Fig. 排序中的不同元素类型和判断规则
+ +## 评价维度 + +排序算法主要可根据 **稳定性 、就地性 、自适应性 、比较类** 来分类。 + +### 稳定性 + +- 「稳定排序」在完成排序后，**不改变** 相等元素在数组中的相对顺序。 +- 「非稳定排序」在完成排序后，相等素在数组中的相对位置 **可能被改变**。 + +假设我们有一个存储学生信息当表格，第 1, 2 列粉笔是姓名和年龄。那么在以下示例中，「非稳定排序」会导致输入数据的有序性丢失。因此「稳定排序」是很好的特性，**在多级排序中是必须的**。 + +```shell +# 输入数据是按照姓名排序好的 +# (name, age) + ('A', 19) + ('B', 18) + ('C', 21) + ('D', 19) + ('E', 23) + +# 假设使用非稳定排序算法按年龄排序列表， +# 结果中 ('D', 19) 和 ('A', 19) 的相对位置改变， +# 输入数据按姓名排序的性质丢失 + ('B', 18) + ('D', 19) + ('A', 19) + ('C', 21) + ('E', 23) +``` + +### 就地性 + +- 「原地排序」无需辅助数据，不使用额外空间； +- 「非原地排序」需要借助辅助数据，使用额外空间； + +「原地排序」不使用额外空间，可以节约内存；并且一般情况下，由于数据操作减少，原地排序的运行效率也更高。 + +### 自适应性 + +- 「自适应排序」的时间复杂度受输入数据影响，即最佳 / 最差 / 平均时间复杂度不相等。 +- 「非自适应排序」的时间复杂度恒定，与输入数据无关。 + +我们希望 **最差 = 平均** ，即不希望排序算法的运行效率在某些输入数据下发生劣化。 + +### 比较类 + +- 「比较类排序」基于元素之间的比较算子（小于、相等、大于）来决定元素的相对顺序。 +- 「非比较类排序」不基于元素之间的比较算子来决定元素的相对顺序。 + +「比较类排序」的时间复杂度最优为 $O(n \log n)$ ；而「非比较类排序」可以达到 $O(n)$ 的时间复杂度，但通用性较差。 + +## 理想排序算法 + +- **运行地快**，即时间复杂度低； +- **稳定排序**，即排序后相等元素的相对位置不变化； +- **原地排序**，即运行中不使用额外的辅助空间； +- **正向自适应性**，即算法的运行效率不会在某些输入数据下发生劣化； + +然而，**没有排序算法同时具备以上所有特性**。排序算法的选型使用取决于具体的列表类型、列表长度、元素分布等因素。 diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_preview.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_preview.png new file mode 100644 index 000000000..fa1844b71 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_preview.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step1.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step1.png new file mode 100644 index 000000000..2250b178e Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step1.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step10.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step10.png new file mode 100644 index 000000000..a2d944a0b Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step10.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step2.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step2.png new file mode 100644 index 000000000..74d58b504 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step2.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step3.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step3.png new file mode 100644 index 000000000..4fc818342 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step3.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step4.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step4.png new file mode 100644 index 000000000..f7b501d08 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step4.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step5.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step5.png new file mode 100644 index 000000000..ee688f3a7 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step5.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step6.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step6.png new file mode 100644 index 000000000..18b54c175 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step6.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step7.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step7.png new file mode 100644 index 000000000..90d2a05e6 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step7.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step8.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step8.png new file mode 100644 index 000000000..4db8c0c66 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step8.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step9.png b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step9.png new file mode 100644 index 000000000..49e845708 Binary files /dev/null and b/docs/chapter_sorting/merge_sort.assets/merge_sort_step9.png differ diff --git a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md index f9b3cf482..cbf681148 100644 --- a/docs/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/docs/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -6,31 +6,59 @@ comments: true 「归并排序 Merge Sort」是算法中 “分治思想” 的典型体现，其有「划分」和「合并」两个阶段： -1. **划分：** 不断递归地 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； +1. **划分阶段：** 通过递归不断 **将数组从中点位置划分开**，将长数组的排序问题转化为短数组的排序问题； -2. **合并：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左 / 右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； +2. **合并阶段：** 划分到子数组长度为 1 时，开始向上合并，不断将 **左、右两个短排序数组** 合并为 **一个长排序数组**，直至合并至原数组时完成排序； -（图） + + +Fig. 归并排序两阶段：划分与合并
## 算法流程 -**递归划分：** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ； +**「递归划分」** 从顶至底递归地 **将数组从中点切为两个子数组** ，直至长度为 1 ； 1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）； 2. 递归执行 `1.` 步骤，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分； -**回溯合并：** 从底至顶将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ；由于是从长度为 1 的子数组开始合并的，因此 **每个子数组也是有序的** ，因此合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** ； +**「回溯合并」** 从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个 **有序数组** ； -1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后序通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并； -2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素； -3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。 +需要注意，由于从长度为 1 的子数组开始合并，所以 **每个子数组都是有序的** 。因此，合并任务本质是要 **将两个有序子数组合并为一个有序数组** 。 -合并代码的实现主要难点： +=== "Step1" +  -- **`nums` 的待合并区间为 `[left, right]`** ，而由于 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，因此 **`tmp` 对应区间为 `[0, right - left]`** 。以下代码中的 `leftStart` , `leftEnd` , `rightStart` , `rightEnd` , `i` , `j` 都是根据 `tmp` 定义的，而 `k` 是根据 `nums` 定义的。 -- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。 +=== "Step2" +  + +=== "Step3" +  + +=== "Step4" +  + +=== "Step5" +  + +=== "Step6" +  + +=== "Step7" +  + +=== "Step8" +  + +=== "Step9" +  -（动画） +=== "Step10" +  + +观察发现，归并排序的递归顺序就是二叉树的「后序遍历」。 + +- **后序遍历：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理根结点。 +- **归并排序：** 先递归左子树、再递归右子树、最后处理合并。 === "Java" @@ -41,10 +69,14 @@ comments: true * 右子数组区间 [mid + 1, right] */ void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) { - int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); // 初始化辅助数组 - int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left, // 左子数组的起始索引和结束索引 - rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; // 右子数组的起始索引和结束索引 - int i = leftStart, j = rightStart; // i,j 分别指向左子数组、右子数组的首元素 + // 初始化辅助数组 + int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1); + // 左子数组的起始索引和结束索引 + int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left; + // 右子数组的起始索引和结束索引 + int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left; + // i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素 + int i = leftStart, j = rightStart; // 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组 for (int k = left; k <= right; k++) { // 若 “左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++ @@ -72,6 +104,17 @@ comments: true } ``` +下面重点解释一下合并方法 `merge()` 的流程： + +1. 初始化一个辅助数组 `tmp` 暂存待合并区间 `[left, right]` 内的元素，后续通过覆盖原数组 `nums` 的元素来实现合并； +2. 初始化指针 `i` , `j` , `k` 分别指向左子数组、右子数组、原数组的首元素； +3. 循环判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小，将较小的先覆盖至 `nums[k]` ，指针 `i` , `j` 根据判断结果交替前进（指针 `k` 也前进），直至两个子数组都遍历完，即可完成合并。 + +合并方法 `merge()` 代码中的主要难点： + +- `nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，而因为 `tmp` 只复制了 `nums` 该区间元素，所以 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` ，**需要特别注意代码中各个变量的含义**。 +- 判断 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小的操作中，还 **需考虑当子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况，索引越界的优先级是最高的，例如如果左子数组已经被合并完了，那么不用继续判断，直接合并右子数组元素即可。 + ## 算法特性 - **时间复杂度 $O(n \log n)$ ：** 划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 @@ -87,7 +130,4 @@ comments: true - 由于链表可仅通过改变指针来实现结点增删，因此 “将两个短有序链表合并为一个长有序链表” 无需使用额外空间，即回溯合并阶段不用像排序数组一样建立辅助数组 `tmp` ； - 通过使用「迭代」代替「递归划分」，可省去递归使用的栈帧空间； -!!! quote - - 详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/) - +> 详情参考：[148. 排序链表](https://leetcode-cn.com/problems/sort-list/solution/sort-list-gui-bing-pai-xu-lian-biao-by-jyd/) diff --git a/docs/chapter_sorting/summary.md b/docs/chapter_sorting/summary.md new file mode 100644 index 000000000..df0b7a700 --- /dev/null +++ b/docs/chapter_sorting/summary.md @@ -0,0 +1,6 @@ +--- +comments: true +--- + +# 小结 + diff --git a/docs/overrides/partials/comments.html b/docs/overrides/partials/comments.html deleted file mode 100644 index aba731db1..000000000 --- a/docs/overrides/partials/comments.html +++ /dev/null @@ -1,50 +0,0 @@ -{% if page.meta.comments %} -