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@ -4,25 +4,31 @@ comments: true
# 6.1.   二分查找 # 6.1.   二分查找
「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。 「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。
给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为： 我们先来求解一个简单的二分查找问题。
$$ !!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。"
0, 1, 2, \cdots, n-1
$$
我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围： 该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。
1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[i, i]$ 仍包含 $1$ 个元素； 接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:
2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[i, i)$ 不包含元素；
## 6.1.1.   双闭区间实现 1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况：
1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ；
2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ；
3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可；
首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。 **若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。
为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。
=== "<0>"
![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step0.png)
=== "<1>" === "<1>"
![二分查找步骤](binary_search.assets/binary_search_step1.png) ![binary_search_step1](binary_search.assets/binary_search_step1.png)
=== "<2>" === "<2>"
![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png) ![binary_search_step2](binary_search.assets/binary_search_step2.png)
@ -42,7 +48,9 @@ $$
=== "<7>" === "<7>"
![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png) ![binary_search_step7](binary_search.assets/binary_search_step7.png)
二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。 值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。
=== "Java" === "Java"
@ -53,7 +61,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.length - 1; int i = 0, j = nums.length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -75,7 +83,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.size() - 1; int i = 0, j = nums.size() - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -95,12 +103,13 @@ $$
"""二分查找（双闭区间）""" """二分查找（双闭区间）"""
# 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素 # 初始化双闭区间 [0, n-1] ，即 i, j 分别指向数组首元素、尾元素
i, j = 0, len(nums) - 1 i, j = 0, len(nums) - 1
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j: while i <= j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if nums[m] < target:
i = m + 1 i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 elif nums[m] > target:
j = m - 1 j = m - 1 # 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
else: else:
return m # 找到目标元素，返回其索引 return m # 找到目标元素，返回其索引
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1 return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
@ -115,7 +124,7 @@ $$
i, j := 0, len(nums)-1 i, j := 0, len(nums)-1
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
for i <= j { for i <= j {
m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1 i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -140,7 +149,7 @@ $$
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
// 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整 // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
const m = parseInt((i + j) / 2); const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) if (nums[m] < target)
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
@ -165,7 +174,7 @@ $$
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
// 计算中点索引 m // 计算中点索引 m
const m = Math.floor((i + j) / 2); const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) { if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
@ -190,7 +199,7 @@ $$
int i = 0, j = len - 1; int i = 0, j = len - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -212,7 +221,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.Length - 1; int i = 0, j = nums.Length - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -235,7 +244,7 @@ $$
var j = nums.count - 1 var j = nums.count - 1
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while i <= j { while i <= j {
let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1 i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -259,7 +268,7 @@ $$
var j: usize = nums.items.len - 1; var j: usize = nums.items.len - 1;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i > j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
var m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中 if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j] 中
i = m + 1; i = m + 1;
} else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中 } else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m-1] 中
@ -273,96 +282,15 @@ $$
} }
``` ```
需要注意的是，**当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。 时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
=== "Java"
```java title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "C++"
```cpp title="" 空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "Python" ## 6.1.1. &nbsp; 区间表示方法
```py title="" 除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小）
# 因此无需考虑大数越界问题
```
=== "Go" 我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
```go title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
m := (i + j) / 2
// 更换为此写法则不会越界
m := i + (j - i) / 2
```
=== "JavaScript"
```javascript title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
let m = parseInt((i + j) / 2);
// 更换为此写法则不会越界
let m = parseInt(i + (j - i) / 2);
```
=== "TypeScript"
```typescript title=""
// (i + j) 有可能超出 Number 的取值范围
let m = Math.floor((i + j) / 2);
// 更换为此写法则不会越界
let m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
```
=== "C"
```c title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "C#"
```csharp title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
int m = (i + j) / 2;
// 更换为此写法则不会越界
int m = i + (j - i) / 2;
```
=== "Swift"
```swift title=""
// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
let m = (i + j) / 2
// 更换为此写法则不会越界
let m = i + (j - 1) / 2
```
=== "Zig"
```zig title=""
```
## 6.1.2. &nbsp; 左闭右开实现
我们可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。
=== "Java" === "Java"
@ -373,7 +301,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.length; int i = 0, j = nums.length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -395,7 +323,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.size(); int i = 0, j = nums.size();
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -418,12 +346,12 @@ $$
# 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） # 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j: while i < j:
m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m m = (i + j) // 2 # 计算中点索引 m
if nums[m] < target: # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if nums[m] < target:
i = m + 1 i = m + 1 # 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
elif nums[m] > target: # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 elif nums[m] > target:
j = m j = m # 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
else: # 找到目标元素，返回其索引 else:
return m return m # 找到目标元素，返回其索引
return -1 # 未找到目标元素，返回 -1 return -1 # 未找到目标元素，返回 -1
``` ```
@ -436,7 +364,7 @@ $$
i, j := 0, len(nums) i, j := 0, len(nums)
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
for i < j { for i < j {
m := (i + j) / 2 // 计算中点索引 m m := i + (j-i)/2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1 i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -461,7 +389,7 @@ $$
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
// 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整 // 计算中点索引 m ，使用 parseInt() 向下取整
const m = parseInt((i + j) / 2); const m = parseInt(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) if (nums[m] < target)
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
@ -487,7 +415,7 @@ $$
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
// 计算中点索引 m // 计算中点索引 m
const m = Math.floor((i + j) / 2); const m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
if (nums[m] < target) { if (nums[m] < target) {
// 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
@ -512,7 +440,7 @@ $$
int i = 0, j = len; int i = 0, j = len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -534,7 +462,7 @@ $$
int i = 0, j = nums.Length; int i = 0, j = nums.Length;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i < j) { while (i < j) {
int m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m int m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if (nums[m] < target) // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 else if (nums[m] > target) // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -557,7 +485,7 @@ $$
var j = nums.count var j = nums.count
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while i < j { while i < j {
let m = (i + j) / 2 // 计算中点索引 m let m = i + (j - i) / 2 // 计算中点索引 m
if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if nums[m] < target { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1 i = m + 1
} else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 } else if nums[m] > target { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -581,7 +509,7 @@ $$
var j: usize = nums.items.len; var j: usize = nums.items.len;
// 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空） // 循环，当搜索区间为空时跳出（当 i = j 时为空）
while (i <= j) { while (i <= j) {
var m = (i + j) / 2; // 计算中点索引 m var m = i + (j - i) / 2; // 计算中点索引 m
if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中 if (nums.items[m] < target) { // 此情况说明 target 在区间 [m+1, j) 中
i = m + 1; i = m + 1;
} else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中 } else if (nums.items[m] > target) { // 此情况说明 target 在区间 [i, m) 中
@ -595,26 +523,15 @@ $$
} }
``` ```
对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点： 如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
<div class="center-table" markdown>
| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 |
| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$ |
| 左闭右开 $[0, n)$ | $i = 0$ , $j = n$ | $i = m + 1$ , $j = m$ | $i = j$ |
</div>
在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。
## 6.1.3. &nbsp; 复杂度分析 在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。
**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。 ![两种区间定义](binary_search.assets/binary_search_ranges.png)
**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。 <p align="center"> Fig. 两种区间定义 </p>
## 6.1.4. &nbsp; 优点与局限性 ## 6.1.2. &nbsp; 优点与局限性
二分查找效率很高，主要体现在： 二分查找效率很高，主要体现在：

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