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Add the chapter of Heap

codes/java/chapter_hashing/array_hash_map.java

@@ -5,6 +5,7 @@
  */
 
 package chapter_hashing;
+
 import java.util.*;
 
 /* 键值对 int->String */

codes/java/chapter_hashing/hash_map.java

@@ -5,6 +5,7 @@
  */
 
 package chapter_hashing;
+
 import java.util.*;
 import include.*;
 

codes/java/chapter_heap/heap.java

@@ -0,0 +1,67 @@
+/**
+ * File: my_heap.java
+ * Created Time: 2023-01-07
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_heap;
+
+import include.*;
+import java.util.*;
+
+
+public class heap {
+    public static void testPush(Queue<Integer> heap, int val) {
+        heap.add(val); // 元素入堆
+        System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val);
+        PrintUtil.printHeap(heap);
+    }
+
+    public static void testPoll(Queue<Integer> heap) {
+        int val = heap.poll(); // 堆顶元素出堆
+        System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", val);
+        PrintUtil.printHeap(heap);
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化堆 */
+        // 初始化小顶堆
+        Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
+        // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
+        Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
+
+        System.out.println("\n以下测试样例为大顶堆");
+
+        /* 元素入堆 */
+        testPush(maxHeap, 1);
+        testPush(maxHeap, 3);
+        testPush(maxHeap, 2);
+        testPush(maxHeap, 5);
+        testPush(maxHeap, 4);
+
+        /* 获取堆顶元素 */
+        int peek = maxHeap.peek();
+        System.out.format("\n堆顶元素为 %d\n", peek);
+
+        /* 堆顶元素出堆 */
+        testPoll(maxHeap);
+        testPoll(maxHeap);
+        testPoll(maxHeap);
+        testPoll(maxHeap);
+        testPoll(maxHeap);
+
+        /* 获取堆大小 */
+        int size = maxHeap.size();
+        System.out.format("\n堆元素数量为 %d\n", size);
+
+        /* 判断堆是否为空 */
+        boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+        System.out.format("\n堆是否为空 %b\n", isEmpty);
+
+        /* 输入列表并建堆 */
+        // 时间复杂度为 O(n) ，而非 O(nlogn)
+        minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
+        System.out.println("\n输入列表并建立小顶堆后");
+        PrintUtil.printHeap(minHeap);
+    }
+}

codes/java/chapter_heap/my_heap.java

@@ -0,0 +1,177 @@
+/**
+ * File: my_heap.java
+ * Created Time: 2023-01-07
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_heap;
+
+import include.*;
+import java.util.*;
+
+class MaxHeap {
+    // 使用列表而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    private List<Integer> maxHeap;
+
+    /* 构造函数，建立空堆 */
+    public MaxHeap() {
+        maxHeap = new ArrayList<>();
+    }
+
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    public MaxHeap(List<Integer> nums) {
+        // 所有元素入堆
+        maxHeap = new ArrayList<>(nums);
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+
+    /* 获取左子结点索引 */
+    private int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+
+    /* 获取右子结点索引 */
+    private int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+
+    /* 获取父结点索引 */
+    private int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2; // 向下整除
+    }
+
+    /* 交换元素 */
+    private void swap(int i, int j) {
+        int a = maxHeap.get(i), 
+            b = maxHeap.get(j),
+            tmp = a;
+        maxHeap.set(i, b);
+        maxHeap.set(j, tmp);
+    }
+
+    /* 获取堆大小 */
+    public int size() {
+        return maxHeap.size();
+    }
+
+    /* 判断堆是否为空 */
+    public boolean isEmpty() {
+        return size() == 0;
+    }
+
+    /* 访问堆顶元素 */
+    public int peek() {
+        return maxHeap.get(0);
+    }
+
+    /* 元素入堆 */
+    public void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.add(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    private void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 当“越过根结点”或“结点无需修复”时，结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
+
+    /* 元素出堆 */
+    public int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw new EmptyStackException();
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.remove(size() - 1);
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
+
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    private void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
+                ma = r;
+            // 若结点 i 最大或索引 l, r 越界，则无需继续堆化，跳出
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+
+    /* 打印堆（二叉树） */
+    public void print() {
+        Queue<Integer> queue = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
+        queue.addAll(maxHeap);
+        PrintUtil.printHeap(queue);
+    }
+}
+
+
+public class my_heap {
+    public static void testPush(MaxHeap maxHeap, int val) {
+        maxHeap.push(val);  // 元素入堆
+        System.out.format("\n添加元素 %d 后\n", val);
+        maxHeap.print();
+    }
+
+    public static void testPoll(MaxHeap maxHeap) {
+        int val = maxHeap.poll(); // 堆顶元素出堆
+        System.out.format("\n出堆元素为 %d\n", val);
+        maxHeap.print();
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化大顶堆 */
+        MaxHeap maxHeap = new MaxHeap(Arrays.asList(9, 8, 6, 6, 7, 5, 2, 1, 4, 3, 6, 2));
+        System.out.println("\n输入列表并建堆后");
+        maxHeap.print();
+
+        /* 获取堆顶元素 */
+        int peek = maxHeap.peek();
+        System.out.format("\n堆顶元素为 %d\n", peek);
+
+        /* 元素入堆 */
+        int val = 7;
+        maxHeap.push(val);
+        System.out.format("\n元素 %d 入堆后\n", val);
+        maxHeap.print();
+
+        /* 堆顶元素出堆 */
+        peek = maxHeap.poll();
+        System.out.format("\n堆顶元素 %d 出堆后\n", peek);
+        maxHeap.print();
+
+        /* 获取堆大小 */
+        int size = maxHeap.size();
+        System.out.format("\n堆元素数量为 %d\n", size);
+
+        /* 判断堆是否为空 */
+        boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+        System.out.format("\n堆是否为空 %b\n", isEmpty);
+    }
+}

codes/java/chapter_tree/binary_tree_bfs.java

@@ -30,7 +30,7 @@ public class binary_tree_bfs {
     public static void main(String[] args) {
         /* 初始化二叉树 */
         // 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
-        TreeNode root = TreeNode.arrToTree(new Integer[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 });
+        TreeNode root = TreeNode.listToTree(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7));
         System.out.println("\n初始化二叉树\n");
         PrintUtil.printTree(root);
 

codes/java/chapter_tree/binary_tree_dfs.java

@@ -43,7 +43,7 @@ public class binary_tree_dfs {
     public static void main(String[] args) {
         /* 初始化二叉树 */
         // 这里借助了一个从数组直接生成二叉树的函数
-        TreeNode root = TreeNode.arrToTree(new Integer[] { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 });
+        TreeNode root = TreeNode.listToTree(Arrays.asList(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7));
         System.out.println("\n初始化二叉树\n");
         PrintUtil.printTree(root);
 

codes/java/include/PrintUtil.java

@@ -105,10 +105,16 @@ public class PrintUtil {
         }
     }
 
-    public static void printHeap(PriorityQueue<Integer> queue) {
+    /**
-        Integer[] nums = (Integer[])queue.toArray();
+     * Print a heap (PriorityQueue)
-        TreeNode root = TreeNode.arrToTree(nums);
+     * @param queue
-        
+     */
+    public static void printHeap(Queue<Integer> queue) {
+        List<Integer> list = new ArrayList<>(queue);
+        System.out.print("堆的数组表示：");
+        System.out.println(list);
+        System.out.println("堆的树状表示：");
+        TreeNode root = TreeNode.listToTree(list);
         printTree(root);
     }
 }

codes/java/include/TreeNode.java

@@ -23,26 +23,27 @@ public class TreeNode {
 
     /**
      * Generate a binary tree given an array
-     * @param arr
+     * @param list
      * @return
      */
-    public static TreeNode arrToTree(Integer[] arr) {
+    public static TreeNode listToTree(List<Integer> list) {
-        if (arr.length == 0)
+        int size = list.size();
+        if (size == 0)
             return null;
         
-        TreeNode root = new TreeNode(arr[0]);
+        TreeNode root = new TreeNode(list.get(0));
         Queue<TreeNode> queue = new LinkedList<>() {{ add(root); }};
         int i = 0;
         while(!queue.isEmpty()) {
             TreeNode node = queue.poll();
-            if (++i >= arr.length) break;
+            if (++i >= size) break;
-            if(arr[i] != null) {
+            if (list.get(i) != null) {
-                node.left = new TreeNode(arr[i]);
+                node.left = new TreeNode(list.get(i));
                 queue.add(node.left);
             }
-            if (++i >= arr.length) break;
+            if (++i >= size) break;
-            if(arr[i] != null) {
+            if (list.get(i) != null) {
-                node.right = new TreeNode(arr[i]);
+                node.right = new TreeNode(list.get(i));
                 queue.add(node.right);
             }
         }

docs/chapter_heap/heap.md

@@ -0,0 +1,339 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 堆
+
+「堆 Heap」是一颗限定条件下的「完全二叉树」。根据成立条件，堆主要分为两种类型：
+
+- 「大顶堆 Max Heap」，任意结点的值 $\geq$ 其子结点的值；
+- 「小顶堆 Min Heap」，任意结点的值 $\leq$ 其子结点的值；
+
+![min_heap_and_max_heap](heap.assets/min_heap_and_max_heap.png)
+
+## 堆术语与性质
+
+- 由于堆是完全二叉树，因此最底层结点靠左填充，其它层结点皆被填满。
+- 二叉树中的根结点对应「堆顶」，底层最靠右结点对应「堆底」。
+- 对于大顶堆 / 小顶堆，其堆顶元素（即根结点）的值最大 / 最小。
+
+## 堆常用操作
+
+值得说明的是，多数编程语言提供的是「优先队列 Priority Queue」，其是一种抽象数据结构，**定义为具有出队优先级的队列**。
+
+而恰好，**堆的定义与优先队列的操作逻辑完全吻合**，大顶堆就是一个元素从大到小出队的优先队列。从使用角度看，我们可以将「优先队列」和「堆」理解为等价的数据结构。因此，本文与代码对两者不做特别区分，统一使用「堆」来命名。
+
+堆的常用操作见下表（方法命名以 Java 为例）。
+
+<p align="center"> Table. 堆的常用操作 </p>
+
+<div class="center-table" markdown>
+
+| 方法      | 描述                                         | 时间复杂度  |
+| --------- | -------------------------------------------- | ----------- |
+| add()     | 元素入堆                                     | $O(\log n)$ |
+| poll()    | 堆顶元素出堆                                 | $O(\log n)$ |
+| peek()    | 访问堆顶元素（大 / 小顶堆分别为最大 / 小值） | $O(1)$      |
+| size()    | 获取堆的元素数量                             | $O(1)$      |
+| isEmpty() | 判断堆是否为空                               | $O(1)$      |
+
+</div>
+
+我们可以直接使用编程语言提供的堆类（或优先队列类）。
+
+!!! tip
+
+    类似于排序中“从小到大排列”和“从大到小排列”，“大顶堆”和“小顶堆”可仅通过修改 Comparator 来互相转换。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="heap.java"
+    /* 初始化堆 */
+    // 初始化小顶堆
+    Queue<Integer> minHeap = new PriorityQueue<>();
+    // 初始化大顶堆（使用 lambda 表达式修改 Comparator 即可）
+    Queue<Integer> maxHeap = new PriorityQueue<>((a, b) -> { return b - a; });
+    
+    /* 元素入堆 */
+    maxHeap.add(1);
+    maxHeap.add(3);
+    maxHeap.add(2);
+    maxHeap.add(5);
+    maxHeap.add(4);
+    
+    /* 获取堆顶元素 */
+    int peek = maxHeap.peek(); // 5
+    
+    /* 堆顶元素出堆 */
+    // 出堆元素会形成一个从大到小的序列
+    peek = heap.poll();  // 5
+    peek = heap.poll();  // 4
+    peek = heap.poll();  // 3
+    peek = heap.poll();  // 2
+    peek = heap.poll();  // 1
+    
+    /* 获取堆大小 */
+    int size = maxHeap.size();
+    
+    /* 判断堆是否为空 */
+    boolean isEmpty = maxHeap.isEmpty();
+    
+    /* 输入列表并建堆 */
+    minHeap = new PriorityQueue<>(Arrays.asList(1, 3, 2, 5, 4));
+    ```
+
+## 堆的实现
+
+下文实现的是「大顶堆」，若想转换为「小顶堆」，将所有大小逻辑判断取逆（例如将 $\geq$ 替换为 $\leq$ ）即可，有兴趣的同学可自行实现。
+
+### 堆的存储与表示
+
+在二叉树章节我们学过，「完全二叉树」非常适合使用「数组」来表示，而堆恰好是一颗完全二叉树，**因而我们采用「数组」来存储「堆」**。
+
+**二叉树指针**。使用数组表示二叉树时，元素代表结点值，索引代表结点在二叉树中的位置，**而结点指针通过索引映射公式来实现**。
+
+具体地，给定索引 $i$ ，那么其左子结点索引为 $2i + 1$ 、右子结点索引为 $2i + 2$ 、父结点索引为 $(i - 1) / 2$ （向下整除）。当索引越界时，代表空结点或结点不存在。
+
+![representation_of_heap](heap.assets/representation_of_heap.png)
+
+我们将索引映射公式封装成函数，以便后续使用。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    // 使用列表而非数组，这样无需考虑扩容问题
+    List<Integer> maxHeap;
+    
+    /* 构造函数，建立空堆 */
+    public MaxHeap() {
+        maxHeap = new ArrayList<>();
+    }
+    
+    /* 获取左子结点索引 */
+    int left(int i) {
+        return 2 * i + 1;
+    }
+    
+    /* 获取右子结点索引 */
+    int right(int i) {
+        return 2 * i + 2;
+    }
+    
+    /* 获取父结点索引 */
+    int parent(int i) {
+        return (i - 1) / 2; // 向下整除
+    }
+    ```
+
+### 访问堆顶元素
+
+堆顶元素是二叉树的根结点，即列表首元素。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    /* 访问堆顶元素 */
+    public int peek() {
+        return maxHeap.get(0);
+    }
+    ```
+
+### 元素入堆
+
+给定元素 `val` ，我们先将其添加到堆底。添加后，由于 `val` 可能大于堆中其它元素，此时堆的成立条件可能已经被破坏，**因此需要修复从插入结点到根结点这条路径上的各个结点**，该操作被称为「堆化 Heapify」。
+
+考虑从入堆结点开始，**从底至顶执行堆化**。具体地，比较插入结点与其父结点的值，若插入结点更大则将它们交换；并循环以上操作，从底至顶地修复堆中的各个结点；直至越过根结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
+
+=== "Step 1"
+    ![heap_push_step1](heap.assets/heap_push_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![heap_push_step2](heap.assets/heap_push_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![heap_push_step3](heap.assets/heap_push_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![heap_push_step4](heap.assets/heap_push_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![heap_push_step5](heap.assets/heap_push_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![heap_push_step6](heap.assets/heap_push_step6.png)
+
+设结点总数为 $n$ ，则树的高度为 $O(\log n)$ ，易得堆化操作的循环轮数最多为 $O(\log n)$ ，**因而元素入堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    /* 元素入堆 */
+    void push(int val) {
+        // 添加结点
+        maxHeap.add(val);
+        // 从底至顶堆化
+        siftUp(size() - 1);
+    }
+    
+    /* 从结点 i 开始，从底至顶堆化 */
+    void siftUp(int i) {
+        while (true) {
+            // 获取结点 i 的父结点
+            int p = parent(i);
+            // 若“越过根结点”或“结点无需修复”，则结束堆化
+            if (p < 0 || maxHeap.get(i) <= maxHeap.get(p))
+                break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, p);
+            // 循环向上堆化
+            i = p;
+        }
+    }
+    ```
+
+### 堆顶元素出堆
+
+堆顶元素是二叉树根结点，即列表首元素，如果我们直接将首元素从列表中删除，则二叉树中所有结点都会随之发生移位（索引发生变化），这样后续使用堆化修复就很麻烦了。为了尽量减少元素索引变动，采取以下操作步骤：
+
+1. 交换堆顶元素与堆底元素（即交换根结点与最右叶结点）；
+2. 交换完成后，将堆底从列表中删除（注意，因为已经交换，实际上删除的是原来的堆顶元素）；
+3. 从根结点开始，**从顶至底执行堆化**；
+
+顾名思义，**从顶至底堆化的操作方向与从底至顶堆化相反**，我们比较根结点的值与其两个子结点的值，将最大的子结点与根结点执行交换，并循环以上操作，直到越过叶结点时结束，或当遇到无需交换的结点时提前结束。
+
+=== "Step 1"
+    ![heap_poll_step1](heap.assets/heap_poll_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![heap_poll_step2](heap.assets/heap_poll_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![heap_poll_step3](heap.assets/heap_poll_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![heap_poll_step4](heap.assets/heap_poll_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![heap_poll_step5](heap.assets/heap_poll_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![heap_poll_step6](heap.assets/heap_poll_step6.png)
+
+=== "Step 7"
+    ![heap_poll_step7](heap.assets/heap_poll_step7.png)
+
+=== "Step 8"
+    ![heap_poll_step8](heap.assets/heap_poll_step8.png)
+
+=== "Step 9"
+    ![heap_poll_step9](heap.assets/heap_poll_step9.png)
+
+=== "Step 10"
+    ![heap_poll_step10](heap.assets/heap_poll_step10.png)
+
+与元素入堆操作类似，**堆顶元素出堆操作的时间复杂度为 $O(\log n)$** 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    /* 元素出堆 */
+    int poll() {
+        // 判空处理
+        if (isEmpty())
+            throw new EmptyStackException();
+        // 交换根结点与最右叶结点（即交换首元素与尾元素）
+        swap(0, size() - 1);
+        // 删除结点
+        int val = maxHeap.remove(size() - 1);
+        // 从顶至底堆化
+        siftDown(0);
+        // 返回堆顶元素
+        return val;
+    }
+    
+    /* 从结点 i 开始，从顶至底堆化 */
+    void siftDown(int i) {
+        while (true) {
+            // 判断结点 i, l, r 中值最大的结点，记为 ma
+            int l = left(i), r = right(i), ma = i;
+            if (l < size() && maxHeap.get(l) > maxHeap.get(ma))
+                ma = l;
+            if (r < size() && maxHeap.get(r) > maxHeap.get(ma))
+                ma = r;
+            // 若“结点 i 最大”或“越过叶结点”，则结束堆化
+            if (ma == i) break;
+            // 交换两结点
+            swap(i, ma);
+            // 循环向下堆化
+            i = ma;
+        }
+    }
+    ```
+
+### 输入数据并建堆 *
+
+如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
+
+然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="my_heap.java"
+    /* 构造函数，根据输入列表建堆 */
+    public MaxHeap(List<Integer> nums) {
+        // 将列表元素原封不动添加进堆
+        maxHeap = new ArrayList<>(nums);
+        // 堆化除叶结点以外的其他所有结点
+        for (int i = parent(size() - 1); i >= 0; i--) {
+            siftDown(i);
+        }
+    }
+    ```
+
+那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。
+
+- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ；
+- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ；
+
+将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。
+
+下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。
+
+$$
+T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1
+$$
+
+![heapify_count](heap.assets/heapify_count.png)
+
+化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得
+
+$$
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline
+2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline
+\end{aligned}
+$$
+
+**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得
+
+$$
+2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h
+$$
+
+观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为
+
+$$
+\begin{aligned}
+T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline
+& = 2^{h+1} - h \newline
+& = O(2^h)
+\end{aligned}
+$$
+
+进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。
+
+## 堆常见应用
+
+- **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ，建队操作为 $O(n)$ ，皆非常高效。
+- **堆排序**。给定一组数据，我们使用其建堆，并依次全部弹出，则可以得到有序的序列。当然，堆排序一般无需弹出元素，仅需每轮将堆顶元素交换至数组尾部并减小堆的长度即可。
+- **获取最大的 $k$ 个元素**。这既是一道经典算法题目，也是一种常见应用，例如选取热度前 10 的新闻作为微博热搜，选取前 10 销量的商品等。

docs/chapter_stack_and_queue/deque.md

@@ -18,16 +18,16 @@ comments: true
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-| 方法         | 描述             |
+| 方法         | 描述             | 时间复杂度 |
-| ------------ | ---------------- |
+| ------------ | ---------------- | ---------- |
-| offerFirst() | 将元素添加至队首 |
+| offerFirst() | 将元素添加至队首 | $O(1)$     |
-| offerLast()  | 将元素添加至队尾 |
+| offerLast()  | 将元素添加至队尾 | $O(1)$     |
-| pollFirst()  | 删除队首元素     |
+| pollFirst()  | 删除队首元素     | $O(1)$     |
-| pollLast()   | 删除队尾元素     |
+| pollLast()   | 删除队尾元素     | $O(1)$     |
-| peekFirst()  | 访问队首元素     |
+| peekFirst()  | 访问队首元素     | $O(1)$     |
-| peekLast()   | 访问队尾元素     |
+| peekLast()   | 访问队尾元素     | $O(1)$     |
-| size()       | 获取队列的长度   |
+| size()       | 获取队列的长度   | $O(1)$     |
-| isEmpty()    | 判断队列是否为空 |
+| isEmpty()    | 判断队列是否为空 | $O(1)$     |
 
 </div>
 
@@ -196,5 +196,5 @@ comments: true
 === "Swift"
 
     ```swift title="deque.swift"
-
+    
     ```

docs/chapter_stack_and_queue/queue.md

@@ -20,13 +20,13 @@ comments: true
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-| 方法      | 描述                         |
+| 方法      | 描述                         | 时间复杂度 |
-| --------- | ---------------------------- |
+| --------- | ---------------------------- | ---------- |
-| offer()   | 元素入队，即将元素添加至队尾 |
+| offer()   | 元素入队，即将元素添加至队尾 | $O(1)$     |
-| poll()    | 队首元素出队                 |
+| poll()    | 队首元素出队                 | $O(1)$     |
-| front()   | 访问队首元素                 |
+| front()   | 访问队首元素                 | $O(1)$     |
-| size()    | 获取队列的长度               |
+| size()    | 获取队列的长度               | $O(1)$     |
-| isEmpty() | 判断队列是否为空             |
+| isEmpty() | 判断队列是否为空             | $O(1)$     |
 
 </div>
 
@@ -231,7 +231,7 @@ comments: true
 === "Swift"
 
     ```swift title="queue.swift"
-
+    
     ```
 
 ## 队列实现
@@ -627,7 +627,7 @@ comments: true
 === "Swift"
 
     ```swift title="linkedlist_queue.swift"
-
+    
     ```
 
 ### 基于数组的实现
@@ -1042,7 +1042,7 @@ comments: true
 === "Swift"
 
     ```swift title="array_queue.swift"
-
+    
     ```
 
 ## 队列典型应用

docs/chapter_stack_and_queue/stack.md

@@ -22,13 +22,13 @@ comments: true
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-| 方法      | 描述                   |
+| 方法      | 描述                   | 时间复杂度 |
-| --------- | ---------------------- |
+| --------- | ---------------------- | ---------- |
-| push()    | 元素入栈（添加至栈顶） |
+| push()    | 元素入栈（添加至栈顶） | $O(1)$     |
-| pop()     | 栈顶元素出栈           |
+| pop()     | 栈顶元素出栈           | $O(1)$     |
-| peek()    | 访问栈顶元素           |
+| peek()    | 访问栈顶元素           | $O(1)$     |
-| size()    | 获取栈的长度           |
+| size()    | 获取栈的长度           | $O(1)$     |
-| isEmpty() | 判断栈是否为空         |
+| isEmpty() | 判断栈是否为空         | $O(1)$     |
 
 </div>
 

docs/chapter_tree/summary.md

@@ -15,4 +15,4 @@ comments: true
 - 前序、中序、后序遍历是深度优先搜索，体现着“走到头、再回头继续”的回溯遍历方式，通常使用递归实现。
 - 二叉搜索树是一种高效的元素查找数据结构，查找、插入、删除操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。二叉搜索树退化为链表后，各项时间复杂度劣化至 $O(n)$ ，因此如何避免退化是非常重要的课题。
 - AVL 树又称平衡二叉搜索树，其通过旋转操作，使得在不断插入与删除结点后，仍然可以保持二叉树的平衡（不退化）。
-- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后，AVL 树会从底置顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。
+- AVL 树的旋转操作分为右旋、左旋、先右旋后左旋、先左旋后右旋。在插入或删除结点后，AVL 树会从底至顶地执行旋转操作，使树恢复平衡。

mkdocs.yml

@@ -161,6 +161,8 @@ nav:
     - 二叉搜索树: chapter_tree/binary_search_tree.md
     - AVL 树 *: chapter_tree/avl_tree.md
     - 小结: chapter_tree/summary.md
+  - 堆:
+    - 堆（Heap）: chapter_heap/heap.md
   - 查找算法:
     - 线性查找: chapter_searching/linear_search.md
     - 二分查找: chapter_searching/binary_search.md