diff --git a/chapter_array_and_linkedlist/array.md b/chapter_array_and_linkedlist/array.md index 2e98b8013..7d7ff54e8 100755 --- a/chapter_array_and_linkedlist/array.md +++ b/chapter_array_and_linkedlist/array.md @@ -14,7 +14,7 @@ comments: true 观察上图，我们发现 **数组首元素的索引为 $0$** 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 $1$ 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。 -**数组有多种初始化写法**。根据实际需要，选代码最短的那一种就好。 +**数组初始化**。一般会用到无初始值、给定初始值两种写法，可根据需求选取。在不给定初始值的情况下，一般所有元素会被初始化为默认值 $0$ 。 === "Java" @@ -28,8 +28,12 @@ comments: true ```cpp title="array.cpp" /* 初始化数组 */ - int* arr = new int[5]; - int* nums = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 }; + // 存储在栈上 + int arr[5]; + int nums[5] { 1, 3, 2, 5, 4 }; + // 存储在堆上 + int* arr1 = new int[5]; + int* nums1 = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 }; ``` === "Python" diff --git a/chapter_graph/graph.md b/chapter_graph/graph.md index 5f8d861e5..1de9f230d 100644 --- a/chapter_graph/graph.md +++ b/chapter_graph/graph.md @@ -22,15 +22,15 @@ $$ 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。 -- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”； +- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”； - 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系； ![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png) 根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。 -- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点； -- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达； +- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点； +- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达； ![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png) @@ -52,6 +52,8 @@ $$ 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。 +如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。 + ![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png) 邻接矩阵具有以下性质： diff --git a/chapter_graph/graph_operations.md b/chapter_graph/graph_operations.md index 268ebcb75..ceb10364e 100644 --- a/chapter_graph/graph_operations.md +++ b/chapter_graph/graph_operations.md @@ -634,21 +634,20 @@ comments: true 基于邻接表实现图的代码如下所示。 +!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？" + + 如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。 + 如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。 + 因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。 + === "Java" ```java title="graph_adjacency_list.java" - /* 顶点类 */ - class Vertex { - int val; - public Vertex(int val) { - this.val = val; - } - } - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { - // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象 - Map> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现） + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 + Map> adjList; /* 构造方法 */ public GraphAdjList(Vertex[][] edges) { @@ -688,26 +687,26 @@ comments: true public void addVertex(Vertex vet) { if (adjList.containsKey(vet)) return; - // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） - adjList.put(vet, new HashSet<>()); + // 在邻接表中添加一个新链表 + adjList.put(vet, new ArrayList<>()); } /* 删除顶点 */ public void removeVertex(Vertex vet) { if (!adjList.containsKey(vet)) throw new IllegalArgumentException(); - // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） + // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 adjList.remove(vet); - // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 - for (Set set : adjList.values()) { - set.remove(vet); + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 + for (List list : adjList.values()) { + list.remove(vet); } } /* 打印邻接表 */ public void print() { System.out.println("邻接表 ="); - for (Map.Entry> entry : adjList.entrySet()) { + for (Map.Entry> entry : adjList.entrySet()) { List tmp = new ArrayList<>(); for (Vertex vertex : entry.getValue()) tmp.add(vertex.val); @@ -720,16 +719,11 @@ comments: true === "C++" ```cpp title="graph_adjacency_list.cpp" - /* 顶点类 */ - struct Vertex { - int val; - Vertex(int val) : val(val) {} - }; - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { - // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象 - unordered_map> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现） + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 + unordered_map> adjList; public: /* 构造方法 */ @@ -766,7 +760,7 @@ comments: true /* 添加顶点 */ void addVertex(Vertex* vet) { if (adjList.count(vet)) return; - // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） + // 在邻接表中添加一个新链表 adjList[vet] = unordered_set(); } @@ -774,9 +768,9 @@ comments: true void removeVertex(Vertex* vet) { if (!adjList.count(vet)) throw invalid_argument("不存在顶点"); - // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） + // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 adjList.erase(vet); - // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 for (auto& [key, set_] : adjList) { set_.erase(vet); } @@ -799,30 +793,16 @@ comments: true === "Python" ```python title="graph_adjacency_list.py" - [class]{Vertex}-[func]{} - [class]{GraphAdjList}-[func]{} ``` === "Go" ```go title="graph_adjacency_list.go" - /* 顶点类 */ - type vertex struct { - val int - } - - /* 构造方法 */ - func newVertex(val int) vertex { - return vertex{ - val: val, - } - } - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ type graphAdjList struct { - // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象 - // 邻接表（使用哈希表实现）, 使用哈希表模拟集合 + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 adjList map[vertex]map[vertex]struct{} } @@ -875,7 +855,7 @@ comments: true if ok { return } - // 在邻接表中添加一个新链表（即 set） + // 在邻接表中添加一个新链表 g.adjList[vet] = make(map[vertex]struct{}) } @@ -887,7 +867,7 @@ comments: true } // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 delete(g.adjList, vet) - // 遍历其它顶点的链表（即 Set），删除所有包含 vet 的边 + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 for _, set := range g.adjList { // 操作 delete(set, vet) @@ -912,17 +892,12 @@ comments: true === "JavaScript" ```javascript title="graph_adjacency_list.js" - /* 顶点类 */ - class Vertex { - val; - constructor(val) { - this.val = val; - } - } - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 adjList; + /* 构造方法 */ constructor(edges) { this.adjList = new Map(); @@ -962,7 +937,7 @@ comments: true /* 添加顶点 */ addVertex(vet) { if (this.adjList.has(vet)) return; - // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） + // 在邻接表中添加一个新链表 this.adjList.set(vet, new Set()); } @@ -971,9 +946,9 @@ comments: true if (!this.adjList.has(vet)) { throw new Error("Illegal Argument Exception"); } - // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） + // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 this.adjList.delete(vet); - // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 for (let set of this.adjList.values()) { set.delete(vet); } @@ -996,17 +971,12 @@ comments: true === "TypeScript" ```typescript title="graph_adjacency_list.ts" - /* 顶点类 */ - class Vertex { - val: number; - constructor(val: number) { - this.val = val; - } - } - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 adjList: Map>; + /* 构造方法 */ constructor(edges: Vertex[][]) { this.adjList = new Map(); @@ -1046,7 +1016,7 @@ comments: true /* 添加顶点 */ addVertex(vet: Vertex): void { if (this.adjList.has(vet)) return; - // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） + // 在邻接表中添加一个新链表 this.adjList.set(vet, new Set()); } @@ -1055,9 +1025,9 @@ comments: true if (!this.adjList.has(vet)) { throw new Error("Illegal Argument Exception"); } - // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） + // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 this.adjList.delete(vet); - // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 for (let set of this.adjList.values()) { set.delete(vet); } @@ -1080,29 +1050,25 @@ comments: true === "C" ```c title="graph_adjacency_list.c" - [class]{vertex}-[func]{} - [class]{graphAdjList}-[func]{} ``` === "C#" ```csharp title="graph_adjacency_list.cs" - [class]{Vertex}-[func]{} - [class]{GraphAdjList}-[func]{} ``` === "Swift" ```swift title="graph_adjacency_list.swift" - [class]{Vertex}-[func]{} - /* 基于邻接表实现的无向图类 */ class GraphAdjList { - // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象 - private var adjList: [Vertex: Set] // 邻接表（使用哈希表实现） + // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率 + // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象 + private var adjList: [Vertex: Set] + /* 构造方法 */ init(edges: [[Vertex]]) { adjList = [:] // 添加所有顶点和边 @@ -1143,7 +1109,7 @@ comments: true if adjList[vet] != nil { return } - // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet） + // 在邻接表中添加一个新链表 adjList[vet] = [] } @@ -1152,9 +1118,9 @@ comments: true if adjList[vet] == nil { fatalError("参数错误") } - // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet） + // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表 adjList.removeValue(forKey: vet) - // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边 + // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边 for key in adjList.keys { adjList[key]?.remove(vet) } @@ -1177,8 +1143,6 @@ comments: true === "Zig" ```zig title="graph_adjacency_list.zig" - [class]{Vertex}-[func]{} - [class]{GraphAdjList}-[func]{} ``` diff --git a/chapter_graph/graph_traversal.md b/chapter_graph/graph_traversal.md new file mode 100644 index 000000000..a2ab9ce5e --- /dev/null +++ b/chapter_graph/graph_traversal.md @@ -0,0 +1,301 @@ +--- +comments: true +--- + +# 9.3. 图的遍历 + +!!! note "图与树的关系" + + 树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。 + +「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。 + +类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。 + +## 9.3.1. 广度优先遍历 + +**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推…… + +![graph_bfs](graph_traversal.assets/graph_bfs.png) + +### 算法实现 + +BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。 + +1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环； +2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部； +3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束。 + +为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。 + +=== "Java" + + ```java title="graph_bfs.java" + /* 广度优先遍历 BFS */ + // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 + List graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { + // 顶点遍历序列 + List res = new ArrayList<>(); + // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 + Set visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }}; + // 队列用于实现 BFS + Queue que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }}; + // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点 + while (!que.isEmpty()) { + Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队 + res.add(vet); // 记录访问顶点 + // 遍历该顶点的所有邻接顶点 + for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) { + if (visited.contains(adjVet)) + continue; // 跳过已被访问过的顶点 + que.offer(adjVet); // 只入队未访问的顶点 + visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问 + } + } + // 返回顶点遍历序列 + return res; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="graph_bfs.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="graph_bfs.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="graph_bfs.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="graph_bfs.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="graph_bfs.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="graph_bfs.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="graph_bfs.cs" + + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="graph_bfs.swift" + + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="graph_bfs.zig" + + ``` + +代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。 + +=== "Step 1" + ![graph_bfs_step1](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png) + +=== "Step 2" + ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png) + +=== "Step 3" + ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png) + +=== "Step 4" + ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png) + +=== "Step 5" + ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png) + +=== "Step 6" + ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png) + +=== "Step 7" + ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png) + +=== "Step 8" + ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png) + +=== "Step 9" + ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png) + +=== "Step 10" + ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png) + +=== "Step 11" + ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png) + +!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？" + + 不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推…… + +### 复杂度分析 + +**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 + +**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。 + +## 9.3.2. 深度优先遍历 + +**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。 + +![graph_dfs](graph_traversal.assets/graph_dfs.png) + +### 算法实现 + +这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。 + +=== "Java" + + ```java title="graph_dfs.java" + /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */ + void dfs(GraphAdjList graph, Set visited, List res, Vertex vet) { + res.add(vet); // 记录访问顶点 + visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问 + // 遍历该顶点的所有邻接顶点 + for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) { + if (visited.contains(adjVet)) + continue; // 跳过已被访问过的顶点 + // 递归访问邻接顶点 + dfs(graph, visited, res, adjVet); + } + } + + /* 深度优先遍历 DFS */ + // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点 + List graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) { + // 顶点遍历序列 + List res = new ArrayList<>(); + // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点 + Set visited = new HashSet<>(); + dfs(graph, visited, res, startVet); + return res; + } + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="graph_dfs.cpp" + + ``` + +=== "Python" + + ```python title="graph_dfs.py" + + ``` + +=== "Go" + + ```go title="graph_dfs.go" + + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="graph_dfs.js" + + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="graph_dfs.ts" + + ``` + +=== "C" + + ```c title="graph_dfs.c" + + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="graph_dfs.cs" + + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="graph_dfs.swift" + + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="graph_dfs.zig" + + ``` + +深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中 + +- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点； +- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置； + +为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。 + +=== "Step 1" + ![graph_dfs_step1](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png) + +=== "Step 2" + ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png) + +=== "Step 3" + ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png) + +=== "Step 4" + ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png) + +=== "Step 5" + ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png) + +=== "Step 6" + ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png) + +=== "Step 7" + ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png) + +=== "Step 8" + ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png) + +=== "Step 9" + ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png) + +=== "Step 10" + ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png) + +=== "Step 11" + ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png) + +!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？" + + 与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。 + + 以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。 + +### 复杂度分析 + +**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。 + +**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。 diff --git a/chapter_preface/installation.md b/chapter_preface/installation.md index adab95b21..b700649ad 100644 --- a/chapter_preface/installation.md +++ b/chapter_preface/installation.md @@ -17,7 +17,7 @@ comments: true ## 0.3.3. C/C++ 环境 -1. Windows 系统需要安装 [MinGW](https://sourceforge.net/projects/mingw-w64/files/) （[配置教程](https://glj0.netlify.app/d-%E8%BD%AF%E4%BB%B6%E6%8A%80%E8%83%BD/windows%20%E4%B8%8B%E4%BD%BF%E7%94%A8%20vscode%20+%20mingw%20%E5%AE%8C%E6%88%90%E7%AE%80%E5%8D%95%20c%20%E6%88%96%20cpp%20%E4%BB%A3%E7%A0%81%E7%9A%84%E8%BF%90%E8%A1%8C%E4%B8%8E%E8%B0%83%E8%AF%95/)），MacOS 自带 Clang 无需安装。 +1. Windows 系统需要安装 [MinGW](https://sourceforge.net/projects/mingw-w64/files/)（[配置教程](https://blog.csdn.net/qq_33698226/article/details/129031241)），MacOS 自带 Clang 无需安装。 2. 在 VSCode 的插件市场中搜索 `c++` ，安装 C/C++ Extension Pack 。 ## 0.3.4. Python 环境 diff --git a/chapter_tree/binary_tree_traversal.md b/chapter_tree/binary_tree_traversal.md index b850804e9..9f02f6918 100755 --- a/chapter_tree/binary_tree_traversal.md +++ b/chapter_tree/binary_tree_traversal.md @@ -4,11 +4,13 @@ comments: true # 7.2. 二叉树遍历 -非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。 +从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。 + +常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。 ## 7.2.1. 层序遍历 -「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。 +「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。 层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。 @@ -16,13 +18,15 @@ comments: true

Fig. 二叉树的层序遍历

+### 算法实现 + 广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。 === "Java" ```java title="binary_tree_bfs.java" /* 层序遍历 */ - List hierOrder(TreeNode root) { + List levelOrder(TreeNode root) { // 初始化队列，加入根结点 Queue queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }}; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 @@ -43,7 +47,7 @@ comments: true ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp" /* 层序遍历 */ - vector hierOrder(TreeNode* root) { + vector levelOrder(TreeNode* root) { // 初始化队列，加入根结点 queue queue; queue.push(root); @@ -66,7 +70,7 @@ comments: true ```python title="binary_tree_bfs.py" """ 层序遍历 """ - def hier_order(root: Optional[TreeNode]): + def level_order(root: Optional[TreeNode]): # 初始化队列，加入根结点 queue = collections.deque() queue.append(root) @@ -86,7 +90,7 @@ comments: true ```go title="binary_tree_bfs.go" /* 层序遍历 */ - func hierOrder(root *TreeNode) []int { + func levelOrder(root *TreeNode) []int { // 初始化队列，加入根结点 queue := list.New() queue.PushBack(root) @@ -114,7 +118,7 @@ comments: true ```javascript title="binary_tree_bfs.js" /* 层序遍历 */ - function hierOrder(root) { + function levelOrder(root) { // 初始化队列，加入根结点 let queue = [root]; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 @@ -136,7 +140,7 @@ comments: true ```typescript title="binary_tree_bfs.ts" /* 层序遍历 */ - function hierOrder(root: TreeNode | null): number[] { + function levelOrder(root: TreeNode | null): number[] { // 初始化队列，加入根结点 const queue = [root]; // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 @@ -158,14 +162,14 @@ comments: true === "C" ```c title="binary_tree_bfs.c" - [class]{}-[func]{hierOrder} + [class]{}-[func]{levelOrder} ``` === "C#" ```csharp title="binary_tree_bfs.cs" /* 层序遍历 */ - List hierOrder(TreeNode root) + List levelOrder(TreeNode root) { // 初始化队列，加入根结点 Queue queue = new(); @@ -189,7 +193,7 @@ comments: true ```swift title="binary_tree_bfs.swift" /* 层序遍历 */ - func hierOrder(root: TreeNode) -> [Int] { + func levelOrder(root: TreeNode) -> [Int] { // 初始化队列，加入根结点 var queue: [TreeNode] = [root] // 初始化一个列表，用于保存遍历序列 @@ -212,7 +216,7 @@ comments: true ```zig title="binary_tree_bfs.zig" // 层序遍历 - fn hierOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) { + fn levelOrder(comptime T: type, mem_allocator: std.mem.Allocator, root: *inc.TreeNode(T)) !std.ArrayList(T) { // 初始化队列，加入根结点 const L = std.TailQueue(*inc.TreeNode(T)); var queue = L{}; @@ -240,6 +244,12 @@ comments: true } ``` +### 复杂度分析 + +**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。 + +**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。 + ## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历 相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。 @@ -260,6 +270,8 @@ comments: true +### 算法实现 + === "Java" ```java title="binary_tree_dfs.java" @@ -573,3 +585,9 @@ comments: true !!! note 使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。 + +### 复杂度分析 + +**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。 + +**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。