diff --git a/chapter_binary_search/binary_search.md b/chapter_binary_search/binary_search.md index 43bf37577..e2899cbdf 100755 --- a/chapter_binary_search/binary_search.md +++ b/chapter_binary_search/binary_search.md @@ -4,25 +4,31 @@ comments: true # 6.1.   二分查找 -「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。 +「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。 -给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为： +我们先来求解一个简单的二分查找问题。 -$$ -0, 1, 2, \cdots, n-1 -$$ +!!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。" -我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围： +该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。 -1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[i, i]$ 仍包含 $1$ 个元素； -2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[i, i)$ 不包含元素； +接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤: -## 6.1.1.   双闭区间实现 +1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。 +2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况： + 1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ； + 2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ； + 3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可； -首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。 +**若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。 + +为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。 + +=== "<0>" + ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png) === "<1>" - ![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step1.png) + ![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png) === "<2>" ![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png) @@ -42,7 +48,9 @@ $$ === "<7>" ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png) -二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。 +值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。 + +有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。 === "Java" @@ -53,12 +61,12 @@ $$ int i = 0, j = nums.length - 1; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1; - else // 找到目标元素，返回其索引 + else // 找到目标元素，返回其索引 return m; } // 未找到目标元素，返回 -1 @@ -75,8 +83,8 @@ $$ int i = 0, j = nums.size() - 1; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1; @@ -95,12 +103,13 @@ $$ """二分查找（双闭区间）""" # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素 i, j = 0, len(nums) - 1 + # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while i <= j: m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m - if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 - i = m + 1 - elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 - j = m - 1 + if nums[m] < target: + i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 + elif nums[m] > target: + j = m - 1 # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 else: return m # 找到目标元素，返回其索引 return -1 # 未找到目标元素，返回 -1 @@ -115,7 +124,7 @@ $$ i, j := 0, len(nums)-1 // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） for i <= j { - m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m + m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 @@ -140,7 +149,7 @@ $$ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整 - const m = parseInt((i + j) / 2); + const m = parseInt(i + (j - i) / 2); if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; @@ -165,7 +174,7 @@ $$ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { // 计算中点索引 m - const m = Math.floor((i + j) / 2); + const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); if (nums[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; @@ -190,8 +199,8 @@ $$ int i = 0, j = len - 1; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 j = m - 1; @@ -212,7 +221,7 @@ $$ int i = 0, j = nums.Length - 1; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 @@ -235,7 +244,7 @@ $$ var j = nums.count - 1 // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while i <= j { - let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m + let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 @@ -259,7 +268,7 @@ $$ var j: usize = nums.items.len - 1; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） while (i <= j) { - var m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m + var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 i = m + 1; } else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 @@ -273,96 +282,15 @@ $$ } ``` -需要注意的是，**当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。 - -=== "Java" - - ```java title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - int m = (i + j) / 2; - // 更换为此写法则不会越界 - int m = i + (j - i) / 2; - ``` - -=== "C++" - - ```cpp title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - int m = (i + j) / 2; - // 更换为此写法则不会越界 - int m = i + (j - i) / 2; - ``` - -=== "Python" - - ```py title="" - # Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小） - # 因此无需考虑大数越界问题 - ``` - -=== "Go" - - ```go title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - m := (i + j) / 2 - // 更换为此写法则不会越界 - m := i + (j - i) / 2 - ``` - -=== "JavaScript" +时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。 - ```javascript title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - let m = parseInt((i + j) / 2); - // 更换为此写法则不会越界 - let m = parseInt(i + (j - i) / 2); - ``` +空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 -=== "TypeScript" +## 6.1.1.   区间表示方法 - ```typescript title="" - // (i + j) 有可能超出 Number 的取值范围 - let m = Math.floor((i + j) / 2); - // 更换为此写法则不会越界 - let m = Math.floor(i + (j - i) / 2); - ``` +除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。 -=== "C" - - ```c title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - int m = (i + j) / 2; - // 更换为此写法则不会越界 - int m = i + (j - i) / 2; - ``` - -=== "C#" - - ```csharp title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - int m = (i + j) / 2; - // 更换为此写法则不会越界 - int m = i + (j - i) / 2; - ``` - -=== "Swift" - - ```swift title="" - // (i + j) 有可能超出 int 的取值范围 - let m = (i + j) / 2 - // 更换为此写法则不会越界 - let m = i + (j - 1) / 2 - ``` - -=== "Zig" - - ```zig title="" - - ``` - -## 6.1.2.   左闭右开实现 - -我们可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。 +我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。 === "Java" @@ -373,12 +301,12 @@ $$ int i = 0, j = nums.length; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 j = m; - else // 找到目标元素，返回其索引 + else // 找到目标元素，返回其索引 return m; } // 未找到目标元素，返回 -1 @@ -395,8 +323,8 @@ $$ int i = 0, j = nums.size(); // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 j = m; @@ -418,12 +346,12 @@ $$ # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while i < j: m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m - if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 - i = m + 1 - elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 - j = m - else: # 找到目标元素，返回其索引 - return m + if nums[m] < target: + i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 + elif nums[m] > target: + j = m # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 + else: + return m # 找到目标元素，返回其索引 return -1 # 未找到目标元素，返回 -1 ``` @@ -436,7 +364,7 @@ $$ i, j := 0, len(nums) // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） for i < j { - m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m + m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 @@ -461,7 +389,7 @@ $$ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整 - const m = parseInt((i + j) / 2); + const m = parseInt(i + (j - i) / 2); if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; @@ -487,7 +415,7 @@ $$ // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { // 计算中点索引 m - const m = Math.floor((i + j) / 2); + const m = Math.floor(i + (j - i) / 2); if (nums[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; @@ -512,8 +440,8 @@ $$ int i = 0, j = len; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m - if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m + if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 j = m; @@ -534,7 +462,7 @@ $$ int i = 0, j = nums.Length; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i < j) { - int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m + int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 @@ -557,7 +485,7 @@ $$ var j = nums.count // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while i < j { - let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m + let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 @@ -581,7 +509,7 @@ $$ var j: usize = nums.items.len; // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） while (i <= j) { - var m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m + var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 i = m + 1; } else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 @@ -595,26 +523,15 @@ $$ } ``` -对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点： - -
- -| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 | -| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ | -| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$ | -| 左闭右开 $[0, n)$ | $i = 0$ , $j = n$ | $i = m + 1$ , $j = m$ | $i = j$ | - -
- -在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。 +如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。 -## 6.1.3.   复杂度分析 +在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。 -**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。 +![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png) -**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 +

Fig. 两种区间定义

-## 6.1.4.   优点与局限性 +## 6.1.2.   优点与局限性 二分查找效率很高，主要体现在：