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comments: true
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# 12.4 汉诺塔问题
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在归并排序和构建二叉树中,我们都是将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而对于汉诺塔问题,我们采用不同的分解策略。
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!!! question
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给定三根柱子,记为 `A`、`B` 和 `C` 。起始状态下,柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘,它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上,并保持它们的原有顺序不变(如图 12-10 所示)。在移动圆盘的过程中,需要遵守以下规则。
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1. 圆盘只能从一根柱子顶部拿出,从另一根柱子顶部放入。
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2. 每次只能移动一个圆盘。
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3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上。
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![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-10 汉诺塔问题示例 </p>
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**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记作 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
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### 1. 考虑基本情况
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如图 12-11 所示,对于问题 $f(1)$ ,即当只有一个圆盘时,我们将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
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=== "<1>"
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![规模为 1 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png){ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-11 规模为 1 的问题的解 </p>
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如图 12-12 所示,对于问题 $f(2)$ ,即当有两个圆盘时,**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上,因此需要借助 `B` 来完成移动**。
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1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` 。
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2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` 。
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3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` 。
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=== "<1>"
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![规模为 2 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png){ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png){ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png){ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-12 规模为 2 的问题的解 </p>
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解决问题 $f(2)$ 的过程可总结为:**将两个圆盘借助 `B` 从 `A` 移至 `C`** 。其中,`C` 称为目标柱、`B` 称为缓冲柱。
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### 2. 子问题分解
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对于问题 $f(3)$ ,即当有三个圆盘时,情况变得稍微复杂了一些。
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因为已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解,所以我们可从分治角度思考,**将 `A` 顶部的两个圆盘看作一个整体**,执行图 12-13 所示的步骤。这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移至 `C` 了。
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1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱,将两个圆盘从 `A` 移至 `B` 。
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2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 直接移动至 `C` 。
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3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱,将两个圆盘从 `B` 移至 `C` 。
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=== "<1>"
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![规模为 3 的问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png){ class="animation-figure" }
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=== "<2>"
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![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png){ class="animation-figure" }
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=== "<3>"
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![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png){ class="animation-figure" }
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=== "<4>"
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![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-13 规模为 3 的问题的解 </p>
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从本质上看,**我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。按顺序解决这三个子问题之后,原问题随之得到解决。这说明子问题是独立的,而且解可以合并。
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至此,我们可总结出图 12-14 所示的解决汉诺塔问题的分治策略:将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$ ,并按照以下顺序解决这三个子问题。
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1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` 。
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2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` 。
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3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` 。
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对于这两个子问题 $f(n-1)$ ,**可以通过相同的方式进行递归划分**,直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的,只需一次移动操作即可。
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![解决汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-14 解决汉诺塔问题的分治策略 </p>
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### 3. 代码实现
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在代码中,我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ,它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` :
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=== "Python"
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```python title="hanota.py"
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def move(src: list[int], tar: list[int]):
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"""移动一个圆盘"""
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# 从 src 顶部拿出一个圆盘
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pan = src.pop()
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# 将圆盘放入 tar 顶部
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tar.append(pan)
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def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
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"""求解汉诺塔问题 f(i)"""
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# 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
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if i == 1:
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move(src, tar)
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return
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# 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
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dfs(i - 1, src, tar, buf)
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|
# 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
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move(src, tar)
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# 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
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dfs(i - 1, buf, src, tar)
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def solve_hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
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"""求解汉诺塔问题"""
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n = len(A)
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# 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
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dfs(n, A, B, C)
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|
```
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=== "C++"
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```cpp title="hanota.cpp"
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/* 移动一个圆盘 */
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void move(vector<int> &src, vector<int> &tar) {
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// 从 src 顶部拿出一个圆盘
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int pan = src.back();
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src.pop_back();
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// 将圆盘放入 tar 顶部
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tar.push_back(pan);
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|
}
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/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
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|
void dfs(int i, vector<int> &src, vector<int> &buf, vector<int> &tar) {
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|
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|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
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if (i == 1) {
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move(src, tar);
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return;
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|
}
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|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
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|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
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|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
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|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
void solveHanota(vector<int> &A, vector<int> &B, vector<int> &C) {
|
|
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|
int n = A.size();
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
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|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
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|
|
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=== "Java"
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```java title="hanota.java"
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|
/* 移动一个圆盘 */
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void move(List<Integer> src, List<Integer> tar) {
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|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
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Integer pan = src.remove(src.size() - 1);
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// 将圆盘放入 tar 顶部
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|
tar.add(pan);
|
|
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|
|
}
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
void dfs(int i, List<Integer> src, List<Integer> buf, List<Integer> tar) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i == 1) {
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|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
void solveHanota(List<Integer> A, List<Integer> B, List<Integer> C) {
|
|
|
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|
int n = A.size();
|
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|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
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|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
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|
|
|
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|
=== "C#"
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|
```csharp title="hanota.cs"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
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|
|
void Move(List<int> src, List<int> tar) {
|
|
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|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
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|
int pan = src[^1];
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|
src.RemoveAt(src.Count - 1);
|
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|
// 将圆盘放入 tar 顶部
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|
tar.Add(pan);
|
|
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|
|
}
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
void DFS(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i == 1) {
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|
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|
Move(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
DFS(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
Move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
DFS(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
void SolveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
|
|
|
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|
int n = A.Count;
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
DFS(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Go"
|
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|
|
|
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|
|
```go title="hanota.go"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
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func move(src, tar *list.List) {
|
|
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|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
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|
pan := src.Back()
|
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|
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|
// 将圆盘放入 tar 顶部
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|
tar.PushBack(pan.Value)
|
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|
|
// 移除 src 顶部圆盘
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|
src.Remove(pan)
|
|
|
|
|
}
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|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
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|
|
func dfsHanota(i int, src, buf, tar *list.List) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if i == 1 {
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|
|
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|
move(src, tar)
|
|
|
|
|
return
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfsHanota(i-1, src, tar, buf)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfsHanota(i-1, buf, src, tar)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
func solveHanota(A, B, C *list.List) {
|
|
|
|
|
n := A.Len()
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfsHanota(n, A, B, C)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Swift"
|
|
|
|
|
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|
|
```swift title="hanota.swift"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
func move(src: inout [Int], tar: inout [Int]) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
let pan = src.popLast()!
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
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|
|
tar.append(pan)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
func dfs(i: Int, src: inout [Int], buf: inout [Int], tar: inout [Int]) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if i == 1 {
|
|
|
|
|
move(src: &src, tar: &tar)
|
|
|
|
|
return
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i: i - 1, src: &src, buf: &tar, tar: &buf)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src: &src, tar: &tar)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i: i - 1, src: &buf, buf: &src, tar: &tar)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
func solveHanota(A: inout [Int], B: inout [Int], C: inout [Int]) {
|
|
|
|
|
let n = A.count
|
|
|
|
|
// 列表尾部是柱子顶部
|
|
|
|
|
// 将 src 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(i: n, src: &A, buf: &B, tar: &C)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "JS"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```javascript title="hanota.js"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
function move(src, tar) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
const pan = src.pop();
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar.push(pan);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
function dfs(i, src, buf, tar) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i === 1) {
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
function solveHanota(A, B, C) {
|
|
|
|
|
const n = A.length;
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "TS"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```typescript title="hanota.ts"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
function move(src: number[], tar: number[]): void {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
const pan = src.pop();
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar.push(pan);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
function dfs(i: number, src: number[], buf: number[], tar: number[]): void {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i === 1) {
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
function solveHanota(A: number[], B: number[], C: number[]): void {
|
|
|
|
|
const n = A.length;
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Dart"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```dart title="hanota.dart"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
void move(List<int> src, List<int> tar) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
int pan = src.removeLast();
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar.add(pan);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
void dfs(int i, List<int> src, List<int> buf, List<int> tar) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i == 1) {
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
void solveHanota(List<int> A, List<int> B, List<int> C) {
|
|
|
|
|
int n = A.length;
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Rust"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```rust title="hanota.rs"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
fn move_pan(src: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
let pan = src.remove(src.len() - 1);
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar.push(pan);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
fn dfs(i: i32, src: &mut Vec<i32>, buf: &mut Vec<i32>, tar: &mut Vec<i32>) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if i == 1 {
|
|
|
|
|
move_pan(src, tar);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move_pan(src, tar);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
fn solve_hanota(A: &mut Vec<i32>, B: &mut Vec<i32>, C: &mut Vec<i32>) {
|
|
|
|
|
let n = A.len() as i32;
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(n, A, B, C);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "C"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```c title="hanota.c"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
void move(int *src, int *srcSize, int *tar, int *tarSize) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
int pan = src[*srcSize - 1];
|
|
|
|
|
src[*srcSize - 1] = 0;
|
|
|
|
|
(*srcSize)--;
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar[*tarSize] = pan;
|
|
|
|
|
(*tarSize)++;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
void dfs(int i, int *src, int *srcSize, int *buf, int *bufSize, int *tar, int *tarSize) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i == 1) {
|
|
|
|
|
move(src, srcSize, tar, tarSize);
|
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, srcSize, tar, tarSize, buf, bufSize);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, srcSize, tar, tarSize);
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, bufSize, src, srcSize, tar, tarSize);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
void solveHanota(int *A, int *ASize, int *B, int *BSize, int *C, int *CSize) {
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(*ASize, A, ASize, B, BSize, C, CSize);
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Kotlin"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```kotlin title="hanota.kt"
|
|
|
|
|
/* 移动一个圆盘 */
|
|
|
|
|
fun move(src: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
|
|
|
|
|
// 从 src 顶部拿出一个圆盘
|
|
|
|
|
val pan: Int = src.removeAt(src.size - 1)
|
|
|
|
|
// 将圆盘放入 tar 顶部
|
|
|
|
|
tar.add(pan)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 f(i) */
|
|
|
|
|
fun dfs(i: Int, src: MutableList<Int>, buf: MutableList<Int>, tar: MutableList<Int>) {
|
|
|
|
|
// 若 src 只剩下一个圆盘,则直接将其移到 tar
|
|
|
|
|
if (i == 1) {
|
|
|
|
|
move(src, tar)
|
|
|
|
|
return
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, src, tar, buf)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(1) :将 src 剩余一个圆盘移到 tar
|
|
|
|
|
move(src, tar)
|
|
|
|
|
// 子问题 f(i-1) :将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
|
|
|
|
|
dfs(i - 1, buf, src, tar)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/* 求解汉诺塔问题 */
|
|
|
|
|
fun solveHanota(A: MutableList<Int>, B: MutableList<Int>, C: MutableList<Int>) {
|
|
|
|
|
val n = A.size
|
|
|
|
|
// 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
|
|
|
|
|
dfs(n, A, B, C)
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Ruby"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```ruby title="hanota.rb"
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{move}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{dfs}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{solve_hanota}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```zig title="hanota.zig"
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{move}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{dfs}
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{solveHanota}
|
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
??? pythontutor "可视化运行"
|
|
|
|
|
|
|
|
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如图 12-15 所示,汉诺塔问题形成一棵高度为 $n$ 的递归树,每个节点代表一个子问题,对应一个开启的 `dfs()` 函数,**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ,空间复杂度为 $O(n)$** 。
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![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png){ class="animation-figure" }
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<p align="center"> 图 12-15 汉诺塔问题的递归树 </p>
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!!! quote
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汉诺塔问题源自一个古老的传说。在古印度的一个寺庙里,僧侣们有三根高大的钻石柱子,以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动圆盘,他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻,这个世界就会结束。
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然而,即使僧侣们每秒钟移动一次,总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒,合约 $5850$ 亿年,远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以,倘若这个传说是真的,我们应该不需要担心世界末日的到来。
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