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# 11.4   插入排序

<u>插入排序（insertion sort）</u>是一种简单的排序算法，它的工作原理与手动整理一副牌的过程非常相似。

具体来说，我们在未排序区间选择一个基准元素，将该元素与其左侧已排序区间的元素逐一比较大小，并将该元素插入到正确的位置。

图 11-6 展示了数组插入元素的操作流程。设基准元素为 `base` ，我们需要将从目标索引到 `base` 之间的所有元素向右移动一位，然后将 `base` 赋值给目标索引。

![单次插入操作](insertion_sort.assets/insertion_operation.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 11-6 &nbsp; 单次插入操作 </p>

## 11.4.1 &nbsp; 算法流程

插入排序的整体流程如图 11-7 所示。

1. 初始状态下，数组的第 1 个元素已完成排序。
2. 选取数组的第 2 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 2 个元素已排序**。
3. 选取第 3 个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**数组的前 3 个元素已排序**。
4. 以此类推，在最后一轮中，选取最后一个元素作为 `base` ，将其插入到正确位置后，**所有元素均已排序**。

![插入排序流程](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png){ class="animation-figure" }

<p align="center"> 图 11-7 &nbsp; 插入排序流程 </p>

示例代码如下：

=== "Python"

    ```python title="insertion_sort.py"
    def insertion_sort(nums: list[int]):
        """插入排序"""
        # 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for i in range(1, len(nums)):
            base = nums[i]
            j = i - 1
            # 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while j >= 0 and nums[j] > base:
                nums[j + 1] = nums[j]  # 将 nums[j] 向右移动一位
                j -= 1
            nums[j + 1] = base  # 将 base 赋值到正确位置
    ```

=== "C++"

    ```cpp title="insertion_sort.cpp"
    /* 插入排序 */
    void insertionSort(vector<int> &nums) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (int i = 1; i < nums.size(); i++) {
            int base = nums[i], j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--;
            }
            nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "Java"

    ```java title="insertion_sort.java"
    /* 插入排序 */
    void insertionSort(int[] nums) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            int base = nums[i], j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--;
            }
            nums[j + 1] = base;        // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "C#"

    ```csharp title="insertion_sort.cs"
    /* 插入排序 */
    void InsertionSort(int[] nums) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (int i = 1; i < nums.Length; i++) {
            int bas = nums[i], j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > bas) {
                nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--;
            }
            nums[j + 1] = bas;         // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "Go"

    ```go title="insertion_sort.go"
    /* 插入排序 */
    func insertionSort(nums []int) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for i := 1; i < len(nums); i++ {
            base := nums[i]
            j := i - 1
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            for j >= 0 && nums[j] > base {
                nums[j+1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--
            }
            nums[j+1] = base // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "Swift"

    ```swift title="insertion_sort.swift"
    /* 插入排序 */
    func insertionSort(nums: inout [Int]) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for i in nums.indices.dropFirst() {
            let base = nums[i]
            var j = i - 1
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while j >= 0, nums[j] > base {
                nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
                j -= 1
            }
            nums[j + 1] = base // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "JS"

    ```javascript title="insertion_sort.js"
    /* 插入排序 */
    function insertionSort(nums) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
            let base = nums[i],
                j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--;
            }
            nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "TS"

    ```typescript title="insertion_sort.ts"
    /* 插入排序 */
    function insertionSort(nums: number[]): void {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (let i = 1; i < nums.length; i++) {
            const base = nums[i];
            let j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--;
            }
            nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "Dart"

    ```dart title="insertion_sort.dart"
    /* 插入排序 */
    void insertionSort(List<int> nums) {
      // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
      for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
        int base = nums[i], j = i - 1;
        // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
        while (j >= 0 && nums[j] > base) {
          nums[j + 1] = nums[j]; // 将 nums[j] 向右移动一位
          j--;
        }
        nums[j + 1] = base; // 将 base 赋值到正确位置
      }
    }
    ```

=== "Rust"

    ```rust title="insertion_sort.rs"
    /* 插入排序 */
    fn insertion_sort(nums: &mut [i32]) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for i in 1..nums.len() {
            let (base, mut j) = (nums[i], (i - 1) as i32);
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while j >= 0 && nums[j as usize] > base {
                nums[(j + 1) as usize] = nums[j as usize]; // 将 nums[j] 向右移动一位
                j -= 1;
            }
            nums[(j + 1) as usize] = base; // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "C"

    ```c title="insertion_sort.c"
    /* 插入排序 */
    void insertionSort(int nums[], int size) {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        for (int i = 1; i < size; i++) {
            int base = nums[i], j = i - 1;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                // 将 nums[j] 向右移动一位
                nums[j + 1] = nums[j];
                j--;
            }
            // 将 base 赋值到正确位置
            nums[j + 1] = base;
        }
    }
    ```

=== "Kotlin"

    ```kotlin title="insertion_sort.kt"
    /* 插入排序 */
    fun insertionSort(nums: IntArray) {
        //外循环: 已排序元素为 1, 2, ..., n
        for (i in nums.indices) {
            val base = nums[i]
            var j = i - 1
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 0 && nums[j] > base) {
                nums[j + 1] = nums[j] // 将 nums[j] 向右移动一位
                j--
            }
            nums[j + 1] = base        // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

=== "Ruby"

    ```ruby title="insertion_sort.rb"
    [class]{}-[func]{insertion_sort}
    ```

=== "Zig"

    ```zig title="insertion_sort.zig"
    // 插入排序
    fn insertionSort(nums: []i32) void {
        // 外循环：已排序区间为 [0, i-1]
        var i: usize = 1;
        while (i < nums.len) : (i += 1) {
            var base = nums[i];
            var j: usize = i;
            // 内循环：将 base 插入到已排序区间 [0, i-1] 中的正确位置
            while (j >= 1 and nums[j - 1] > base) : (j -= 1) {
                nums[j] = nums[j - 1];  // 将 nums[j] 向右移动一位
            }
            nums[j] = base;             // 将 base 赋值到正确位置
        }
    }
    ```

??? pythontutor "可视化运行"

    <div style="height: 513px; width: 100%;"><iframe class="pythontutor-iframe" src="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20insertion_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i-1%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20%3D%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20i%20-%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%20base%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E5%88%B0%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i-1%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20j%20%3E%3D%200%20and%20nums%5Bj%5D%20%3E%20base%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20nums%5Bj%5D%20%20%23%20%E5%B0%86%20nums%5Bj%5D%20%E5%90%91%E5%8F%B3%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%BD%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20base%20%20%23%20%E5%B0%86%20base%20%E8%B5%8B%E5%80%BC%E5%88%B0%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%201,%203,%201,%205,%202%5D%0A%20%20%20%20insertion_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%20nums%20%3D%22,%20nums%29&codeDivHeight=472&codeDivWidth=350&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false"> </iframe></div>
    <div style="margin-top: 5px;"><a href="https://pythontutor.com/iframe-embed.html#code=def%20insertion_sort%28nums%3A%20list%5Bint%5D%29%3A%0A%20%20%20%20%22%22%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F%22%22%22%0A%20%20%20%20%23%20%E5%A4%96%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%E4%B8%BA%20%5B0,%20i-1%5D%0A%20%20%20%20for%20i%20in%20range%281,%20len%28nums%29%29%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20base%20%3D%20nums%5Bi%5D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20j%20%3D%20i%20-%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%23%20%E5%86%85%E5%BE%AA%E7%8E%AF%EF%BC%9A%E5%B0%86%20base%20%E6%8F%92%E5%85%A5%E5%88%B0%E5%B7%B2%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%8C%BA%E9%97%B4%20%5B0,%20i-1%5D%20%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%0A%20%20%20%20%20%20%20%20while%20j%20%3E%3D%200%20and%20nums%5Bj%5D%20%3E%20base%3A%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20nums%5Bj%5D%20%20%23%20%E5%B0%86%20nums%5Bj%5D%20%E5%90%91%E5%8F%B3%E7%A7%BB%E5%8A%A8%E4%B8%80%E4%BD%8D%0A%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20%20j%20-%3D%201%0A%20%20%20%20%20%20%20%20nums%5Bj%20%2B%201%5D%20%3D%20base%20%20%23%20%E5%B0%86%20base%20%E8%B5%8B%E5%80%BC%E5%88%B0%E6%AD%A3%E7%A1%AE%E4%BD%8D%E7%BD%AE%0A%0A%0A%22%22%22Driver%20Code%22%22%22%0Aif%20__name__%20%3D%3D%20%22__main__%22%3A%0A%20%20%20%20nums%20%3D%20%5B4,%201,%203,%201,%205,%202%5D%0A%20%20%20%20insertion_sort%28nums%29%0A%20%20%20%20print%28%22%E6%8F%92%E5%85%A5%E6%8E%92%E5%BA%8F%E5%AE%8C%E6%88%90%E5%90%8E%20nums%20%3D%22,%20nums%29&codeDivHeight=800&codeDivWidth=600&cumulative=false&curInstr=4&heapPrimitives=nevernest&origin=opt-frontend.js&py=311&rawInputLstJSON=%5B%5D&textReferences=false" target="_blank" rel="noopener noreferrer">全屏观看 ></a></div>

## 11.4.2 &nbsp; 算法特性

- **时间复杂度为 $O(n^2)$、自适应排序**：在最差情况下，每次插入操作分别需要循环 $n - 1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，求和得到 $(n - 1) n / 2$ ，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ 。在遇到有序数据时，插入操作会提前终止。当输入数组完全有序时，插入排序达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。
- **空间复杂度为 $O(1)$、原地排序**：指针 $i$ 和 $j$ 使用常数大小的额外空间。
- **稳定排序**：在插入操作过程中，我们会将元素插入到相等元素的右侧，不会改变它们的顺序。

## 11.4.3 &nbsp; 插入排序的优势

插入排序的时间复杂度为 $O(n^2)$ ，而我们即将学习的快速排序的时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。尽管插入排序的时间复杂度更高，**但在数据量较小的情况下，插入排序通常更快**。

这个结论与线性查找和二分查找的适用情况的结论类似。快速排序这类 $O(n \log n)$ 的算法属于基于分治策略的排序算法，往往包含更多单元计算操作。而在数据量较小时，$n^2$ 和 $n \log n$ 的数值比较接近，复杂度不占主导地位，每轮中的单元操作数量起到决定性作用。

实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数采用了插入排序，大致思路为：对于长数组，采用基于分治策略的排序算法，例如快速排序；对于短数组，直接使用插入排序。

虽然冒泡排序、选择排序和插入排序的时间复杂度都为 $O(n^2)$ ，但在实际情况中，**插入排序的使用频率显著高于冒泡排序和选择排序**，主要有以下原因。

- 冒泡排序基于元素交换实现，需要借助一个临时变量，共涉及 3 个单元操作；插入排序基于元素赋值实现，仅需 1 个单元操作。因此，**冒泡排序的计算开销通常比插入排序更高**。
- 选择排序在任何情况下的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。**如果给定一组部分有序的数据，插入排序通常比选择排序效率更高**。
- 选择排序不稳定，无法应用于多级排序。