Update the chapter of

introduction and complexity anylysis.

docs/chapter_computational_complexity/index.md

@@ -1,8 +1,8 @@
-# 时空复杂度
+# 复杂度分析
 
 <div class="center-table" markdown>
 
-![时空复杂度](../assets/covers/chapter_complexity_analysis.jpg){ width="600" }
+![复杂度分析](../assets/covers/chapter_complexity_analysis.jpg){ width="600" }
 
 </div>
 

docs/chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md

@@ -5,7 +5,7 @@
 1. **找到问题解法**：算法需要在规定的输入范围内，可靠地求得问题的正确解。
 2. **寻求最优解法**：同一个问题可能存在多种解法，我们希望找到尽可能高效的算法。
 
-也就是说，在能够解决问题的前提下，算法效率是衡量算法优劣的主要评价指标，它包括以下两个维度。
+也就是说，在能够解决问题的前提下，算法效率已成为衡量算法优劣的主要评价指标，它包括以下两个维度。
 
 - **时间效率**：算法运行速度的快慢。
 - **空间效率**：算法占用内存空间的大小。
@@ -20,7 +20,7 @@
 
 一方面，**难以排除测试环境的干扰因素**。硬件配置会影响算法的性能表现。比如在某台计算机中，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 短；但在另一台配置不同的计算机中，我们可能得到相反的测试结果。这意味着我们需要在各种机器上进行测试，统计平均效率，而这是不现实的。
 
-另一方面，**展开完整测试非常耗费资源**。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入数据量较小时，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 更少；而输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这样需要耗费大量的计算资源。
+另一方面，**展开完整测试非常耗费资源**。随着输入数据量的变化，算法会表现出不同的效率。例如，在输入数据量较小时，算法 `A` 的运行时间比算法 `B` 更少；而输入数据量较大时，测试结果可能恰恰相反。因此，为了得到有说服力的结论，我们需要测试各种规模的输入数据，而这需要耗费大量的计算资源。
 
 ## 理论估算
 

docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md

@@ -663,10 +663,6 @@ $$
 
 ![常见的空间复杂度类型](space_complexity.assets/space_complexity_common_types.png)
 
-!!! tip
-
-    部分示例代码需要一些前置知识，包括数组、链表、二叉树、递归算法等。如果你遇到看不懂的地方，可以在学完后面章节后再来复习。
-
 ### 常数阶 $O(1)$
 
 常数阶常见于数量与输入数据大小 $n$ 无关的常量、变量、对象。

docs/chapter_computational_complexity/summary.md

@@ -11,7 +11,7 @@
 - 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入的数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。
 - 最差时间复杂度使用大 $O$ 符号表示，对应函数渐近上界，反映当 $n$ 趋向正无穷时，操作数量 $T(n)$ 的增长级别。
 - 推算时间复杂度分为两步，首先统计操作数量，然后判断渐近上界。
-- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n \log n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$、$O(n!)$ 等。
+- 常见时间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n \log n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$ 和 $O(n!)$ 等。
 - 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。
 - 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。
 
@@ -20,7 +20,7 @@
 - 空间复杂度的作用类似于时间复杂度，用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。
 - 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。
 - 我们通常只关注最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。
-- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n^2)$、$O(2^n)$ 等。
+- 常见空间复杂度从小到大排列有 $O(1)$、$O(\log n)$、$O(n)$、$O(n^2)$ 和 $O(2^n)$ 等。
 
 ## Q & A
 
@@ -38,7 +38,7 @@
     - Java 和 C# 是面向对象的编程语言，代码块（方法）通常都是作为某个类的一部分。静态方法的行为类似于函数，因为它被绑定在类上，不能访问特定的实例变量。
     - C++ 和 Python 既支持过程式编程（函数），也支持面向对象编程（方法）。
 
-!!! question "图“空间复杂度的常见类型”反映的是否是占用空间的绝对大小？"
+!!! question "图“常见的空间复杂度类型”反映的是否是占用空间的绝对大小？"
 
     不是，该图片展示的是空间复杂度，其反映的是增长趋势，而不是占用空间的绝对大小。
     

docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md

@@ -613,18 +613,11 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
 
 我们将线性阶的时间复杂度记为 $O(n)$ ，这个数学符号称为「大 $O$ 记号 big-$O$ notation」，表示函数 $T(n)$ 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。
 
-时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界。接下来，我们来看函数渐近上界的数学定义。
+时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 $T(n)$”的渐近上界，其具有明确的数学定义。
 
 !!! abstract "函数渐近上界"
 
-    若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有
+    若存在正实数 $c$ 和实数 $n_0$ ，使得对于所有的 $n > n_0$ ，均有 $T(n) \leq c \cdot f(n)$ ，则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为 $T(n) = O(f(n))$ 。
-    $$
-    T(n) \leq c \cdot f(n)
-    $$
-    则可认为 $f(n)$ 给出了 $T(n)$ 的一个渐近上界，记为
-    $$
-    T(n) = O(f(n))
-    $$
 
 如下图所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 $f(n)$ ，使得当 $n$ 趋向于无穷大时，$T(n)$ 和 $f(n)$ 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 $c$ 的倍数。
 
@@ -642,17 +635,9 @@ $T(n)$ 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因
 
 1. **忽略 $T(n)$ 中的常数项**。因为它们都与 $n$ 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
 2. **省略所有系数**。例如，循环 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以简化记为 $n$ 次，因为 $n$ 前面的系数对时间复杂度没有影响。
-3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用上述 `1.` 和 `2.` 技巧。
+3. **循环嵌套时使用乘法**。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 `1.` 点和第 `2.` 点的技巧。、
-
-以下代码与公式分别展示了使用上述技巧前后的统计结果。两者推出的时间复杂度相同，都为 $O(n^2)$ 。
 
-$$
+给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。
-\begin{aligned}
-T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
-& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
-T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
-\end{aligned}
-$$
 
 === "Java"
 
@@ -867,6 +852,16 @@ $$
     }
     ```
 
+以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 $O(n^2)$ 。
+
+$$
+\begin{aligned}
+T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline
+& = 2n^2 + 7n + 3 \newline
+T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)}
+\end{aligned}
+$$
+
 ### 第二步：判断渐近上界
 
 **时间复杂度由多项式 $T(n)$ 中最高阶的项来决定**。这是因为在 $n$ 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。
@@ -896,15 +891,11 @@ $$
 
 ![常见的时间复杂度类型](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png)
 
-!!! tip
-
-    部分示例代码需要一些预备知识，包括数组、递归等。如果你遇到不理解的部分，可以在学完后面章节后再回顾。现阶段，请先专注于理解时间复杂度的含义和推算方法。
-
 ### 常数阶 $O(1)$
 
 常数阶的操作数量与输入数据大小 $n$ 无关，即不随着 $n$ 的变化而变化。
 
-对于以下算法，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与输入数据大小 $n$ 无关，因此时间复杂度仍为 $O(1)$ ：
+在以下函数中，尽管操作数量 `size` 可能很大，但由于其与输入数据大小 $n$ 无关，因此时间复杂度仍为 $O(1)$ ：
 
 === "Java"
 
@@ -1132,7 +1123,7 @@ $$
 
 ### 平方阶 $O(n^2)$
 
-平方阶的操作数量相对于输入数据大小以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ ：
+平方阶的操作数量相对于输入数据大小 $n$ 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 $O(n)$ ，因此总体为 $O(n^2)$ ：
 
 === "Java"
 
@@ -1776,7 +1767,7 @@ $$
 
 ## 最差、最佳、平均时间复杂度
 
-**算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，每个数字只出现一次，但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。
+**算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关**。假设输入一个长度为 $n$ 的数组 `nums` ，其中 `nums` 由从 $1$ 至 $n$ 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 $1$ 的索引。我们可以得出以下结论。
 
 - 当 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即当末尾元素是 $1$ 时，需要完整遍历数组，**达到最差时间复杂度 $O(n)$** 。
 - 当 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即当首个元素为 $1$ 时，无论数组多长都不需要继续遍历，**达到最佳时间复杂度 $\Omega(1)$** 。

docs/chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md

@@ -37,7 +37,7 @@
 
 上述整理扑克牌的方法本质上是“插入排序”算法，它在处理小型数据集时非常高效。许多编程语言的排序库函数中都存在插入排序的身影。
 
-**例三：货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品，给收银员付了 $100$ 元，则收银员需要找我们 $31$ 元。他会很自然地完成下图所示的思考。
+**例三：货币找零**。假设我们在超市购买了 $69$ 元的商品，给了收银员 $100$ 元，则收银员需要找我们 $31$ 元。他会很自然地完成如下图所示的思考。
 
 1. 可选项是比 $31$ 元面值更小的货币，包括 $1$ 元、$5$ 元、$10$ 元、$20$ 元。
 2. 从可选项中拿出最大的 $20$ 元，剩余 $31 - 20 = 11$ 元。
@@ -53,4 +53,4 @@
 
 !!! tip
 
-    如果你对数据结构、算法、数组和二分查找等概念仍感到一知半解，请不要担心，继续往下阅读，这本书将引导你迈入数据结构与算法的知识殿堂。
+    如果你对数据结构、算法、数组和二分查找等概念仍感到一知半解，请继续往下阅读，这本书将引导你迈入数据结构与算法的知识殿堂。

docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md

@@ -23,7 +23,7 @@
 
 ## 数据结构与算法的关系
 
-数据结构与算法高度相关、紧密结合，具体表现在下图所示的几个方面。
+如下图所示，数据结构与算法高度相关、紧密结合，具体表现以下三个方面。
 
 - 数据结构是算法的基石。数据结构为算法提供了结构化存储的数据，以及用于操作数据的方法。
 - 算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，结合算法才能解决特定问题。

mkdocs.yml

@@ -144,7 +144,7 @@ nav:
     - 1.1   算法无处不在: chapter_introduction/algorithms_are_everywhere.md
     - 1.2   算法是什么: chapter_introduction/what_is_dsa.md
     - 1.3   小结: chapter_introduction/summary.md
-  - 第 2 章   时空复杂度:
+  - 第 2 章   复杂度分析:
     # [icon: material/timer-sand]
     - chapter_computational_complexity/index.md
     - 2.1   算法效率评估: chapter_computational_complexity/performance_evaluation.md