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# 基数排序
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上一节介绍了计数排序,它适用于数据量 $n$ 较大但数据范围 $m$ 较小的情况。假设我们需要对 $n = 10^6$ 个学号进行排序,而学号是一个 $8$ 位数字,这意味着数据范围 $m = 10^8$ 非常大,使用计数排序需要分配大量内存空间,而基数排序可以避免这种情况。
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「基数排序 radix sort」的核心思想与计数排序一致,也通过统计个数来实现排序。在此基础上,基数排序利用数字各位之间的递进关系,依次对每一位进行排序,从而得到最终的排序结果。
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## 算法流程
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以学号数据为例,假设数字的最低位是第 $1$ 位,最高位是第 $8$ 位,基数排序的流程如下图所示。
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1. 初始化位数 $k = 1$ 。
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2. 对学号的第 $k$ 位执行“计数排序”。完成后,数据会根据第 $k$ 位从小到大排序。
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3. 将 $k$ 增加 $1$ ,然后返回步骤 `2.` 继续迭代,直到所有位都排序完成后结束。
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![基数排序算法流程](radix_sort.assets/radix_sort_overview.png)
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下面剖析代码实现。对于一个 $d$ 进制的数字 $x$ ,要获取其第 $k$ 位 $x_k$ ,可以使用以下计算公式:
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$$
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x_k = \lfloor\frac{x}{d^{k-1}}\rfloor \bmod d
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$$
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其中 $\lfloor a \rfloor$ 表示对浮点数 $a$ 向下取整,而 $\bmod \: d$ 表示对 $d$ 取模(取余)。对于学号数据,$d = 10$ 且 $k \in [1, 8]$ 。
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此外,我们需要小幅改动计数排序代码,使之可以根据数字的第 $k$ 位进行排序:
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```src
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[file]{radix_sort}-[class]{}-[func]{radix_sort}
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```
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!!! question "为什么从最低位开始排序?"
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在连续的排序轮次中,后一轮排序会覆盖前一轮排序的结果。举例来说,如果第一轮排序结果 $a < b$ ,而第二轮排序结果 $a > b$ ,那么第二轮的结果将取代第一轮的结果。由于数字的高位优先级高于低位,因此应该先排序低位再排序高位。
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## 算法特性
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相较于计数排序,基数排序适用于数值范围较大的情况,**但前提是数据必须可以表示为固定位数的格式,且位数不能过大**。例如,浮点数不适合使用基数排序,因为其位数 $k$ 过大,可能导致时间复杂度 $O(nk) \gg O(n^2)$ 。
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- **时间复杂度为 $O(nk)$**:设数据量为 $n$、数据为 $d$ 进制、最大位数为 $k$ ,则对某一位执行计数排序使用 $O(n + d)$ 时间,排序所有 $k$ 位使用 $O((n + d)k)$ 时间。通常情况下,$d$ 和 $k$ 都相对较小,时间复杂度趋向 $O(n)$ 。
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- **空间复杂度为 $O(n + d)$、非原地排序**:与计数排序相同,基数排序需要借助长度为 $n$ 和 $d$ 的数组 `res` 和 `counter` 。
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- **稳定排序**:当计数排序稳定时,基数排序也稳定;当计数排序不稳定时,基数排序无法保证得到正确的排序结果。
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