%22%22%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self,%20val%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.val%20%3D%20val%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.left%20%3D%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self.right%20%3D%20None%0A%0Aclass%20BinarySearchTree%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E4%BA%8C%E5%8F%89%E6%90%9C%E7%B4%A2%E6%A0%91%22%22%22%0A%0A%20%20%20%20def%20__init__%28self%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%9E%84%E9%80%A0%E6%96%B9%E6%B3%95%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20None%0A%0A%20%20%20%20def%20insert%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20node%20%3D%20TreeNode%28num%29%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20node%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20node%0A%0A%20%20%20%20def%20remove%28self,%20num%3A%20int%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%22%22%22%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%22%22%22%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20self._root%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E6%9F%A5%E6%89%BE%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20cur,%20pre%20%3D%20self._root,%20None%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20cur%20is%20not%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3D%3D%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20break%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre%20%3D%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.val%20%3C%20num%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20cur%20%3D%20cur.left%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20return%0A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20or%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur.left%20is%20None%20or%20cur.right%20is%20None%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%BD%93%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%200%20/%201%20%E6%97%B6%EF%BC%8C%20child%20%3D%20null%20/%20%E8%AF%A5%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20child%20%3D%20cur.left%20or%20cur.right%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%88%A0%E9%99%A4%E8%8A%82%E7%82%B9%20cur%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20cur%20!%3D%20self._root%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20if%20pre.left%20%3D%3D%20cur%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.left%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20pre.right%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20self._root%20%3D%20child%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%AD%90%E8%8A%82%E7%82%B9%E6%95%B0%E9%87%8F%20%3D%202%0A%20%20%20%20%20%20%20%20else%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E8%8E%B7%E5%8F%96%E4%B8%AD%E5%BA%8F%E9%81%8D%E5%8E%86%E4%B8%AD%20cur%20%E7%9A%84%E4%B8%8B%E4
### 4. &nbsp; 中序走訪有序
如圖 7-22 所示，二元樹的中序走訪遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 $<$ 根節點 $<$ 右子節點”的大小關係。
這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：**二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的**。
利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 $O(n)$ 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。
![二元搜尋樹的中序走訪序列](binary_search_tree.assets/bst_inorder_traversal.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-22 &nbsp; 二元搜尋樹的中序走訪序列 </p>
## 7.4.2 &nbsp; 二元搜尋樹的效率
給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察表 7-2 ，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。
<p align="center"> 表 7-2 &nbsp; 陣列與搜尋樹的效率對比 </p>
<div class="center-table" markdown>
| | 無序陣列 | 二元搜尋樹 |
| -------- | -------- | ----------- |
| 查詢元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
| 插入元素 | $O(1)$ | $O(\log n)$ |
| 刪除元素 | $O(n)$ | $O(\log n)$ |
</div>
在理想情況下，二元搜尋樹是“平衡”的，這樣就可以在 $\log n$ 輪迴圈內查詢任意節點。
然而，如果我們在二元搜尋樹中不斷地插入和刪除節點，可能導致二元樹退化為圖 7-23 所示的鏈結串列，這時各種操作的時間複雜度也會退化為 $O(n)$ 。
![二元搜尋樹退化](binary_search_tree.assets/bst_degradation.png){ class="animation-figure" }
<p align="center"> 圖 7-23 &nbsp; 二元搜尋樹退化 </p>
## 7.4.3 &nbsp; 二元搜尋樹常見應用
- 用作系統中的多級索引，實現高效的查詢、插入、刪除操作。
- 作為某些搜尋演算法的底層資料結構。
- 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。