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@ -5,6 +5,7 @@
*/
package chapter_hashing;
import java.util.*;
/* 键值对 int->String */

@ -5,6 +5,7 @@
*/
package chapter_hashing;
import java.util.*;
import include.*;

@ -0,0 +1,67 @@
/**
* File: my_heap.java
* Created Time: 2023-01-07
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_heap;
import include.*;
import java.util.*;
public class heap {
public static void testPush(Queue<Integer> heap, int val) {
heap.add(val); // 元素入堆
System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val);
PrintUtil.printHeap(heap);
}
public static void testPoll(Queue<Integer> heap) {
int val = heap.poll(); // 堆顶元素出堆
System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", val);
PrintUtil.printHeap(heap);
}
public static void main(String[] args) {
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
System.out.println("\n以下测试样例为大顶堆");
/* 元素入堆 */
testPush(maxHeap, 1);
testPush(maxHeap, 3);
testPush(maxHeap, 2);
testPush(maxHeap, 5);
testPush(maxHeap, 4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek();
System.out.format("\n堆顶元素为 %d\n", peek);
/* 堆顶元素出堆 */
testPoll(maxHeap);
testPoll(maxHeap);
testPoll(maxHeap);
testPoll(maxHeap);
testPoll(maxHeap);
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
System.out.format("\n堆元素数量为 %d\n", size);
/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
System.out.format("\n堆是否为空 %b\n", isEmpty);
/* 输入列表并建堆 */
// 时间复杂度为 O(n) ,而非 O(nlogn)
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
System.out.println("\n输入列表并建立小顶堆后");
PrintUtil.printHeap(minHeap);
}
}

@ -0,0 +1,177 @@
/**
* File: my_heap.java
* Created Time: 2023-01-07
* Author: Krahets (krahets@163.com)
*/
package chapter_heap;
import include.*;
import java.util.*;
class MaxHeap {
// 使用列表而非数组,这样无需考虑扩容问题
private List<Integer> maxHeap;
/* 构造函数,建立空堆 */
public MaxHeap() {
maxHeap = new ArrayList<>();
}
/* 构造函数,根据输入列表建堆 */
public MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 所有元素入堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
/* 获取左子结点索引 */
private int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
private int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
private int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
/* 交换元素 */
private void swap(int i, int j) {
int a = maxHeap.get(i),
b = maxHeap.get(j),
tmp = a;
maxHeap.set(i, b);
maxHeap.set(j, tmp);
}
/* 获取堆大小 */
public int size() {
return maxHeap.size();
}
/* 判断堆是否为空 */
public boolean isEmpty() {
return size() == 0;
}
/* 访问堆顶元素 */
public int peek() {
return maxHeap.get(0);
}
/* 元素入堆 */
public void push(int val) {
// 添加结点
maxHeap.add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始,从底至顶堆化 */
private void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
int p = parent(i);
// 当“越过根结点”或“结点无需修复”时,结束堆化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交换两结点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
/* 元素出堆 */
public int poll() {
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new EmptyStackException();
// 交换根结点与最右叶结点(即交换首元素与尾元素)
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
// 返回堆顶元素
return val;
}
/* 从结点 i 开始,从顶至底堆化 */
private void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点,记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若结点 i 最大或索引 l, r 越界,则无需继续堆化,跳出
if (ma == i) break;
// 交换两结点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
/* 打印堆(二叉树) */
public void print() {
Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
queue.addAll(maxHeap);
PrintUtil.printHeap(queue);
}
}
public class my_heap {
public static void testPush(MaxHeap maxHeap, int val) {
maxHeap.push(val); // 元素入堆
System.out.format("\n添加元素 %d 后\n", val);
maxHeap.print();
}
public static void testPoll(MaxHeap maxHeap) {
int val = maxHeap.poll(); // 堆顶元素出堆
System.out.format("\n出堆元素为 %d\n", val);
maxHeap.print();
}
public static void main(String[] args) {
/* 初始化大顶堆 */
MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(Arrays.asList(9, 8, 6, 6, 7, 5, 2, 1, 4, 3, 6, 2));
System.out.println("\n输入列表并建堆后");
maxHeap.print();
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek();
System.out.format("\n堆顶元素为 %d\n", peek);
/* 元素入堆 */
int val = 7;
maxHeap.push(val);
System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val);
maxHeap.print();
/* 堆顶元素出堆 */
peek = maxHeap.poll();
System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", peek);
maxHeap.print();
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
System.out.format("\n堆元素数量为 %d\n", size);
/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
System.out.format("\n堆是否为空 %b\n", isEmpty);
}
}

@ -30,7 +30,7 @@ public class binary_tree_bfs {
public static void main(String[] args) {
/* 初始化二叉树 */
// 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
TreeNode root = TreeNode.arrToTree(new Integer[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 });
TreeNode root = TreeNode.listToTree(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7));
System.out.println("\n初始化二叉树\n");
PrintUtil.printTree(root);

@ -43,7 +43,7 @@ public class binary_tree_dfs {
public static void main(String[] args) {
/* 初始化二叉树 */
// 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
TreeNode root = TreeNode.arrToTree(new Integer[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 });
TreeNode root = TreeNode.listToTree(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7));
System.out.println("\n初始化二叉树\n");
PrintUtil.printTree(root);

@ -105,10 +105,16 @@ public class PrintUtil {
}
}
public static void printHeap(PriorityQueue<Integer> queue) {
Integer[] nums = (Integer[])queue.toArray();
TreeNode root = TreeNode.arrToTree(nums);
/**
* Print a heap (PriorityQueue)
* @param queue
*/
public static void printHeap(Queue<Integer> queue) {
List<Integer> list = new ArrayList<>(queue);
System.out.print("堆的数组表示:");
System.out.println(list);
System.out.println("堆的树状表示:");
TreeNode root = TreeNode.listToTree(list);
printTree(root);
}
}

@ -23,26 +23,27 @@ public class TreeNode {
/**
* Generate a binary tree given an array
* @param arr
* @param list
* @return
*/
public static TreeNode arrToTree(Integer[] arr) {
if (arr.length == 0)
public static TreeNode listToTree(List<Integer> list) {
int size = list.size();
if (size == 0)
return null;
TreeNode root = new TreeNode(arr[0]);
TreeNode root = new TreeNode(list.get(0));
Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
int i = 0;
while(!queue.isEmpty()) {
TreeNode node = queue.poll();
if (++i >= arr.length) break;
if(arr[i] != null) {
node.left = new TreeNode(arr[i]);
if (++i >= size) break;
if (list.get(i) != null) {
node.left = new TreeNode(list.get(i));
queue.add(node.left);
}
if (++i >= arr.length) break;
if(arr[i] != null) {
node.right = new TreeNode(arr[i]);
if (++i >= size) break;
if (list.get(i) != null) {
node.right = new TreeNode(list.get(i));
queue.add(node.right);
}
}

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@ -0,0 +1,339 @@
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comments: true
---
# 堆
「堆 Heap」是一颗限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件堆主要分为两种类型
- 「大顶堆 Max Heap」任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值;
- 「小顶堆 Min Heap」任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值;
![min_heap_and_max_heap](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png)
## 堆术语与性质
- 由于堆是完全二叉树,因此最底层结点靠左填充,其它层结点皆被填满。
- 二叉树中的根结点对应「堆顶」,底层最靠右结点对应「堆底」。
- 对于大顶堆 / 小顶堆,其堆顶元素(即根结点)的值最大 / 最小。
## 堆常用操作
值得说明的是,多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」其是一种抽象数据结构**定义为具有出队优先级的队列**。
而恰好,**堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合**,大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看,我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此,本文与代码对两者不做特别区分,统一使用「堆」来命名。
堆的常用操作见下表(方法命名以 Java 为例)。
<p align="center"> Table. 堆的常用操作 </p>
<div class="center-table" markdown>
| 方法 | 描述 | 时间复杂度 |
| --------- | -------------------------------------------- | ----------- |
| add() | 元素入堆 | $O(\log n)$ |
| poll() | 堆顶元素出堆 | $O(\log n)$ |
| peek() | 访问堆顶元素(大 / 小顶堆分别为最大 / 小值) | $O(1)$ |
| size() | 获取堆的元素数量 | $O(1)$ |
| isEmpty() | 判断堆是否为空 | $O(1)$ |
</div>
我们可以直接使用编程语言提供的堆类(或优先队列类)。
!!! tip
类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”,“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
=== "Java"
```java title="heap.java"
/* 初始化堆 */
// 初始化小顶堆
Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
// 初始化大顶堆(使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可)
Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
/* 元素入堆 */
maxHeap.add(1);
maxHeap.add(3);
maxHeap.add(2);
maxHeap.add(5);
maxHeap.add(4);
/* 获取堆顶元素 */
int peek = maxHeap.peek(); // 5
/* 堆顶元素出堆 */
// 出堆元素会形成一个从大到小的序列
peek = heap.poll(); // 5
peek = heap.poll(); // 4
peek = heap.poll(); // 3
peek = heap.poll(); // 2
peek = heap.poll(); // 1
/* 获取堆大小 */
int size = maxHeap.size();
/* 判断堆是否为空 */
boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
/* 输入列表并建堆 */
minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
```
## 堆的实现
下文实现的是「大顶堆」,若想转换为「小顶堆」,将所有大小逻辑判断取逆(例如将 $\geq$ 替换为 $\leq$ )即可,有兴趣的同学可自行实现。
### 堆的存储与表示
在二叉树章节我们学过,「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示,而堆恰好是一颗完全二叉树,**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时,元素代表结点值,索引代表结点在二叉树中的位置,**而结点指针通过索引映射公式来实现**。
具体地,给定索引 $i$ ,那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ (向下整除)。当索引越界时,代表空结点或结点不存在。
![representation_of_heap](heap.assets/representation_of_heap.png)
我们将索引映射公式封装成函数,以便后续使用。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
// 使用列表而非数组,这样无需考虑扩容问题
List<Integer> maxHeap;
/* 构造函数,建立空堆 */
public MaxHeap() {
maxHeap = new ArrayList<>();
}
/* 获取左子结点索引 */
int left(int i) {
return 2 * i + 1;
}
/* 获取右子结点索引 */
int right(int i) {
return 2 * i + 2;
}
/* 获取父结点索引 */
int parent(int i) {
return (i - 1) / 2; // 向下整除
}
```
### 访问堆顶元素
堆顶元素是二叉树的根结点,即列表首元素。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 访问堆顶元素 */
public int peek() {
return maxHeap.get(0);
}
```
### 元素入堆
给定元素 `val` ,我们先将其添加到堆底。添加后,由于 `val` 可能大于堆中其它元素,此时堆的成立条件可能已经被破坏,**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**,该操作被称为「堆化 Heapify」。
考虑从入堆结点开始,**从底至顶执行堆化**。具体地,比较插入结点与其父结点的值,若插入结点更大则将它们交换;并循环以上操作,从底至顶地修复堆中的各个结点;直至越过根结点时结束,或当遇到无需交换的结点时提前结束。
=== "Step 1"
![heap_push_step1](heap.assets/heap_push_step1.png)
=== "Step 2"
![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png)
=== "Step 3"
![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png)
=== "Step 4"
![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png)
=== "Step 5"
![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png)
=== "Step 6"
![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
设结点总数为 $n$ ,则树的高度为 $O(\log n)$ ,易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ **因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 元素入堆 */
void push(int val) {
// 添加结点
maxHeap.add(val);
// 从底至顶堆化
siftUp(size() - 1);
}
/* 从结点 i 开始,从底至顶堆化 */
void siftUp(int i) {
while (true) {
// 获取结点 i 的父结点
int p = parent(i);
// 若“越过根结点”或“结点无需修复”,则结束堆化
if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
break;
// 交换两结点
swap(i, p);
// 循环向上堆化
i = p;
}
}
```
### 堆顶元素出堆
堆顶元素是二叉树根结点,即列表首元素,如果我们直接将首元素从列表中删除,则二叉树中所有结点都会随之发生移位(索引发生变化),这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动,采取以下操作步骤:
1. 交换堆顶元素与堆底元素(即交换根结点与最右叶结点);
2. 交换完成后,将堆底从列表中删除(注意,因为已经交换,实际上删除的是原来的堆顶元素);
3. 从根结点开始,**从顶至底执行堆化**
顾名思义,**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**,我们比较根结点的值与其两个子结点的值,将最大的子结点与根结点执行交换,并循环以上操作,直到越过叶结点时结束,或当遇到无需交换的结点时提前结束。
=== "Step 1"
![heap_poll_step1](heap.assets/heap_poll_step1.png)
=== "Step 2"
![heap_poll_step2](heap.assets/heap_poll_step2.png)
=== "Step 3"
![heap_poll_step3](heap.assets/heap_poll_step3.png)
=== "Step 4"
![heap_poll_step4](heap.assets/heap_poll_step4.png)
=== "Step 5"
![heap_poll_step5](heap.assets/heap_poll_step5.png)
=== "Step 6"
![heap_poll_step6](heap.assets/heap_poll_step6.png)
=== "Step 7"
![heap_poll_step7](heap.assets/heap_poll_step7.png)
=== "Step 8"
![heap_poll_step8](heap.assets/heap_poll_step8.png)
=== "Step 9"
![heap_poll_step9](heap.assets/heap_poll_step9.png)
=== "Step 10"
![heap_poll_step10](heap.assets/heap_poll_step10.png)
与元素入堆操作类似,**堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 元素出堆 */
int poll() {
// 判空处理
if (isEmpty())
throw new EmptyStackException();
// 交换根结点与最右叶结点(即交换首元素与尾元素)
swap(0, size() - 1);
// 删除结点
int val = maxHeap.remove(size() - 1);
// 从顶至底堆化
siftDown(0);
// 返回堆顶元素
return val;
}
/* 从结点 i 开始,从顶至底堆化 */
void siftDown(int i) {
while (true) {
// 判断结点 i, l, r 中值最大的结点,记为 ma
int l = left(i), r = right(i), ma = i;
if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
ma = l;
if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
ma = r;
// 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”,则结束堆化
if (ma == i) break;
// 交换两结点
swap(i, ma);
// 循环向下堆化
i = ma;
}
}
```
### 输入数据并建堆 *
如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆,那么该怎么做呢?最直接地,考虑使用「元素入堆」方法,将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 $O(n)$ ,而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ,因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
然而,存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 $n$ ,我们先将列表所有元素原封不动添加进堆,**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然,**无需对叶结点执行堆化**,因为其没有子结点。
=== "Java"
```java title="my_heap.java"
/* 构造函数,根据输入列表建堆 */
public MaxHeap(List<Integer> nums) {
// 将列表元素原封不动添加进堆
maxHeap = new ArrayList<>(nums);
// 堆化除叶结点以外的其他所有结点
for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
siftDown(i);
}
}
```
那么,第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢?我们来做一下简单推算。
- 完全二叉树中,设结点总数为 $n$ ,则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ,其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后,需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ,即为 $O(n)$
- 从顶至底堆化中,每个结点最多堆化至叶结点,因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$
将上述两者相乘,可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而,该估算结果仍不够准确,因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度,我们假设树是一个「完美二叉树」,该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树(即堆)结点数量为 $n$ ,树高度为 $h$ 。上文提到,**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离,而这正是“结点高度”**。因此,我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和,即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
$$
T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
$$
![heapify_count](heap.assets/heapify_count.png)
化简上式需要借助中学的数列知识,先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ,易得
$$
\begin{aligned}
T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
\end{aligned}
$$
**使用错位相减法**,令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ,可得
$$
2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
$$
观察上式,$T(h)$ 是一个等比数列,可直接使用求和公式,得到时间复杂度为
$$
\begin{aligned}
T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
& = 2^{h+1} - h \newline
& = O(2^h)
\end{aligned}
$$
进一步地,高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ,易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明,**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ,非常高效**。
## 堆常见应用
- **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构,入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ,建队操作为 $O(n)$ ,皆非常高效。
- **堆排序**。给定一组数据,我们使用其建堆,并依次全部弹出,则可以得到有序的序列。当然,堆排序一般无需弹出元素,仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
- **获取最大的 $k$ 个元素**。这既是一道经典算法题目,也是一种常见应用,例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜,选取前 10 销量的商品等。

@ -18,16 +18,16 @@ comments: true
<div class="center-table" markdown>
| 方法 | 描述 |
| ------------ | ---------------- |
| offerFirst() | 将元素添加至队首 |
| offerLast() | 将元素添加至队尾 |
| pollFirst() | 删除队首元素 |
| pollLast() | 删除队尾元素 |
| peekFirst() | 访问队首元素 |
| peekLast() | 访问队尾元素 |
| size() | 获取队列的长度 |
| isEmpty() | 判断队列是否为空 |
| 方法 | 描述 | 时间复杂度 |
| ------------ | ---------------- | ---------- |
| offerFirst() | 将元素添加至队首 | $O(1)$ |
| offerLast() | 将元素添加至队尾 | $O(1)$ |
| pollFirst() | 删除队首元素 | $O(1)$ |
| pollLast() | 删除队尾元素 | $O(1)$ |
| peekFirst() | 访问队首元素 | $O(1)$ |
| peekLast() | 访问队尾元素 | $O(1)$ |
| size() | 获取队列的长度 | $O(1)$ |
| isEmpty() | 判断队列是否为空 | $O(1)$ |
</div>
@ -196,5 +196,5 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="deque.swift"
```

@ -20,13 +20,13 @@ comments: true
<div class="center-table" markdown>
| 方法 | 描述 |
| --------- | ---------------------------- |
| offer() | 元素入队,即将元素添加至队尾 |
| poll() | 队首元素出队 |
| front() | 访问队首元素 |
| size() | 获取队列的长度 |
| isEmpty() | 判断队列是否为空 |
| 方法 | 描述 | 时间复杂度 |
| --------- | ---------------------------- | ---------- |
| offer() | 元素入队,即将元素添加至队尾 | $O(1)$ |
| poll() | 队首元素出队 | $O(1)$ |
| front() | 访问队首元素 | $O(1)$ |
| size() | 获取队列的长度 | $O(1)$ |
| isEmpty() | 判断队列是否为空 | $O(1)$ |
</div>
@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="queue.swift"
```
## 队列实现
@ -627,7 +627,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="linkedlist_queue.swift"
```
### 基于数组的实现
@ -1042,7 +1042,7 @@ comments: true
=== "Swift"
```swift title="array_queue.swift"
```
## 队列典型应用

@ -22,13 +22,13 @@ comments: true
<div class="center-table" markdown>
| 方法 | 描述 |
| --------- | ---------------------- |
| push() | 元素入栈(添加至栈顶) |
| pop() | 栈顶元素出栈 |
| peek() | 访问栈顶元素 |
| size() | 获取栈的长度 |
| isEmpty() | 判断栈是否为空 |
| 方法 | 描述 | 时间复杂度 |
| --------- | ---------------------- | ---------- |
| push() | 元素入栈(添加至栈顶) | $O(1)$ |
| pop() | 栈顶元素出栈 | $O(1)$ |
| peek() | 访问栈顶元素 | $O(1)$ |
| size() | 获取栈的长度 | $O(1)$ |
| isEmpty() | 判断栈是否为空 | $O(1)$ |
</div>

@ -15,4 +15,4 @@ comments: true
- 前序、中序、后序遍历是深度优先搜索,体现着“走到头、再回头继续”的回溯遍历方式,通常使用递归实现。
- 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构,查找、插入、删除操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。二叉搜索树退化为链表后,各项时间复杂度劣化至 $O(n)$ ,因此如何避免退化是非常重要的课题。
- AVL 树又称平衡二叉搜索树,其通过旋转操作,使得在不断插入与删除结点后,仍然可以保持二叉树的平衡(不退化)。
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后AVL 树会从底顶地执行旋转操作,使树恢复平衡。
- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后AVL 树会从底顶地执行旋转操作,使树恢复平衡。

@ -161,6 +161,8 @@ nav:
- 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
- AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
- 小结: chapter_tree/summary.md
- 堆:
- Heap: chapter_heap/heap.md
- 查找算法:
- 线性查找: chapter_searching/linear_search.md
- 二分查找: chapter_searching/binary_search.md

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