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# 数据与内存
## 基本数据类型
谈到计算机中的数据我们能够想到文本、图片、视频、语音、3D 模型等等,这些数据虽然组织形式不同,但都是由各种基本数据类型构成的。
**「基本数据类型」是 CPU 可以直接进行运算的类型,在算法中直接被使用**。
- 「整数」根据不同的长度分为 byte, short, int, long ,根据算法需求选用,即在满足取值范围的情况下尽量减小内存空间占用;
- 「浮点数」代表小数,根据长度分为 float, double ,同样根据算法的实际需求选用;
- 「字符」在计算机中是以字符集的形式保存的char 的值实际上是数字,代表字符集中的编号,计算机通过字符集查表来完成编号到字符的转换。占用空间通常为 2 bytes 或 1 byte
- 「布尔」代表逻辑中的“是”与“否”,其占用空间需根据编程语言确定,通常为 1 byte 或 1 bit
<div class="center-table" markdown>
| 类别 | 符号 | 占用空间 | 取值范围 | 默认值 |
| ------ | ----------- | ----------------- | ---------------------------------------------- | -------------- |
| 整数 | byte | 1 byte | $-2^7$ ~ $2^7 - 1$ ( $-128$ ~ $127$ ) | $0$ |
| | short | 2 bytes | $-2^{15}$ ~ $2^{15} - 1$ | $0$ |
| | **int** | 4 bytes | $-2^{31}$ ~ $2^{31} - 1$ | $0$ |
| | long | 8 bytes | $-2^{63}$ ~ $2^{63} - 1$ | $0$ |
| 浮点数 | **float** | 4 bytes | $-3.4 \times 10^{38}$ ~ $3.4 \times 10^{38}$ | $0.0$ f |
| | double | 8 bytes | $-1.7 \times 10^{308}$ ~ $1.7 \times 10^{308}$ | $0.0$ |
| 字符 | **char** | 2 bytes / 1 byte | $0$ ~ $2^{16} - 1$ | $0$ |
| 布尔 | **bool** | 1 byte / 1 bit | $\text{true}$ 或 $\text{false}$ | $\text{false}$ |
</div>
!!! tip
以上表格中,加粗项在「算法题」中最为常用。此表格无需硬背,大致理解即可,需要时可以通过查表来回忆。
### 整数表示方式
整数的取值范围取决于变量使用的内存长度,即字节(或比特)数。在计算机中, 1 字节 (byte) = 8 比特 (bit) 1 比特即 1 个二进制位。以 int 类型为例:
1. 整数类型 int 占用 4 bytes = 32 bits ,因此可以表示 $2^{32}$ 个不同的数字;
2. 将最高位看作符号位,$0$ 代表正数,$1$ 代表负数,从而可以表示 $2^{31}$ 个正数和 $2^{31}$ 个负数;
3. 当所有 bits 为 0 时代表数字 $0$ ,从零开始增大,可得最大正数为 $2^{31} - 1$
4. 剩余 $2^{31}$ 个数字全部用来表示负数,因此最小负数为 $-2^{31}$ ;具体细节涉及到到“源码、反码、补码”知识,有兴趣的同学可以查阅学习;
其它整数类型 byte, short, long 取值范围的计算方法与 int 类似,在此不再赘述。
### 浮点数表示方式 *
!!! note
在本书中,标题后的 `*` 符号代表选读章节,如果你觉得理解困难,建议先跳过,等学完必读章节后续再单独攻克。
细心的你可能会疑惑: int 和 float 长度相同,都是 4 bytes **但为什么 float 的取值范围远大于 int** ?按说 float 需要表示小数,取值范围应该变小才对。
其实,这是因为浮点数 float 采用了不同的表示方式。IEEE 754 标准规定32-bit 长度的 float 由以下部分构成:
- 符号位 $\mathrm{S}$ :占 1 bit
- 指数位 $\mathrm{E}$ :占 8 bits
- 分数位 $\mathrm{N}$ :占 24 bits ,其中 23 位显式存储;
设 32-bit 二进制数的第 $i$ 位为 $b_i$ ,则 float 值的计算方法定义为
$$
\text { val } = (-1)^{b_{31}} \times 2^{\left(b_{30} b_{29} \ldots b_{23}\right)_2-127} \times\left(1 . b_{22} b_{21} \ldots b_0\right)_2
$$
转化到十进制下的计算公式为
$$
\text { val }=(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{\mathrm{E} -127} \times (1 + \mathrm{N})
$$
其中各项的取值范围为
$$
\begin{aligned}
\mathrm{S} \in & \{ 0, 1\} , \quad \mathrm{E} \in \{ 1, 2, \dots, 254 \} \newline
(1 + \mathrm{N}) = & (1 + \sum_{i=1}^{23} b_{23-i} 2^{-i}) \subset [1, 2 - 2^{-23}]
\end{aligned}
$$
![IEEE 754 标准下的 float 表示方式](data_and_memory.assets/ieee_754_float.png)
以上图为例,$\mathrm{S} = 0$ $\mathrm{E} = 124$ $\mathrm{N} = 2^{-2} + 2^{-3} = 0.375$ ,易得
$$
\text { val } = (-1)^0 \times 2^{124 - 127} \times (1 + 0.375) = 0.171875
$$
现在我们可以回答开始的问题:**float 的表示方式包含指数位,导致其取值范围远大于 int** 。根据以上计算, float 可表示的最大正数为 $2^{254 - 127} \times (2 - 2^{-23}) \approx 3.4 \times 10^{38}$ ,切换符号位便可得到最小负数。
**浮点数 float 虽然拓展了取值范围,但副作用是牺牲了精度**。整数类型 int 将全部 32 位用于表示数字,数字是均匀分布的;而由于指数位的存在,浮点数 float 的数值越大,相邻两个数字之间的差值就会趋向越大。
进一步地,指数位 $E = 0$ 和 $E = 255$ 具有特殊含义,**用于表示零、无穷大、$\mathrm{NaN}$ 等**。
<div class="center-table" markdown>
| 指数位 E | 分数位 $\mathrm{N} = 0$ | 分数位 $\mathrm{N} \ne 0$ | 计算公式 |
| ------------------ | ----------------------- | ---------------------------- | ------------------------------------------------------------ |
| $0$ | $\pm 0$ | 次正规数 | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{-126} \times (0.\mathrm{N})$ |
| $1, 2, \dots, 254$ | 正规数 | 正规数 | $(-1)^{\mathrm{S}} \times 2^{(\mathrm{E} -127)} \times (1.\mathrm{N})$ |
| $255$ | $\pm \infty$ | $\mathrm{NaN}$ | |
</div>
特别地,次正规数显著提升了小数精度:
- 最小正正规数为 $2^{-126} \approx 1.18 \times 10^{-38}$
- 最小正次正规数为 $2^{-126} \times 2^{-23} \approx 1.4 \times 10^{-45}$
双精度 double 也采用类似 float 的表示方法,在此不再赘述。
### 基本数据类型与数据结构的关系
我们知道,**数据结构是在计算机中组织与存储数据的方式**,它的主语是“结构”,而不是“数据”。如果我们想要表示“一排数字”,自然想到使用「数组」数据结构。数组的存储方式可以表示数字的相邻关系、顺序关系,但至于其中存储的是整数 int ,还是小数 float ,或是字符 char **则与所谓的数据的结构无关了**。
换言之,基本数据类型提供了数据的“内容类型”,而数据结构提供数据的“组织方式”。
=== "Java"
```java title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int[] numbers = new int[5];
float[] decimals = new float[5];
char[] characters = new char[5];
boolean[] booleans = new boolean[5];
```
=== "C++"
```cpp title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int numbers[5];
float decimals[5];
char characters[5];
bool booleans[5];
```
=== "Python"
```python title=""
""" Python 的 list 可以自由存储各种基本数据类型和对象 """
list = [0, 0.0, 'a', False]
```
=== "Go"
```go title=""
// 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」
var numbers = [5]int{}
var decimals = [5]float64{}
var characters = [5]byte{}
var booleans = [5]bool{}
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
/* JavaScript 的数组可以自由存储各种基本数据类型和对象 */
const array = [0, 0.0, 'a', false];
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
const numbers: number[] = [];
const characters: string[] = [];
const booleans: boolean[] = [];
```
=== "C"
```c title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int numbers[10];
float decimals[10];
char characters[10];
bool booleans[10];
```
=== "C#"
```csharp title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
int[] numbers = new int[5];
float[] decimals = new float[5];
char[] characters = new char[5];
bool[] booleans = new bool[5];
```
=== "Swift"
```swift title=""
/* 使用多种「基本数据类型」来初始化「数组」 */
let numbers = Array(repeating: Int(), count: 5)
let decimals = Array(repeating: Double(), count: 5)
let characters = Array(repeating: Character("a"), count: 5)
let booleans = Array(repeating: Bool(), count: 5)
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
## 计算机内存
在计算机中,内存和硬盘是两种主要的存储硬件设备。「硬盘」主要用于长期存储数据,容量较大(通常可达到 TB 级别)、速度较慢。「内存」用于运行程序时暂存数据,速度较快,但容量较小(通常为 GB 级别)。
**算法运行中,相关数据都被存储在内存中**。下图展示了一个计算机内存条,其中每个黑色方块都包含一块内存空间。我们可以将内存想象成一个巨大的 Excel 表格,其中每个单元格都可以存储 1 byte 的数据,在算法运行时,所有数据都被存储在这些单元格中。
**系统通过「内存地址 Memory Location」来访问目标内存位置的数据**。计算机根据特定规则给表格中每个单元格编号,保证每块内存空间都有独立的内存地址。自此,程序便通过这些地址,访问内存中的数据。
![内存条、内存空间、内存地址](data_and_memory.assets/computer_memory_location.png)
**内存资源是设计数据结构与算法的重要考虑因素**。内存是所有程序的公共资源,当内存被某程序占用时,不能被其它程序同时使用。我们需要根据剩余内存资源的情况来设计算法。例如,若剩余内存空间有限,则要求算法占用的峰值内存不能超过系统剩余内存;若运行的程序很多、缺少大块连续的内存空间,则要求选取的数据结构必须能够存储在离散的内存空间内。