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nuomi1 2 years ago
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170
codes/swift/chapter_computational_complexity/time_complexity.swift
Unescape View File

@ -0,0 +1,170 @@
/*
* File: time_complexity.swift
* Created Time: 2022-12-26
* Author: nuomi1 (nuomi1@qq.com)
*/
// 常数阶
func constant(n: Int) -> Int {
var count = 0
let size = 100_000
for _ in 0 ..< size {
count += 1
}
return count
}
// 线性阶
func linear(n: Int) -> Int {
var count = 0
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
return count
}
// 线性阶（遍历数组）
func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1
}
return count
}
// 平方阶
func quadratic(n: Int) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成平方关系
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
}
return count
}
// 平方阶（冒泡排序）
func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
var count = 0 // 计数器
// 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil }) {
// 内循环：冒泡操作
for j in 0 ..< i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
// 指数阶（循环实现）
func exponential(n: Int) -> Int {
var count = 0
var base = 1
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< base {
count += 1
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
// 指数阶（递归实现）
func expRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
}
// 对数阶（循环实现）
func logarithmic(n: Int) -> Int {
var count = 0
var n = n
while n > 1 {
n = n / 2
count += 1
}
return count
}
// 对数阶（递归实现）
func logRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n: n / 2) + 1
}
// 线性对数阶
func linearLogRecur(n: Double) -> Int {
if n <= 1 {
return 1
}
var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
for _ in 0 ..< Int(n) {
count += 1
}
return count
}
// 阶乘阶（递归实现）
func factorialRecur(n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
var count = 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0 ..< n {
count += factorialRecur(n: n - 1)
}
return count
}
func main() {
// 可以修改 n 运行，体会一下各种复杂度的操作数量变化趋势
let n = 8
print("输入数据大小 n =", n)
var count = constant(n: n)
print("常数阶的计算操作数量 =", count)
count = linear(n: n)
print("线性阶的计算操作数量 =", count)
count = arrayTraversal(nums: Array(repeating: 0, count: n))
print("线性阶（遍历数组）的计算操作数量 =", count)
count = quadratic(n: n)
print("平方阶的计算操作数量 =", count)
var nums = Array(sequence(first: n, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil })) // [n,n-1,...,2,1]
count = bubbleSort(nums: &nums)
print("平方阶（冒泡排序）的计算操作数量 =", count)
count = exponential(n: n)
print("指数阶（循环实现）的计算操作数量 =", count)
count = expRecur(n: n)
print("指数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count)
count = logarithmic(n: n)
print("对数阶（循环实现）的计算操作数量 =", count)
count = logRecur(n: n)
print("对数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count)
count = linearLogRecur(n: Double(n))
print("线性对数阶（递归实现）的计算操作数量 =", count)
count = factorialRecur(n: n)
print("阶乘阶（递归实现）的计算操作数量 =", count)
}
main()

37
codes/swift/chapter_computational_complexity/worst_best_time_complexity.swift
Unescape View File

@ -0,0 +1,37 @@
/*
* File: worst_best_time_complexity.swift
* Created Time: 2022-12-26
* Author: nuomi1 (nuomi1@qq.com)
*/
// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
var nums = Array(1 ... n)
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle()
return nums
}
// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
func findOne(nums: [Int]) -> Int {
for i in nums.indices {
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
// Driver Code
func main() {
for _ in 0 ..< 10 {
let n = 100
let nums = randomNumbers(n: n)
let index = findOne(nums: nums)
print("数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums)
print("数字 1 的索引为", index)
}
}
main()

276
docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
Unescape View File

@ -111,6 +111,21 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 在某运行平台下
func algorithm(_ n: Int) {
var a = 2 // 1 ns
a = a + 1 // 1 ns
a = a * 2 // 10 ns
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // 1 ns
print(0) // 5 ns
}
}
```
但实际上， **统计算法的运行时间既不合理也不现实。** 首先，我们不希望预估时间和运行平台绑定，毕竟算法需要跑在各式各样的平台之上。其次，我们很难获知每一种操作的运行时间，这为预估过程带来了极大的难度。
## 统计时间增长趋势
@ -246,6 +261,29 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 算法 A 时间复杂度：常数阶
func algorithmA(_ n: Int) {
print(0)
}
// 算法 B 时间复杂度：线性阶
func algorithmB(_ n: Int) {
for _ in 0 ..< n {
print(0)
}
}
// 算法 C 时间复杂度：常数阶
func algorithmC(_ n: Int) {
for _ in 0 ..< 1000000 {
print(0)
}
}
```
![time_complexity_first_example](time_complexity.assets/time_complexity_first_example.png)
<p align="center"> Fig. 算法 A, B, C 的时间增长趋势 </p>
@ -352,6 +390,20 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +1
a = a + 1 // +1
a = a * 2 // +1
// 循环 n 次
for _ in 0 ..< n { // +1
print(0) // +1
}
}
```
$T(n)$ 是个一次函数，说明时间增长趋势是线性的，因此易得时间复杂度是线性阶。
我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号被称为「大 $O$ 记号 Big-$O$ Notation」，代表函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
@ -516,6 +568,25 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
func algorithm(n: Int) {
var a = 1 // +0（技巧 1）
a = a + n // +0（技巧 1）
// +n（技巧 2）
for _ in 0 ..< (5 * n + 1) {
print(0)
}
// +n*n（技巧 3）
for _ in 0 ..< (2 * n) {
for _ in 0 ..< (n + 1) {
print(0)
}
}
}
```
### 2. 判断渐近上界
**时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将处于主导作用，其它项的影响都可以被忽略。
@ -643,6 +714,20 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 常数阶
func constant(n: Int) -> Int {
var count = 0
let size = 100000
for _ in 0 ..< size {
count += 1
}
return count
}
```
### 线性阶 $O(n)$
线性阶的操作数量相对输入数据大小成线性级别增长。线性阶常出现于单层循环。
@ -726,6 +811,19 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 线性阶
func linear(n: Int) -> Int {
var count = 0
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
return count
}
```
「遍历数组」和「遍历链表」等操作，时间复杂度都为 $O(n)$ ，其中 $n$ 为数组或链表的长度。
!!! tip
@ -820,6 +918,20 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 线性阶（遍历数组）
func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成正比
for _ in nums {
count += 1
}
return count
}
```
### 平方阶 $O(n^2)$
平方阶的操作数量相对输入数据大小成平方级别增长。平方阶常出现于嵌套循环，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，总体为 $O(n^2)$ 。
@ -922,6 +1034,22 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 平方阶
func quadratic(n: Int) -> Int {
var count = 0
// 循环次数与数组长度成平方关系
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< n {
count += 1
}
}
return count
}
```
![time_complexity_constant_linear_quadratic](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
<p align="center"> Fig. 常数阶、线性阶、平方阶的时间复杂度 </p>
@ -1066,6 +1194,29 @@ $$
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 平方阶（冒泡排序）
func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int {
var count = 0 // 计数器
// 外循环：待排序元素数量为 n-1, n-2, ..., 1
for i in sequence(first: nums.count - 1, next: { $0 > 0 ? $0 - 1 : nil }) {
// 内循环：冒泡操作
for j in 0 ..< i {
if nums[j] > nums[j + 1] {
// 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
let tmp = nums[j]
nums[j] = nums[j + 1]
nums[j + 1] = tmp
count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
}
}
}
return count
}
```
### 指数阶 $O(2^n)$
!!! note
@ -1182,6 +1333,25 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 指数阶（循环实现）
func exponential(n: Int) -> Int {
var count = 0
var base = 1
// cell 每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
for _ in 0 ..< n {
for _ in 0 ..< base {
count += 1
}
base *= 2
}
// count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
return count
}
```
![time_complexity_exponential](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png)
<p align="center"> Fig. 指数阶的时间复杂度 </p>
@ -1258,6 +1428,18 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 指数阶（递归实现）
func expRecur(n: Int) -> Int {
if n == 1 {
return 1
}
return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1
}
```
### 对数阶 $O(\log n)$
对数阶与指数阶正好相反，后者反映“每轮增加到两倍的情况”，而前者反映“每轮缩减到一半的情况”。对数阶仅次于常数阶，时间增长的很慢，是理想的时间复杂度。
@ -1354,6 +1536,21 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 对数阶（循环实现）
func logarithmic(n: Int) -> Int {
var count = 0
var n = n
while n > 1 {
n = n / 2
count += 1
}
return count
}
```
![time_complexity_logarithmic](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png)
<p align="center"> Fig. 对数阶的时间复杂度 </p>
@ -1430,6 +1627,18 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 对数阶（递归实现）
func logRecur(n: Int) -> Int {
if n <= 1 {
return 0
}
return logRecur(n: n / 2) + 1
}
```
### 线性对数阶 $O(n \log n)$
线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。
@ -1531,6 +1740,22 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 线性对数阶
func linearLogRecur(n: Double) -> Int {
if n <= 1 {
return 1
}
var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2)
for _ in 0 ..< Int(n) {
count += 1
}
return count
}
```
![time_complexity_logarithmic_linear](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png)
<p align="center"> Fig. 线性对数阶的时间复杂度 </p>
@ -1640,6 +1865,23 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title="time_complexity.swift"
// 阶乘阶（递归实现）
func factorialRecur(n: Int) -> Int {
if n == 0 {
return 1
}
var count = 0
// 从 1 个分裂出 n 个
for _ in 0 ..< n {
count += factorialRecur(n: n - 1)
}
return count
}
```
![time_complexity_factorial](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
<p align="center"> Fig. 阶乘阶的时间复杂度 </p>
@ -1872,6 +2114,40 @@ $$
}
```
=== "Swift"
```swift title=""
// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
func randomNumbers(n: Int) -> [Int] {
// 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
var nums = Array(1 ... n)
// 随机打乱数组元素
nums.shuffle()
return nums
}
// 查找数组 nums 中数字 1 所在索引
func findOne(nums: [Int]) -> Int {
for i in nums.indices {
if nums[i] == 1 {
return i
}
}
return -1
}
// Driver Code
func main() {
for _ in 0 ..< 10 {
let n = 100
let nums = randomNumbers(n: n)
let index = findOne(nums: nums)
print("数组 [ 1, 2, ..., n ] 被打乱后 =", nums)
print("数字 1 的索引为", index)
}
}
```
!!! tip
我们在实际应用中很少使用「最佳时间复杂度」，因为往往只有很小概率下才能达到，会带来一定的误导性。反之，「最差时间复杂度」最为实用，因为它给出了一个“效率安全值”，让我们可以放心地使用算法。

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