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# 堆

「堆 Heap」是一种特殊的树状数据结构，并且是一颗「完全二叉树」。堆主要分为两种：

- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值，因此根结点的值最大；
- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值，因此根结点的值最小；

（图）

!!! tip ""

    大顶堆和小顶堆的定义、性质、操作本质上是相同的，区别只是大顶堆在求最大值，小顶堆在求最小值。

## 堆常用操作

值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，**定义为具有出队优先级的队列**。

而恰好，堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。

堆的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。

<p align="center"> Table. 堆的常用操作 </p>

<div class="center-table" markdown>

| 方法      | 描述                                         | 时间复杂度  |
| --------- | -------------------------------------------- | ----------- |
| add()     | 元素入堆                                     | $O(\log n)$ |
| poll()    | 堆顶元素出堆                                 | $O(\log n)$ |
| peek()    | 访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | $O(1)$      |
| size()    | 获取堆的元素数量                             | $O(1)$      |
| isEmpty() | 判断堆是否为空                               | $O(1)$      |

</div>

我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。

```java
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });

/* 元素入堆 */
maxHeap.add(1);
maxHeap.add(3);
maxHeap.add(2);
maxHeap.add(5);
maxHeap.add(4);

/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek();

/* 堆顶元素出堆 */
int val = heap.poll();

/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();

/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();

/* 输入列表并建堆 */
// 时间复杂度为 O(n) ，而非 O(nlogn)
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```

## 堆的实现

!!! tip

    下文使用「大顶堆」来举例，将所有 $>$ ($<$) 替换为 $<$ ($>$) 即可实现「小顶堆」。

### 堆的存储与表示

在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，因而我们一般使用「数组」来存储「堆」。

**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，数组元素都代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**结点指针通过索引映射公式来实现**。具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。我们将以上映射公式封装成函数，以便使用。

（图）

```java
// 使用列表而非数组，这样无需考虑扩容问题
List<Integer> maxHeap;

/* 构造函数，建立空堆 */
public MaxHeap() {
    maxHeap = new ArrayList<>();
}

/* 获取左子结点索引 */
int left(int i) {
    return 2 * i + 1;
}

/* 获取右子结点索引 */
int right(int i) {
    return 2 * i + 2;
}

/* 获取父结点索引 */
int parent(int i) {
    return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```

### 访问堆顶元素

堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。

```java
/* 访问堆顶元素 */
public int peek() {
    return maxHeap.get(0);
}
```

### 元素入堆

给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆的末尾。由于 `val` 可能大于其它元素，此时堆的性质可能被破坏了，我们需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点，该操作被称为「堆化 Heapify」。

考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。

设堆长度为 $n$ ，**元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。这是因为树的高度为 $O(\log n)$ ，因此堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ 。

（图）

```java
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
    // 添加结点
    maxHeap.add(val);
    // 从底至顶堆化
    siftUp(size() - 1);
}

/* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
    while (true) {
        // 获取结点 i 的父结点
        int p = parent(i);
        // 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
        if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
            break;
        // 交换两结点
        swap(i, p);
        // 循环向上堆化
        i = p;
    }
}
```

### 堆顶元素出堆

堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都产生移位，这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少二叉树结点变动，采取以下操作步骤：

1. 交换列表首元素与尾元素（即交换根结点与最右叶结点）；
2. 将尾元素从列表中删除（此时堆顶元素已被删除）；
3. 从根结点开始，从顶至底堆化；

顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。

（图）

```java
/* 元素出堆 */
int poll() {
    // 判空处理
    if (isEmpty())
        throw new EmptyStackException();
    // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
    swap(0, size() - 1);
    // 删除结点
    int val = maxHeap.remove(size() - 1);
    // 从顶至底堆化
    siftDown(0);
    // 返回堆顶元素
    return val;
}

/* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
    while (true) {
        // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma ；
        int l = left(i), r = right(i), ma = i;
        if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
            ma = l;
        if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
            ma = r;
        // 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
        if (ma == i) break;
        // 交换两结点
        swap(i, ma);
        // 循环向下堆化
        i = ma;
    }
}
```

### 输入数据并建堆 *

给定一个列表，我们也可以将其建堆。最直接地，可以通过调用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。

然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化，**因为其没有子结点。

```java
/* 构造函数，根据输入列表建堆 */
public MaxHeap(List<Integer> nums) {
    // 将列表元素原封不动添加进堆
    maxHeap = new ArrayList<>(nums);
    // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
    for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
        siftDown(i);
    }
}
```

!!! tip

    完全二叉树的叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。

那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。叶结点和需要堆化结点的数量各占约一半，即为 $O(n)$ ，二叉树高度为 $O(\log n)$ ，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到二叉树“底层结点远多于顶层结点”的性质。

设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。如下图所示，我们将各层的“结点数量 $\times$ 子树高度”进行求和，即可得到准确的操作数量。

$$
S = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
$$

（图）

求解上式需要借助中学的数列知识，先对 $S$ 乘以 $2$ ，可得
$$
\begin{aligned}
S & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \\
2S & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \\
\end{aligned}
$$
令下式 $2S$ 与上式 $S$ 错位相减，易得
$$
2S - S = S = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
$$
观察发现，$S$ 是一个等比数列，可直接借助公式求和。并且，对于高度为 $h$ 的完全二叉树，结点数量范围为 $n \in [2^h, 2^{h+1} - 1]$ ，复杂度为 $n = O(n) = O(2^h)$。
$$
\begin{aligned}
S & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \\
& = 2^{h+1} - h \\
& = O(2^h) = O(n)
\end{aligned}
$$
以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效。

## 堆常见应用

- **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ，建队操作为 $O(n)$ ，皆非常高效。
- **堆排序**。给定一组数据，我们使用其建堆，并依次全部弹出，则可以得到有序的序列。当然，堆排序一般无需弹出元素，仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
- **获取最大的 $k$ 个元素**。这既是一道经典算法题目，也是一种常见应用，例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取前 10 销量的商品等。