From 25a9c76f32570ccfaaad65ea8f0ce609d91df365 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Thu, 6 Jul 2023 04:09:15 +0800 Subject: [PATCH] deploy --- .../knapsack_problem/index.html | 34 +++++++++--------- chapter_heap/top_k/index.html | 15 +++++++- search/search_index.json | 2 +- sitemap.xml.gz | Bin 823 -> 823 bytes 4 files changed, 32 insertions(+), 19 deletions(-) diff --git a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html index aad722510..f1513a316 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html +++ b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem/index.html @@ -2214,25 +2214,23 @@

13.3.   0-1 背包问题

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背包问题是学习动态规划的一个非常好的入门题目，其涉及到“选择与不选择”和“限制条件下的最优化”等问题，是动态规划中最常见的问题形式。

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背包问题具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。在本节中，我们先来学习最简单的 0-1 背包问题。

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背包问题是一个非常好的动态规划入门题目，是动态规划中最常见的问题形式。其具有很多变种，例如 0-1 背包问题、完全背包问题、多重背包问题等。

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在本节中，我们先来学习基础的的 0-1 背包问题。

Question

给定 \(n\) 个物品，第 \(i\) 个物品的重量为 \(wgt[i-1]\) 、价值为 \(val[i-1]\) ，现在有个容量为 \(cap\) 的背包，请求解在不超过背包容量下背包中物品的最大价值。

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请注意，物品编号 \(i\) 从 \(1\) 开始计数，但数组索引从 \(0\) 开始计数，因此物品 \(i\) 对应重量 \(wgt[i-1]\) 和价值 \(val[i-1]\) 。

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请注意，物品编号 \(i\) 从 \(1\) 开始计数，数组索引从 \(0\) 开始计数，因此物品 \(i\) 对应重量 \(wgt[i-1]\) 和价值 \(val[i-1]\) 。

下图给出了一个 0-1 背包的示例数据，背包内的最大价值为 \(220\) 。

0-1 背包的示例数据

Fig. 0-1 背包的示例数据

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接下来，我们仍然先从回溯角度入手，先给出暴力搜索解法；再引入记忆化处理，得到记忆化搜索和动态规划解法。

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13.3.1.   方法一：暴力搜索

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0-1 背包问题是一道典型的“选或不选”的问题，0 代表不选、1 代表选。我们可以将 0-1 背包看作是一个由 \(n\) 轮决策组成的搜索过程，对于每个物体都有不放入和放入两种决策。不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得：

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在 0-1 背包问题中，每个物体都有不放入和放入两种决策。不放入背包，背包容量不变；放入背包，背包容量减小。由此可得：

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当我们做出物品 \(i\) 的决策后，剩余的是前 \(i-1\) 个物品的子问题，因此状态转移分为两种：

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我们可以将 0-1 背包求解过程看作是一个由 \(n\) 轮决策组成的过程。从物品 \(n\) 开始，当我们做出物品 \(i\) 的决策后，剩余的是前 \(i-1\) 个物品的决策。因此，状态转移分为两种情况：