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@ -9,15 +9,13 @@ comments: true
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- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值；
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- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值；
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由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
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对于大顶堆（小顶堆），其根结点的值最大（最小）。根结点被称为「堆顶」。
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## 堆术语与性质
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（图）
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!!! tip
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大顶堆和小顶堆的定义、性质、操作本质上是相同的，区别只是大、小顶堆分别在求最大、最小值。若无特别说明，本文将使用大顶堆来举例。
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- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
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- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
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- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。
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## 堆常用操作
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@ -43,6 +41,10 @@ comments: true
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我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
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!!! tip
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类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
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=== "Java"
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```java title="heap.java"
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@ -60,10 +62,15 @@ comments: true
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maxHeap.add(4);
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/* 获取堆顶元素 */
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int peek = maxHeap.peek();
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int peek = maxHeap.peek(); // 5
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/* 堆顶元素出堆 */
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int val = heap.poll();
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// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
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peek = heap.poll(); // 5
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peek = heap.poll(); // 4
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peek = heap.poll(); // 3
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peek = heap.poll(); // 2
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peek = heap.poll(); // 1
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/* 获取堆大小 */
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int size = maxHeap.size();
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@ -77,19 +84,19 @@ comments: true
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## 堆的实现
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!!! tip
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下文使用「大顶堆」来举例，将所有 $>$ ($<$) 替换为 $<$ ($>$) 即可实现「小顶堆」。
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下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）即可，有兴趣的同学可自行实现。
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### 堆的存储与表示
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在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，因而我们一般使用「数组」来存储「堆」。
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在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
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**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**而结点指针通过索引映射公式来实现**。
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具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。我们将以上映射公式封装成函数，以便后续使用。
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具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
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（图）
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我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。
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=== "Java"
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@ -133,13 +140,29 @@ comments: true
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### 元素入堆
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给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆的末尾。由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
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给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
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考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
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设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
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=== "Step 1"
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=== "Step 2"
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=== "Step 3"
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=== "Step 4"
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=== "Step 5"
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（图）
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=== "Step 6"
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设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
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=== "Java"
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@ -172,13 +195,43 @@ comments: true
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堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
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1. 交换列表首元素与尾元素（即交换根结点与最右叶结点）；
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2. 交换完成后，将尾元素从列表中删除（此时堆顶元素已被删除）；
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3. 从根结点开始，从顶至底堆化；
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1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
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2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
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3. 从根结点开始，**从顶至底执行堆化**；
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顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
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（图）
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=== "Step 1"
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=== "Step 2"
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=== "Step 3"
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=== "Step 4"
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=== "Step 5"
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=== "Step 6"
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=== "Step 7"
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=== "Step 8"
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=== "Step 9"
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=== "Step 10"
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与元素入堆操作类似，**堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
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=== "Java"
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@ -237,48 +290,47 @@ comments: true
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```
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!!! tip
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完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。
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那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。
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那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ，而二叉树高度为 $O(\log n)$ ，因此可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
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- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
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- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
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然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的特点。下面我们来换种方法推导。
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将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
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设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。如下图所示，我们将各层的“结点数量 $\times$ 子树高度”进行求和，即可得到准确的操作数量。
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下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
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$$
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S = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
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$$
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（图）
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求解上式需要借助中学的数列知识，先对 $S$ 乘以 $2$ ，可得
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化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
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$$
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\begin{aligned}
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S & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2S & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
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2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
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\end{aligned}
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$$
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令下式 $2S$ 与上式 $S$ 错位相减，易得
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**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
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$$
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2S - S = S = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
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$$
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观察发现，$S$ 是一个等比数列，可直接借助公式求和。并且，对于高度为 $h$ 的完全二叉树，结点数量范围为 $n \in [2^h, 2^{h+1} - 1]$ ，复杂度为 $n = O(n) = O(2^h)$。
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观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
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$$
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\begin{aligned}
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S & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
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& = 2^{h+1} - h \newline
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& = O(2^h) = O(n)
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& = O(2^h)
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\end{aligned}
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$$
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以上推算表明，输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效。
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进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
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## 堆常见应用
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Yudong Jin
2 years ago
