Merge pull request #68 from mgisr/master

Create 'avl_tree' and modify 'TreeNode.hpp' to support 'avl_tree'

codes/cpp/chapter_tree/avl_tree.cpp

@@ -0,0 +1,228 @@
+/*
+ * File: avl_tree.cpp
+ * Created Time: 2022-12-2
+ * Author: mgisr (maguagua0706@gmail.com)
+ */
+
+#include "../include/include.hpp"
+
+class AvlTree {
+private:
+    TreeNode *root{};
+    static bool isBalance(const TreeNode *p);
+    static int getBalanceFactor(const TreeNode *p);
+    static void updateHeight(TreeNode *p);
+    void fixBalance(TreeNode *p);
+    static bool isLeftChild(const TreeNode *p);
+    static TreeNode *&fromParentTo(TreeNode *node);
+public:
+    AvlTree() = default;
+    AvlTree(const AvlTree &p) = default;
+    const TreeNode *search(int val);
+    bool insert(int val);
+    bool remove(int val);
+    void printTree();
+};
+
+// 判断该结点是否平衡
+bool AvlTree::isBalance(const TreeNode *p) {
+    int balance_factor = getBalanceFactor(p);
+    if (-1 <= balance_factor && balance_factor <= 1) { return true; }
+    else { return false; }
+}
+
+// 获取当前结点的平衡因子
+int AvlTree::getBalanceFactor(const TreeNode *p) {
+    if (p->left == nullptr && p->right == nullptr) { return 0; }
+    else if (p->left == nullptr) { return (-1 - p->right->height); }
+    else if (p->right == nullptr) { return p->left->height + 1; }
+    else { return p->left->height - p->right->height; }
+}
+
+// 更新结点高度
+void AvlTree::updateHeight(TreeNode *p) {
+    if (p->left == nullptr && p->right == nullptr) { p->height = 0; }
+    else if (p->left == nullptr) { p->height = p->right->height + 1; }
+    else if (p->right == nullptr) { p->height = p->left->height + 1; }
+    else { p->height = std::max(p->left->height, p->right->height) + 1; }
+}
+
+void AvlTree::fixBalance(TreeNode *p) {
+    // 左旋操作
+    auto rotate_left = [&](TreeNode *node) -> TreeNode * {
+        TreeNode *temp = node->right;
+        temp->parent = p->parent;
+        node->right = temp->left;
+        if (temp->left != nullptr) {
+            temp->left->parent = node;
+        }
+        temp->left = node;
+        node->parent = temp;
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(temp);
+        return temp;
+    };
+    // 右旋操作
+    auto rotate_right = [&](TreeNode *node) -> TreeNode * {
+        TreeNode *temp = node->left;
+        temp->parent = p->parent;
+        node->left = temp->right;
+        if (temp->right != nullptr) {
+            temp->right->parent = node;
+        }
+        temp->right = node;
+        node->parent = temp;
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(temp);
+        return temp;
+    };
+    // 根据规则选取旋转方式
+    if (getBalanceFactor(p) > 1) {
+        if (getBalanceFactor(p->left) > 0) {
+            if (p->parent == nullptr) { root = rotate_right(p); }
+            else { fromParentTo(p) = rotate_right(p); }
+        } else {
+            p->left = rotate_left(p->left);
+            if (p->parent == nullptr) { root = rotate_right(p); }
+            else { fromParentTo(p) = rotate_right(p); }
+        }
+    } else {
+        if (getBalanceFactor(p->right) < 0) {
+            if (p->parent == nullptr) { root = rotate_left(p); }
+            else { fromParentTo(p) = rotate_left(p); }
+        } else {
+            p->right = rotate_right(p->right);
+            if (p->parent == nullptr) { root = rotate_left(p); }
+            else { fromParentTo(p) = rotate_left(p); }
+        }
+    }
+}
+
+// 判断当前结点是否为其父节点的左孩子
+bool AvlTree::isLeftChild(const TreeNode *p) {
+    if (p->parent == nullptr) { return false; }
+    return (p->parent->left == p);
+}
+
+// 返回父节点指向当前结点指针的引用
+TreeNode *&AvlTree::fromParentTo(TreeNode *node) {
+    if (isLeftChild(node)) { return node->parent->left; }
+    else { return node->parent->right; }
+}
+
+const TreeNode *AvlTree::search(int val) {
+    TreeNode *p = root;
+    while (p != nullptr) {
+        if (p->val == val) { return p; }
+        else if (p->val > val) { p = p->left; }
+        else { p = p->right; }
+    }
+    return nullptr;
+}
+
+bool AvlTree::insert(int val) {
+    TreeNode *p = root;
+    if (p == nullptr) {
+        root = new TreeNode(val);
+        return true;
+    }
+    for (;;) {
+        if (p->val == val) { return false; }
+        else if (p->val > val) {
+            if (p->left == nullptr) {
+                p->left = new TreeNode(val, p);
+                break;
+            } else {
+                p = p->left;
+            }
+        } else {
+            if (p->right == nullptr) {
+                p->right = new TreeNode(val, p);
+                break;
+            } else {
+                p = p->right;
+            }
+        }
+    }
+    for (; p != nullptr; p = p->parent) {
+        if (!isBalance(p)) {
+            fixBalance(p);
+            break;
+        } else { updateHeight(p); }
+    }
+    return true;
+}
+
+bool AvlTree::remove(int val) {
+    TreeNode *p = root;
+    if (p == nullptr) { return false; }
+    while (p != nullptr) {
+        if (p->val == val) {
+            TreeNode *real_delete_node = p;
+            TreeNode *next_node;
+            if (p->left == nullptr) {
+                next_node = p->right;
+                if (p->parent == nullptr) { root = next_node; }
+                else { fromParentTo(p) = next_node; }
+            } else if (p->right == nullptr) {
+                next_node = p->left;
+                if (p->parent == nullptr) { root = next_node; }
+                else { fromParentTo(p) = next_node; }
+            } else {
+                while (real_delete_node->left != nullptr) {
+                    real_delete_node = real_delete_node->left;
+                }
+                std::swap(p->val, real_delete_node->val);
+                next_node = real_delete_node->right;
+                if (real_delete_node->parent == p) { p->right = next_node; }
+                else { real_delete_node->parent->left = next_node; }
+            }
+            if (next_node != nullptr) {
+                next_node->parent = real_delete_node->parent;
+            }
+            for (p = real_delete_node; p != nullptr; p = p->parent) {
+                if (!isBalance(p)) { fixBalance(p); }
+                updateHeight(p);
+            }
+            delete real_delete_node;
+            return true;
+        } else if (p->val > val) {
+            p = p->left;
+        } else {
+            p = p->right;
+        }
+    }
+    return false;
+}
+
+void inOrder(const TreeNode *root) {
+    if (root == nullptr) return;
+    inOrder(root->left);
+    cout << root->val << ' ';
+    inOrder(root->right);
+}
+
+void AvlTree::printTree() {
+    inOrder(root);
+    cout << endl;
+}
+
+int main() {
+    AvlTree tree = AvlTree();
+    // tree.insert(13);
+    // tree.insert(24);
+    // tree.insert(37);
+    // tree.insert(90);
+    // tree.insert(53);
+
+    tree.insert(53);
+    tree.insert(90);
+    tree.insert(37);
+    tree.insert(24);
+    tree.insert(13);
+    tree.remove(90);
+    tree.printTree();
+    const TreeNode *p = tree.search(37);
+    cout << p->val;
+    return 0;
+}

codes/cpp/include/TreeNode.hpp

@@ -11,10 +11,13 @@
  * 
  */
 struct TreeNode {
-    int val;
+    int val{};
-    TreeNode *left;
+    int height = 0;
-    TreeNode *right;
+    TreeNode *parent{};
-    TreeNode(int x) : val(x), left(nullptr), right(nullptr) {}
+    TreeNode *left{};
+    TreeNode *right{};
+    TreeNode() = default;
+    explicit TreeNode(int x, TreeNode *parent = nullptr) : val(x), parent(parent) {}
 };
 
 /**

docs/chapter_tree/avl_tree.md

@@ -0,0 +1,636 @@
+# AVL 树
+
+在「二叉搜索树」章节中提到，在进行多次插入与删除操作后，二叉搜索树可能会退化为链表。此时所有操作的时间复杂度都会由 $O(\log n)$ 劣化至 $O(n)$ 。
+
+如下图所示，执行两步删除结点后，该二叉搜索树就会退化为链表。
+
+![degradation_from_removing_node](avl_tree.assets/degradation_from_removing_node.png)
+
+再比如，在以下完美二叉树中插入两个结点后，树严重向左偏斜，查找操作的时间复杂度也随之发生劣化。
+
+![degradation_from_inserting_node](avl_tree.assets/degradation_from_inserting_node.png)
+
+G. M. Adelson-Velsky 和 E. M. Landis 在其 1962 年发表的论文 "An algorithm for the organization of information" 中提出了「AVL 树」。**论文中描述了一系列操作，使得在不断添加与删除结点后，AVL 树仍然不会发生退化**，进而使得各种操作的时间复杂度均能保持在 $O(\log n)$ 级别。
+
+换言之，在频繁增删查改的使用场景中，AVL 树可始终保持很高的数据增删查改效率，具有很好的应用价值。
+
+## AVL 树常见术语
+
+「AVL 树」既是「二叉搜索树」又是「平衡二叉树」，同时满足这两种二叉树的所有性质，因此又被称为「平衡二叉搜索树」。
+
+### 结点高度
+
+在 AVL 树的操作中，需要获取结点「高度 Height」，所以给 AVL 树的结点类添加 `height` 变量。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* AVL 树结点类 */
+    class TreeNode {
+        public int val;         // 结点值
+        public int height;      // 结点高度
+        public TreeNode left;   // 左子结点
+        public TreeNode right;  // 右子结点
+        public TreeNode(int x) { val = x; }
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+「结点高度」是最远叶结点到该结点的距离，即走过的「边」的数量。需要特别注意，**叶结点的高度为 0 ，空结点的高度为 -1** 。我们封装两个工具函数，分别用于获取与更新结点的高度。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 获取结点高度 */ 
+    int height(TreeNode node) {
+        // 空结点高度为 -1 ，叶结点高度为 0
+        return node == null ? -1 : node.height;
+    }
+    
+    /* 更新结点高度 */
+    void updateHeight(TreeNode node) {
+        // 结点高度等于最高子树高度 + 1
+        node.height = Math.max(height(node.left), height(node.right)) + 1;  
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+### 结点平衡因子
+
+结点的「平衡因子 Balance Factor」是 **结点的左子树高度减去右子树高度**，并定义空结点的平衡因子为 0 。同样地，我们将获取结点平衡因子封装成函数，以便后续使用。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 获取结点平衡因子 */ 
+    public int balanceFactor(TreeNode node) {
+        // 空结点平衡因子为 0
+        if (node == null) return 0;
+        // 结点平衡因子 = 左子树高度 - 右子树高度
+        return height(node.left) - height(node.right);
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+!!! note
+
+    设平衡因子为 $f$ ，则一棵 AVL 树的任意结点的平衡因子皆满足 $-1 \le f \le 1$ 。
+
+## AVL 树旋转
+
+AVL 树的独特之处在于「旋转 Rotation」的操作，其可 **在不影响二叉树中序遍历序列的前提下，使失衡结点重新恢复平衡。** 换言之，旋转操作既可以使树保持为「二叉搜索树」，也可以使树重新恢复为「平衡二叉树」。
+
+我们将平衡因子的绝对值 $> 1$ 的结点称为「失衡结点」。根据结点的失衡情况，旋转操作分为 **右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋**，接下来我们来一起来看看它们是如何操作的。
+
+### Case 1 - 右旋
+
+如下图所示（结点下方为「平衡因子」），从底至顶看，二叉树中首个失衡结点是 **结点 2** 。我们聚焦在以结点 2 为根结点的子树上，将该结点记为 `node` ，将其左子节点记为 `child` ，执行「右旋」操作。完成右旋后，该子树已经恢复平衡，并且仍然为二叉搜索树。
+
+=== "Step 1"
+    ![right_rotate_step1](avl_tree.assets/right_rotate_step1.png)
+=== "Step 2"
+    ![right_rotate_step2](avl_tree.assets/right_rotate_step2.png)
+=== "Step 3"
+    ![right_rotate_step3](avl_tree.assets/right_rotate_step3.png)
+=== "Step 4"
+    ![right_rotate_step4](avl_tree.assets/right_rotate_step4.png)
+
+进而，如果结点 `child` 本身有右子结点（记为 `grandChild`），则需要在「右旋」中添加一步：将 `grandChild` 作为 `node` 的左子结点。
+
+![right_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/right_rotate_with_grandchild.png)
+
+“向右旋转” 是一种形象化的说法，实际需要通过修改结点指针实现，代码如下所示。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 右旋操作 */ 
+    TreeNode rightRotate(TreeNode node) {
+        TreeNode child = node.left;
+        TreeNode grandChild = child.right;
+        // 以 child 为原点，将 node 向右旋转
+        child.right = node;
+        node.left = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后的根节点
+        return child;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+### Case 2 - 左旋
+
+类似地，如果将取上述失衡二叉树的 “镜像” ，那么则需要「左旋」操作。观察发现，**「左旋」和「右旋」操作是镜像对称的，两者对应解决的两种失衡情况也是对称的**，这说明两种旋转操作本质上是一样的。
+
+![left_rotate_with_grandchild](avl_tree.assets/left_rotate_with_grandchild.png)
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 左旋操作 */ 
+    private TreeNode leftRotate(TreeNode node) {
+        TreeNode child = node.right;
+        TreeNode grandChild = child.left;
+        // 以 child 为原点，将 node 向左旋转
+        child.left = node;
+        node.right = grandChild;
+        // 更新结点高度
+        updateHeight(node);
+        updateHeight(child);
+        // 返回旋转后的根节点
+        return child;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+### Case 3 - 先左后右
+
+对于下图的失衡结点 3 ，**单一使用左旋或右旋都无法使子树恢复平衡**，此时需要「先左旋后右旋」，即先对 `child` 执行「左旋」，再对 `node` 执行「右旋」。
+
+![left_right_rotate](avl_tree.assets/left_right_rotate.png)
+
+### Case 4 - 先右后左
+
+同理，取以上失衡二叉树的镜像，则需要「先右旋后左旋」，即先对 `child` 执行「右旋」，然后对 `node` 执行「左旋」。
+
+![right_left_rotate](avl_tree.assets/right_left_rotate.png)
+
+### 旋转的选择
+
+下图总结了以上四种失衡情况，分别采用右旋、左旋、先右后左、先左后右的旋转组合。
+
+![rotation_cases](avl_tree.assets/rotation_cases.png)
+
+具体地，需要使用 **失衡结点的平衡因子、较高一侧子结点的平衡因子** 来确定失衡结点属于上图中的哪种情况。
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 失衡结点的平衡因子 | 子结点的平衡因子 | 应采用的旋转方法 |
+| ------------------ | ---------------- | ---------------- |
+| $>0$ （即左偏树）  | $\geq 0$         | 右旋             |
+| $>0$ （即左偏树）  | $<0$             | 先左旋后右旋     |
+| $<0$ （即右偏树）  | $\leq 0$         | 左旋             |
+| $<0$ （即右偏树）  | $>0$             | 先右旋后左旋     |
+
+</div>
+
+下面，将旋转操作封装成一个函数。至此，**我们可以通过此函数来处理所有类型的失衡结点，使之恢复平衡**。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+    TreeNode rotate(TreeNode node) {
+        // 获取结点 node 的平衡因子
+        int balanceFactor = balanceFactor(node);
+        // 左偏树
+        if (balanceFactor > 1) {
+            if (balanceFactor(node.left) >= 0) {
+                // 右旋
+                return rightRotate(node);
+            } else {
+                // 先左旋后右旋
+                node.left = leftRotate(node.left);
+                return rightRotate(node);
+            }
+        }
+        // 右偏树
+        if (balanceFactor < -1) {
+            if (balanceFactor(node.right) <= 0) {
+                // 左旋
+                return leftRotate(node);
+            } else {
+                // 先右旋后左旋
+                node.right = rightRotate(node.right);
+                return leftRotate(node);
+            }
+        }
+        // 平衡树，无需旋转，直接返回
+        return node;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+## AVL 树常用操作
+
+### 插入结点
+
+「AVL 树」的结点插入操作与「二叉搜索树」主体类似。不同的是，在插入结点后，从该结点到根结点的路径上会出现「失衡结点」。所以，**我们需要从该结点开始，从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 插入结点 */
+    TreeNode insert(int val) {
+        root = insertHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+    
+    /* 递归插入结点（辅助函数） */
+    TreeNode insertHelper(TreeNode node, int val) {
+        if (node == null) return new TreeNode(val);
+        /* 1. 查找插入位置，并插入结点 */
+        if (val < node.val)
+            node.left = insertHelper(node.left, val);
+        else if (val > node.val)
+            node.right = insertHelper(node.right, val);
+        else
+            return node;     // 重复结点不插入，直接返回
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+### 删除结点
+
+「AVL 树」删除结点操作与「二叉搜索树」删除结点操作总体相同。类似地，**在删除结点后，也需要从底至顶地执行旋转操作，使所有失衡结点恢复平衡**。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="avl_tree.java"
+    /* 删除结点 */
+    TreeNode remove(int val) {
+        root = removeHelper(root, val);
+        return root;
+    }
+    
+    /* 递归删除结点（辅助函数） */
+    TreeNode removeHelper(TreeNode node, int val) {
+        if (node == null) return null;
+        /* 1. 查找结点，并删除之 */
+        if (val < node.val)
+            node.left = removeHelper(node.left, val);
+        else if (val > node.val)
+            node.right = removeHelper(node.right, val);
+        else {
+            if (node.left == null || node.right == null) {
+                TreeNode child = node.left != null ? node.left : node.right;
+                // 子结点数量 = 0 ，直接删除 node 并返回
+                if (child == null)
+                    return null;
+                // 子结点数量 = 1 ，直接删除 node
+                else
+                    node = child;
+            } else {
+                // 子结点数量 = 2 ，则将中序遍历的下个结点删除，并用该结点替换当前结点
+                TreeNode temp = minNode(node.right);
+                node.right = removeHelper(node.right, temp.val);
+                node.val = temp.val;
+            }
+        }
+        updateHeight(node);  // 更新结点高度
+        /* 2. 执行旋转操作，使该子树重新恢复平衡 */
+        node = rotate(node);
+        // 返回子树的根节点
+        return node;
+    }
+    
+    /* 获取最小结点 */
+    TreeNode minNode(TreeNode node) {
+        if (node == null) return node;
+        // 循环访问左子结点，直到叶结点时为最小结点，跳出
+        while (node.left != null) {
+            node = node.left;
+        }
+        return node;
+    }
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="avl_tree.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="avl_tree.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="avl_tree.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```js title="avl_tree.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="avl_tree.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="avl_tree.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="avl_tree.cs"
+
+    ```
+
+### 查找结点
+
+「AVL 树」的结点查找操作与「二叉搜索树」一致，在此不再赘述。

mkdocs.yml

@@ -154,6 +154,7 @@ nav:
     - 二叉树（Binary Tree）: chapter_tree/binary_tree.md
     - 二叉树常见类型: chapter_tree/binary_tree_types.md
     - 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
+    - AVL 树: chapter_tree/avl_tree.md
     - 小结: chapter_tree/summary.md
   - 查找算法:
     - 线性查找: chapter_searching/linear_search.md