@ -1,26 +1,24 @@
# AVL 树 *
# AVL 树 *
在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
在二叉搜索树章节中，我们提到了在多次插入和删除操作后，二叉搜索树可能退化为链表。这种情况下，所有操作的时间复杂度将从 $O(\log n)$ 恶化为 $O(n)$ 。
如下图所示，执行两步删除节点后，该二叉搜索树就 会退化为链表。
如下图所示，经过两次删除节点操作，这个二叉搜索树便 会退化为链表。
再比如，在以下完美二叉树中插入两个节点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣 化。
再例如，在以下完美二叉树中插入两个节点后，树将严重向左倾斜，查找操作的时间复杂度也随之恶 化。
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作， ，
G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。论文中详细描述了一系列操作， ， ， ，
换言之， ，
## AVL 树常见术语
## AVL 树常见术语
「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又 被称为「平衡二叉搜索树」。
「AVL 树」既是二叉搜索树也是平衡二叉树，同时满足这两类二叉树的所有性质，因此也 被称为「平衡二叉搜索树」。
### 节点高度
### 节点高度
在 AVL 树的操作中，需要获取节点「高度 Height」， AVL 树的节点类添加 `height` 变量。
在操作 AVL 树时，我们需要获取节点的高度，因此需要为 AVL 树的节点类添加 `height` 变量。
=== "Java"
=== "Java"
@ -149,7 +147,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
```
```
「节点高度」是最远叶节点到该节点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶节点的高度为 0 ，空节点的高度为 -1**。我们封装两个工具函数，分别用于获取与 更新节点的高度。
「节点高度」是指从该节点到最远叶节点的距离，即所经过的“边”的数量。需要特别注意的是，叶节点的高度为 0 ，而空节点的高度为 -1 。我们将创建两个工具函数，分别用于获取和 更新节点的高度。
=== "Java"
=== "Java"
@ -233,7 +231,7 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
### 节点平衡因子
### 节点平衡因子
节点的「平衡因子 Balance Factor」是 ** 节点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空节点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取节点平衡因子封装成函数，以 便后续使用。
节点的「平衡因子 Balance Factor」定义为节点左子树的高度减去右子树的高度，同时规定空节点的平衡因子为 0 。我们同样将获取节点平衡因子的功能封装成函数，方 便后续使用。
=== "Java"
=== "Java"
@ -301,13 +299,13 @@ G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorit
## AVL 树旋转
## AVL 树旋转
AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作， ** 在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡节点重新恢复平衡**。换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」 。
AVL 树的特点在于「旋转 Rotation」操作， ， ， 。
我们将平衡因子的 绝对值 $> 1$ 的节点称为「失衡节点」。根据节点的失衡情况，旋转操作分为 ** 右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的 。
我们将平衡因子绝对值 $> 1$ 的节点称为「失衡节点」。根据节点失衡情况的不同，旋转操作分为四种：右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。下面我们将详细介绍这些旋转操作 。
### Case 1 - 右旋
### 右旋
如下图所示（节点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是 ** 节点 3**。我们聚焦在以该失衡节点为根节点的子树上，将该节点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树 。
如下图所示，节点下方为平衡因子。从底至顶看，二叉树中首个失衡节点是“节点 3”。我们关注以该失衡节点为根节点的子树， `node` ，其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，子树已经恢复平衡，并且仍然保持二叉搜索树的特性 。
=== "< 1 > "
=== "< 1 > "
@ -321,11 +319,11 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
=== "< 4 > "
=== "< 4 > "
进而 ，如果节点 `child` 本身有右子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。此外 ，如果节点 `child` 本身有右子节点（记为 `grandChild` ），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子节点。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际需要通过修改节点指针实现，代码如下所示。
“向右旋转”是一种形象化的说法，实际上 需要通过修改节点指针来 实现，代码如下所示。
=== "Java"
=== "Java"
@ -387,9 +385,9 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
[class]{AVLTree}-[func]{rightRotate}
```
```
### Case 2 - 左旋
### 左旋
类似地，如果将取上述失衡二叉树的“镜像”，那么则需要 「左旋」操作。相应的，如果考虑上述失衡二叉树的“镜像”，则需要执行 「左旋」操作。
@ -397,7 +395,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**。根据对称性，我们可以很方便地从「右旋」推导出「左旋」 。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` 、 所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。可以观察到，**右旋和左旋操作在逻辑上是镜像对称的，它们分别解决的两种失衡情况也是对称的**。基于对称性，我们可以轻松地从右旋的代码推导出左旋的代码 。具体地，只需将「右旋」代码中的把所有的 `left` 替换为 `right` ，将 所有的 `right` 替换为 `left` ，即可得到「左旋」代码。
=== "Java"
=== "Java"
@ -459,30 +457,30 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
[class]{AVLTree}-[func]{leftRotate}
```
```
### Case 3 - 先左后右
### 先左旋 后右旋
对于下图的失衡节点 3 ， ，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
对于下图中的失衡节点 3， ，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
### Case 4 - 先右后左
### 先右旋 后左旋
同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」 ，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
同理，对于上述失衡二叉树的镜像情况，需要先右旋后左旋 ，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
### 旋转的选择
### 旋转的选择
下图描述的四种失衡情况与上述 Cases 逐个对应，分别需采用 ** 右旋、左旋、先右后左、先左后右** 的旋转操作。
下图展示的四种失衡情况与上述案例逐个对应，分别需要采用右旋、左旋、先右后左、先左后右 的旋转操作。
具体地，在代码中使用 ** 失衡节点的平衡因子、较高一侧子节点的平衡因子** 来确定失衡节点属于上图中的哪种情况。在代码中，我们通过判断失衡节点的平衡因子以及较高一侧子节点的平衡因子的正负号， 来确定失衡节点属于上图中的哪种情况。
< div class = "center-table" markdown > < div class = "center-table" markdown >
| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| 失衡节点的平衡因子 | 子节点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
| ---------------- | ---------------- | ---------------- |
| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $>0$ （即左偏树） | $\geq 0$ | 右旋 |
| $>0$ （即左偏树） | $< 0 $ | 先 左 旋 后 右 旋 |
| $>0$ （即左偏树） | $< 0 $ | 先 左 旋 后 右 旋 |
| $< 0 $ （即右偏树） | $ \leq 0 $ | 左旋 |
| $< 0 $ （即右偏树） | $ \leq 0 $ | 左旋 |
@ -490,7 +488,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
< / div > < / div >
为方便使用，我们将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以使用此函数来旋转各种失衡情况 ，使失衡节点重新恢复平衡**。
为了便于使用，我们将旋转操作封装成一个函数。**有了这个函数，我们就能对各种失衡情况进行旋转 ，使失衡节点重新恢复平衡**。
=== "Java"
=== "Java"
@ -556,7 +554,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
### 插入节点
### 插入节点
「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入节点后，从该节点到根节点的路径上会出现一系列「失衡节点」。所以，**我们需要从该节点开始，从底至顶地 执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
「AVL 树」的节点插入操作与「二叉搜索树」在主体上类似。唯一的区别在于，在 AVL 树中插入节点后，从该节点到根节点的路径上可能会出现一系列失衡节点。因此，**我们需要从这个节点开始，自底向上 执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡**。
=== "Java"
=== "Java"
@ -640,7 +638,7 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
### 删除节点
### 删除节点
「AVL 树」删除节点操作与「二叉搜索树」删除节点操作总体相同。类似地，**在删除节点后，也 需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡** 。类似地，在二叉搜索树的删除节点方法的基础上， 需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡节点恢复平衡。
=== "Java"
=== "Java"
@ -744,13 +742,13 @@ AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，
### 查找节点
### 查找节点
「 AVL 树」 的节点查找操作与「 二叉搜索树」 一致，在此不再赘述。AVL 树的节点查找操作与二叉搜索树一致，在此不再赘述。
## AVL 树典型应用
## AVL 树典型应用
- 组织存储大型数据，适用于高频查找、低频增删场景；
- 组织和 存储大型数据，适用于高频查找、低频增删的 场景；
- 用于建立 数据库中的索引系统；
- 用于构 建数据库中的索引系统；
!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
!!! question "为什么红黑树比 AVL 树更受欢迎？"
红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除节点所需的旋转操作相对更少，节点增删操作相比 AVL 树的效率更高 。
红黑树的平衡条件相对宽松，因此在红黑树中插入与删除节点所需的旋转操作相对较少，在节点增删操作上的平均效率高于 AVL 树 。
krahets
2 years ago