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hello-algo
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krahets 2 years ago
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10
chapter_array_and_linkedlist/array.md
Unescape View File

@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
观察上图，我们发现 **数组首元素的索引为 $0$** 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 $1$ 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。
**数组有多种初始化写法**。根据实际需要，选代码最短的那一种就好。
**数组初始化**。一般会用到无初始值、给定初始值两种写法，可根据需求选取。在不给定初始值的情况下，一般所有元素会被初始化为默认值 $0$ 。
=== "Java"
@ -28,8 +28,12 @@ comments: true
```cpp title="array.cpp"
/* 初始化数组 */
int* arr = new int[5];
int* nums = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
// 存储在栈上
int arr[5];
int nums[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
// 存储在堆上
int* arr1 = new int[5];
int* nums1 = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
```
=== "Python"

8
chapter_graph/graph.md
Unescape View File

@ -22,15 +22,15 @@ $$
根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
- 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png)
根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点；
- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达；
- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；
![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png)
@ -52,6 +52,8 @@ $$
设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。
![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png)
邻接矩阵具有以下性质：

126
chapter_graph/graph_operations.md
Unescape View File

@ -634,21 +634,20 @@ comments: true
基于邻接表实现图的代码如下所示。
!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？"
如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。
=== "Java"
```java title="graph_adjacency_list.java"
/* 顶点类 */
class Vertex {
int val;
public Vertex(int val) {
this.val = val;
}
}
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;
/* 构造方法 */
public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
@ -688,26 +687,26 @@ comments: true
public void addVertex(Vertex vet) {
if (adjList.containsKey(vet))
return;
// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
adjList.put(vet, new HashSet<>());
// 在邻接表中添加一个新链表
adjList.put(vet, new ArrayList<>());
}
/* 删除顶点 */
public void removeVertex(Vertex vet) {
if (!adjList.containsKey(vet))
throw new IllegalArgumentException();
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
adjList.remove(vet);
// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
set.remove(vet);
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
list.remove(vet);
}
}
/* 打印邻接表 */
public void print() {
System.out.println("邻接表 =");
for (Map.Entry<Vertex, Set<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
for (Vertex vertex : entry.getValue())
tmp.add(vertex.val);
@ -720,16 +719,11 @@ comments: true
=== "C++"
```cpp title="graph_adjacency_list.cpp"
/* 顶点类 */
struct Vertex {
int val;
Vertex(int val) : val(val) {}
};
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
unordered_map<Vertex*, unordered_set<Vertex*>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
unordered_map<Vertex*, unordered_set<Vertex*>> adjList;
public:
/* 构造方法 */
@ -766,7 +760,7 @@ comments: true
/* 添加顶点 */
void addVertex(Vertex* vet) {
if (adjList.count(vet)) return;
// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
// 在邻接表中添加一个新链表
adjList[vet] = unordered_set<Vertex*>();
}
@ -774,9 +768,9 @@ comments: true
void removeVertex(Vertex* vet) {
if (!adjList.count(vet))
throw invalid_argument("不存在顶点");
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
adjList.erase(vet);
// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for (auto& [key, set_] : adjList) {
set_.erase(vet);
}
@ -799,30 +793,16 @@ comments: true
=== "Python"
```python title="graph_adjacency_list.py"
[class]{Vertex}-[func]{}
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```
=== "Go"
```go title="graph_adjacency_list.go"
/* 顶点类 */
type vertex struct {
val int
}
/* 构造方法 */
func newVertex(val int) vertex {
return vertex{
val: val,
}
}
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
type graphAdjList struct {
// 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
// 邻接表（使用哈希表实现）, 使用哈希表模拟集合
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
adjList map[vertex]map[vertex]struct{}
}
@ -875,7 +855,7 @@ comments: true
if ok {
return
}
// 在邻接表中添加一个新链表（即 set）
// 在邻接表中添加一个新链表
g.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{})
}
@ -887,7 +867,7 @@ comments: true
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
delete(g.adjList, vet)
// 遍历其它顶点的链表（即 Set），删除所有包含 vet 的边
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for _, set := range g.adjList {
// 操作
delete(set, vet)
@ -912,17 +892,12 @@ comments: true
=== "JavaScript"
```javascript title="graph_adjacency_list.js"
/* 顶点类 */
class Vertex {
val;
constructor(val) {
this.val = val;
}
}
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
adjList;
/* 构造方法 */
constructor(edges) {
this.adjList = new Map();
@ -962,7 +937,7 @@ comments: true
/* 添加顶点 */
addVertex(vet) {
if (this.adjList.has(vet)) return;
// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
// 在邻接表中添加一个新链表
this.adjList.set(vet, new Set());
}
@ -971,9 +946,9 @@ comments: true
if (!this.adjList.has(vet)) {
throw new Error("Illegal Argument Exception");
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
this.adjList.delete(vet);
// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for (let set of this.adjList.values()) {
set.delete(vet);
}
@ -996,17 +971,12 @@ comments: true
=== "TypeScript"
```typescript title="graph_adjacency_list.ts"
/* 顶点类 */
class Vertex {
val: number;
constructor(val: number) {
this.val = val;
}
}
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
adjList: Map<Vertex, Set<Vertex>>;
/* 构造方法 */
constructor(edges: Vertex[][]) {
this.adjList = new Map();
@ -1046,7 +1016,7 @@ comments: true
/* 添加顶点 */
addVertex(vet: Vertex): void {
if (this.adjList.has(vet)) return;
// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
// 在邻接表中添加一个新链表
this.adjList.set(vet, new Set());
}
@ -1055,9 +1025,9 @@ comments: true
if (!this.adjList.has(vet)) {
throw new Error("Illegal Argument Exception");
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
this.adjList.delete(vet);
// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for (let set of this.adjList.values()) {
set.delete(vet);
}
@ -1080,29 +1050,25 @@ comments: true
=== "C"
```c title="graph_adjacency_list.c"
[class]{vertex}-[func]{}
[class]{graphAdjList}-[func]{}
```
=== "C#"
```csharp title="graph_adjacency_list.cs"
[class]{Vertex}-[func]{}
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```
=== "Swift"
```swift title="graph_adjacency_list.swift"
[class]{Vertex}-[func]{}
/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
// 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
private var adjList: [Vertex: Set<Vertex>] // 邻接表（使用哈希表实现）
// 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
// 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
private var adjList: [Vertex: Set<Vertex>]
/* 构造方法 */
init(edges: [[Vertex]]) {
adjList = [:]
// 添加所有顶点和边
@ -1143,7 +1109,7 @@ comments: true
if adjList[vet] != nil {
return
}
// 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
// 在邻接表中添加一个新链表
adjList[vet] = []
}
@ -1152,9 +1118,9 @@ comments: true
if adjList[vet] == nil {
fatalError("参数错误")
}
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
// 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
adjList.removeValue(forKey: vet)
// 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
// 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
for key in adjList.keys {
adjList[key]?.remove(vet)
}
@ -1177,8 +1143,6 @@ comments: true
=== "Zig"
```zig title="graph_adjacency_list.zig"
[class]{Vertex}-[func]{}
[class]{GraphAdjList}-[func]{}
```

301
chapter_graph/graph_traversal.md
Unescape View File

@ -0,0 +1,301 @@
---
comments: true
---
# 9.3. 图的遍历
!!! note "图与树的关系"
树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
## 9.3.1. 广度优先遍历
**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
![graph_bfs](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
### 算法实现
BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束。
为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
=== "Java"
```java title="graph_bfs.java"
/* 广度优先遍历 BFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
// 队列用于实现 BFS
Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
// 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
while (!que.isEmpty()) {
Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
res.add(vet); // 记录访问顶点
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点
visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
}
}
// 返回顶点遍历序列
return res;
}
```
=== "C++"
```cpp title="graph_bfs.cpp"
```
=== "Python"
```python title="graph_bfs.py"
```
=== "Go"
```go title="graph_bfs.go"
```
=== "JavaScript"
```javascript title="graph_bfs.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="graph_bfs.ts"
```
=== "C"
```c title="graph_bfs.c"
```
=== "C#"
```csharp title="graph_bfs.cs"
```
=== "Swift"
```swift title="graph_bfs.swift"
```
=== "Zig"
```zig title="graph_bfs.zig"
```
代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
=== "Step 1"
![graph_bfs_step1](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
=== "Step 2"
![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)
=== "Step 3"
![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)
=== "Step 4"
![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)
=== "Step 5"
![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)
=== "Step 6"
![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)
=== "Step 7"
![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)
=== "Step 8"
![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)
=== "Step 9"
![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)
=== "Step 10"
![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)
=== "Step 11"
![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)
!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
### 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
## 9.3.2. 深度优先遍历
**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
![graph_dfs](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
### 算法实现
这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
=== "Java"
```java title="graph_dfs.java"
/* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
res.add(vet); // 记录访问顶点
visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
// 遍历该顶点的所有邻接顶点
for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
if (visited.contains(adjVet))
continue; // 跳过已被访问过的顶点
// 递归访问邻接顶点
dfs(graph, visited, res, adjVet);
}
}
/* 深度优先遍历 DFS */
// 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
// 顶点遍历序列
List<Vertex> res = new ArrayList<>();
// 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
dfs(graph, visited, res, startVet);
return res;
}
```
=== "C++"
```cpp title="graph_dfs.cpp"
```
=== "Python"
```python title="graph_dfs.py"
```
=== "Go"
```go title="graph_dfs.go"
```
=== "JavaScript"
```javascript title="graph_dfs.js"
```
=== "TypeScript"
```typescript title="graph_dfs.ts"
```
=== "C"
```c title="graph_dfs.c"
```
=== "C#"
```csharp title="graph_dfs.cs"
```
=== "Swift"
```swift title="graph_dfs.swift"
```
=== "Zig"
```zig title="graph_dfs.zig"
```
深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
=== "Step 1"
![graph_dfs_step1](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
=== "Step 2"
![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)
=== "Step 3"
![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)
=== "Step 4"
![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)
=== "Step 5"
![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)
=== "Step 6"
![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)
=== "Step 7"
![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)
=== "Step 8"
![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)
=== "Step 9"
![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)
=== "Step 10"
![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)
=== "Step 11"
![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)
!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
### 复杂度分析
**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。

2
chapter_preface/installation.md
Unescape View File

@ -17,7 +17,7 @@ comments: true
## 0.3.3. C/C++ 环境
1. Windows 系统需要安装 [MinGW](https://sourceforge.net/projects/mingw-w64/files/) （[配置教程](https://glj0.netlify.app/d-%E8%BD%AF%E4%BB%B6%E6%8A%80%E8%83%BD/windows%20%E4%B8%8B%E4%BD%BF%E7%94%A8%20vscode%20+%20mingw%20%E5%AE%8C%E6%88%90%E7%AE%80%E5%8D%95%20c%20%E6%88%96%20cpp%20%E4%BB%A3%E7%A0%81%E7%9A%84%E8%BF%90%E8%A1%8C%E4%B8%8E%E8%B0%83%E8%AF%95/)），MacOS 自带 Clang 无需安装。
1. Windows 系统需要安装 [MinGW](https://sourceforge.net/projects/mingw-w64/files/)（[配置教程](https://blog.csdn.net/qq_33698226/article/details/129031241)），MacOS 自带 Clang 无需安装。
2. 在 VSCode 的插件市场中搜索 `c++` ，安装 C/C++ Extension Pack 。
## 0.3.4. Python 环境

42
chapter_tree/binary_tree_traversal.md
Unescape View File

@ -4,11 +4,13 @@ comments: true
# 7.2. 二叉树遍历
非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
## 7.2.1. 层序遍历
「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
@ -16,13 +18,15 @@ comments: true
<p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>
### 算法实现
广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。
=== "Java"
```java title="binary_tree_bfs.java"
/* 层序遍历 */
List<Integer> hierOrder(TreeNode root) {
List<Integer> levelOrder(TreeNode root) {
// 初始化队列，加入根结点
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@ -43,7 +47,7 @@ comments: true
```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
/* 层序遍历 */
vector<int> hierOrder(TreeNode* root) {
vector<int> levelOrder(TreeNode* root) {
// 初始化队列，加入根结点
queue<TreeNode*> queue;
queue.push(root);
@ -66,7 +70,7 @@ comments: true
```python title="binary_tree_bfs.py"
""" 层序遍历 """
def hier_order(root: Optional[TreeNode]):
def level_order(root: Optional[TreeNode]):
# 初始化队列，加入根结点
queue = collections.deque()
queue.append(root)
@ -86,7 +90,7 @@ comments: true
```go title="binary_tree_bfs.go"
/* 层序遍历 */
func hierOrder(root *TreeNode) []int {
func levelOrder(root *TreeNode) []int {
// 初始化队列，加入根结点
queue := list.New()
queue.PushBack(root)
@ -114,7 +118,7 @@ comments: true
```javascript title="binary_tree_bfs.js"
/* 层序遍历 */
function hierOrder(root) {
function levelOrder(root) {
// 初始化队列，加入根结点
let queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@ -136,7 +140,7 @@ comments: true
```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
/* 层序遍历 */
function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] {
function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] {
// 初始化队列，加入根结点
const queue = [root];
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@ -158,14 +162,14 @@ comments: true
=== "C"
```c title="binary_tree_bfs.c"
[class]{}-[func]{hierOrder}
[class]{}-[func]{levelOrder}
```
=== "C#"
```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
/* 层序遍历 */
List<int> hierOrder(TreeNode root)
List<int> levelOrder(TreeNode root)
{
// 初始化队列，加入根结点
Queue<TreeNode> queue = new();
@ -189,7 +193,7 @@ comments: true
```swift title="binary_tree_bfs.swift"
/* 层序遍历 */
func hierOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] {
// 初始化队列，加入根结点
var queue: [TreeNode] = [root]
// 初始化一个列表，用于保存遍历序列
@ -212,7 +216,7 @@ comments: true
```zig title="binary_tree_bfs.zig"
// 层序遍历
fn hierOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) {
// 初始化队列，加入根结点
const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T));
var queue = L{};
@ -240,6 +244,12 @@ comments: true
}
```
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。
## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历
相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
@ -260,6 +270,8 @@ comments: true
</div>
### 算法实现
=== "Java"
```java title="binary_tree_dfs.java"
@ -573,3 +585,9 @@ comments: true
!!! note
使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。
### 复杂度分析
**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。

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