From 5b44ff53977a3ac0a58656eb1121abd5817969aa Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Sun, 26 Feb 2023 20:12:17 +0800 Subject: [PATCH] Seperate the build_heap from the heap. --- docs/chapter_heap/build_heap.md | 119 ++++++++++++++++++++++++++++++++ docs/chapter_heap/heap.md | 108 ----------------------------- mkdocs.yml | 1 + 3 files changed, 120 insertions(+), 108 deletions(-) create mode 100644 docs/chapter_heap/build_heap.md diff --git a/docs/chapter_heap/build_heap.md b/docs/chapter_heap/build_heap.md new file mode 100644 index 000000000..87ab47c14 --- /dev/null +++ b/docs/chapter_heap/build_heap.md @@ -0,0 +1,119 @@ +# 建堆操作 * + +如果我们想要根据输入列表来生成一个堆，这样的操作被称为「建堆」。 + +## 两种建堆方法 + +### 借助入堆方法实现 + +最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。 + +### 基于堆化操作实现 + +然而，**存在一种更加高效的建堆方法**。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。 + +=== "Java" + + ```java title="my_heap.java" + [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="my_heap.cpp" + [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} + ``` + +=== "Python" + + ```python title="my_heap.py" + [class]{MaxHeap}-[func]{__init__} + ``` + +=== "Go" + + ```go title="my_heap.go" + [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap} + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="my_heap.js" + [class]{MaxHeap}-[func]{constructor} + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="my_heap.ts" + [class]{MaxHeap}-[func]{constructor} + ``` + +=== "C" + + ```c title="my_heap.c" + [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap} + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="my_heap.cs" + [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="my_heap.swift" + [class]{MaxHeap}-[func]{init} + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="my_heap.zig" + [class]{MaxHeap}-[func]{init} + ``` + +## 复杂度分析 + +对于第一种建堆方法，元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 + +那么，第二种建堆方法的时间复杂度是多少呢？我们来展开推算一下。 + +- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ； +- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ； + +将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。 + +下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。 + +$$ +T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 +$$ + +![完美二叉树的各层结点数量](heap.assets/heapify_operations_count.png) + +化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得 + +$$ +\begin{aligned} +T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline +2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline +\end{aligned} +$$ + +**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得 + +$$ +2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h +$$ + +观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为 + +$$ +\begin{aligned} +T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline +& = 2^{h+1} - h \newline +& = O(2^h) +\end{aligned} +$$ + +进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。 diff --git a/docs/chapter_heap/heap.md b/docs/chapter_heap/heap.md index cdb2436ac..6fcaf05d6 100644 --- a/docs/chapter_heap/heap.md +++ b/docs/chapter_heap/heap.md @@ -708,114 +708,6 @@ [class]{MaxHeap}-[func]{siftDown} ``` -### 输入数据并建堆 * - -如果我们想要直接输入一个列表并将其建堆，那么该怎么做呢？最直接地，考虑使用「元素入堆」方法，将列表元素依次入堆。元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 - -然而，存在一种更加优雅的建堆方法。设结点数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。 - -=== "Java" - - ```java title="my_heap.java" - [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} - ``` - -=== "C++" - - ```cpp title="my_heap.cpp" - [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} - ``` - -=== "Python" - - ```python title="my_heap.py" - [class]{MaxHeap}-[func]{__init__} - ``` - -=== "Go" - - ```go title="my_heap.go" - [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap} - ``` - -=== "JavaScript" - - ```javascript title="my_heap.js" - [class]{MaxHeap}-[func]{constructor} - ``` - -=== "TypeScript" - - ```typescript title="my_heap.ts" - [class]{MaxHeap}-[func]{constructor} - ``` - -=== "C" - - ```c title="my_heap.c" - [class]{maxHeap}-[func]{newMaxHeap} - ``` - -=== "C#" - - ```csharp title="my_heap.cs" - [class]{MaxHeap}-[func]{MaxHeap} - ``` - -=== "Swift" - - ```swift title="my_heap.swift" - [class]{MaxHeap}-[func]{init} - ``` - -=== "Zig" - - ```zig title="my_heap.zig" - [class]{MaxHeap}-[func]{init} - ``` - -那么，第二种建堆方法的时间复杂度时多少呢？我们来做一下简单推算。 - -- 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ； -- 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ； - -将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。 - -下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。 - -$$ -T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 -$$ - -![完美二叉树的各层结点数量](heap.assets/heapify_operations_count.png) - -化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得 - -$$ -\begin{aligned} -T(h) & = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{h-1}\times1 \newline -2 T(h) & = 2^1h + 2^2(h-1) + 2^3(h-2) + \cdots + 2^{h}\times1 \newline -\end{aligned} -$$ - -**使用错位相减法**，令下式 $2 T(h)$ 减去上式 $T(h)$ ，可得 - -$$ -2T(h) - T(h) = T(h) = -2^0h + 2^1 + 2^2 + \cdots + 2^{h-1} + 2^h -$$ - -观察上式，$T(h)$ 是一个等比数列，可直接使用求和公式，得到时间复杂度为 - -$$ -\begin{aligned} -T(h) & = 2 \frac{1 - 2^h}{1 - 2} - h \newline -& = 2^{h+1} - h \newline -& = O(2^h) -\end{aligned} -$$ - -进一步地，高度为 $h$ 的完美二叉树的结点数量为 $n = 2^{h+1} - 1$ ，易得复杂度为 $O(2^h) = O(n)$。以上推算表明，**输入列表并建堆的时间复杂度为 $O(n)$ ，非常高效**。 - ## 堆常见应用 - **优先队列**。堆常作为实现优先队列的首选数据结构，入队和出队操作时间复杂度为 $O(\log n)$ ，建队操作为 $O(n)$ ，皆非常高效。 diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index 7dd97ae55..77fb4fd92 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -164,6 +164,7 @@ nav: - 7.5.   小结: chapter_tree/summary.md - 8.     堆: - 8.1.   堆（Heap）: chapter_heap/heap.md + - 8.2.   建堆操作 *: chapter_heap/build_heap.md - 9.     图: - 9.1.   图（Graph）: chapter_graph/graph.md - 9.2.   图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md