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chapter_binary_search/binary_search.md

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 # 6.1.   二分查找
 
-「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。
+「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，直至找到目标元素或搜索区间为空为止。
 
 我们先来求解一个简单的二分查找问题。
 
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 **若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。
 
-为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。
+如下图所示，为了更清晰地表示区间，我们以折线图的形式表示数组。
 
 === "<0>"
     ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)
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 值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
 
-有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。
-
 === "Java"
 
     ```java title="binary_search.java"
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         i, j = 0, len(nums) - 1
         # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
         while i <= j:
+            # 理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），无需考虑大数越界问题
             m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
             if nums[m] < target:
                 i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
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 ## 6.1.2. &nbsp; 优点与局限性
 
-二分查找效率很高，主要体现在：
+二分查找在时间和空间方面都有较好的性能：
 
-- **二分查找的时间复杂度较低**。对数阶在大数据量情况下具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
-- **二分查找无需额外空间**。与哈希查找相比，二分查找更加节省空间。
+- **二分查找的时间效率高**。在大数据量下，对数阶的时间复杂度具有显著优势。例如，当数据大小 $n = 2^{20}$ 时，线性查找需要 $2^{20} = 1048576$ 轮循环，而二分查找仅需 $\log_2 2^{20} = 20$ 轮循环。
+- **二分查找无需额外空间**。相较于需要借助额外空间的搜索算法（例如哈希查找），二分查找更加节省空间。
 
-然而，并非所有情况下都可使用二分查找，原因如下：
+然而，二分查找并非适用于所有情况，原因如下：
 
 - **二分查找仅适用于有序数据**。若输入数据无序，为了使用二分查找而专门进行排序，得不偿失。因为排序算法的时间复杂度通常为 $O(n \log n)$ ，比线性查找和二分查找都更高。对于频繁插入元素的场景，为保持数组有序性，需要将元素插入到特定位置，时间复杂度为 $O(n)$ ，也是非常昂贵的。
 - **二分查找仅适用于数组**。二分查找需要跳跃式（非连续地）访问元素，而在链表中执行跳跃式访问的效率较低，因此不适合应用在链表或基于链表实现的数据结构。

chapter_binary_search/binary_search_edge.md

@@ -0,0 +1,278 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 6.2.   二分查找边界
+
+上一节规定目标元素在数组中是唯一的。如果目标元素在数组中多次出现，上节介绍的方法只能保证返回其中一个目标元素的索引，**而无法确定该索引的左边和右边还有多少目标元素**。
+
+为了查找最左一个 `target` ，我们可以先进行二分查找，找到任意一个目标元素，**再加一个向左遍历的线性查找**，找到最左的 `target` 返回即可。然而，由于加入了线性查找，这个方法的时间复杂度可能会劣化至 $O(n)$ 。
+
+![线性查找最左元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_naive.png)
+
+<p align="center"> Fig. 线性查找最左元素 </p>
+
+## 6.2.1. &nbsp; 查找最左一个元素
+
+!!! question "查找并返回元素 `target` 在有序数组 `nums` 中首次出现的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组可能包含重复元素。"
+
+实际上，我们可以仅通过二分查找解决以上问题。方法的整体框架不变，先计算中点索引 `m` ，再判断 `target` 和 `nums[m]` 大小关系：
+
+- 当 `nums[m] < target` 或 `nums[m] > target` 时，说明还没有找到 `target` ，因此采取与上节代码相同的缩小区间操作。
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明找到了一个目标元素，此时应该如何缩小区间？
+
+对于该情况，**我们可以将查找目标想象为 `leftarget`**，其中 `leftarget` 表示从右到左首个小于 `target` 的元素。具体来说：
+
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明 `leftarget` 在区间 `[i, m - 1]` 中，因此采用 `j = m - 1` 来缩小区间，**从而使指针 `j` 向 `leftarget` 收缩靠近**。
+- 二分查找完成后，`i` 指向最左一个 `target` ，`j` 指向 `leftarget` ，因此最终返回索引 `i` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![二分查找最左元素的步骤](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![binary_search_left_edge_step2](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![binary_search_left_edge_step3](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![binary_search_left_edge_step4](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step4.png)
+
+=== "<5>"
+    ![binary_search_left_edge_step5](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step5.png)
+
+=== "<6>"
+    ![binary_search_left_edge_step6](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step6.png)
+
+=== "<7>"
+    ![binary_search_left_edge_step7](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step7.png)
+
+=== "<8>"
+    ![binary_search_left_edge_step8](binary_search_edge.assets/binary_search_left_edge_step8.png)
+
+注意，数组可能不包含目标元素 `target` 。因此在函数返回前，我们需要先判断 `nums[i]` 与 `target` 是否相等。另外，当 `target` 大于数组中的所有元素时，索引 `i` 会越界，因此也需要额外判断。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_edge.java"
+    /* 二分查找最左一个元素 */
+    int binarySearchLeftEdge(int[] nums, int target) {
+        int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
+        while (i <= j) {
+            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
+            if (nums[m] < target)
+                i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
+            else if (nums[m] > target)
+                j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
+            else
+                j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
+        }
+        if (i == nums.length || nums[i] != target)
+            return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+        return i;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_edge.cpp"
+    /* 二分查找最左一个元素 */
+    int binarySearchLeftEdge(vector<int> &nums, int target) {
+        int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
+        while (i <= j) {
+            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
+            if (nums[m] < target)
+                i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
+            else if (nums[m] > target)
+                j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
+            else
+                j = m - 1; // 首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
+        }
+        if (i == nums.size() || nums[i] != target)
+            return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+        return i;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_edge.py"
+    def binary_search_left_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
+        """二分查找最左一个元素"""
+        # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+        i, j = 0, len(nums) - 1
+        while i <= j:
+            m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
+            if nums[m] < target:
+                i = m + 1  # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
+            elif nums[m] > target:
+                j = m - 1  # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
+            else:
+                j = m - 1  # 此情况说明首个小于 target 的元素在区间 [i, m-1] 中
+        if i == len(nums) or nums[i] != target:
+            return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
+        return i
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_edge.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search_edge.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search_edge.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_edge.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_edge.cs"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_edge.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_edge.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearchLeftEdge}
+    ```
+
+## 6.2.2. &nbsp; 查找最右一个元素
+
+类似地，我们也可以二分查找最右一个元素。设首个大于 `target` 的元素为 `rightarget` 。
+
+- 当 `nums[m] == target` 时，说明 `rightarget` 在区间 `[m + 1, j]` 中，因此执行 `i = m + 1` 将搜索区间向右收缩。
+- 完成二分后，`i` 指向 `rightarget` ，`j` 指向最右一个 `target` ，因此最终返回索引 `j` 即可。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="binary_search_edge.java"
+    /* 二分查找最右一个元素 */
+    int binarySearchRightEdge(int[] nums, int target) {
+        int i = 0, j = nums.length - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
+        while (i <= j) {
+            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
+            if (nums[m] < target)
+                i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
+            else if (nums[m] > target)
+                j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
+            else
+                i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
+        }
+        if (j < 0 || nums[j] != target)
+            return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+        return j;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="binary_search_edge.cpp"
+    /* 二分查找最右一个元素 */
+    int binarySearchRightEdge(vector<int> &nums, int target) {
+        int i = 0, j = nums.size() - 1; // 初始化双闭区间 [0, n-1]
+        while (i <= j) {
+            int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
+            if (nums[m] < target)
+                i = m + 1; // target 在区间 [m+1, j] 中
+            else if (nums[m] > target)
+                j = m - 1; // target 在区间 [i, m-1] 中
+            else
+                i = m + 1; // 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
+        }
+        if (j < 0 || nums[j] != target)
+            return -1; // 未找到目标元素，返回 -1
+        return j;
+    }
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="binary_search_edge.py"
+    def binary_search_right_edge(nums: list[int], target: int) -> int:
+        """二分查找最右一个元素"""
+        # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
+        i, j = 0, len(nums) - 1
+        while i <= j:
+            m = (i + j) // 2  # 计算中点索引 m
+            if nums[m] < target:
+                i = m + 1  # target 在区间 [m+1, j] 中
+            elif nums[m] > target:
+                j = m - 1  # target 在区间 [i, m-1] 中
+            else:
+                i = m + 1  # 首个大于 target 的元素在区间 [m+1, j] 中
+        if j == len(nums) or nums[j] != target:
+            return -1  # 未找到目标元素，返回 -1
+        return j
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="binary_search_edge.go"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="binary_search_edge.js"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="binary_search_edge.ts"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="binary_search_edge.c"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="binary_search_edge.cs"
+    [class]{binary_search_edge}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="binary_search_edge.swift"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="binary_search_edge.zig"
+    [class]{}-[func]{binarySearchRightEdge}
+    ```
+
+观察下图，搜索最右元素时指针 `j` 起到了搜索最左元素时指针 `i` 的作用，反之亦然。本质上看，**搜索最左元素和最右元素的实现是镜像对称的**。
+
+![二分查找最左元素和最右元素](binary_search_edge.assets/binary_search_left_right_edge.png)
+
+<p align="center"> Fig. 二分查找最左元素和最右元素 </p>
+
+!!! tip
+
+    以上代码采取的都是“双闭区间”写法。有兴趣的读者可以自行实现“左闭右开”写法。