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@ -51,7 +51,7 @@ comments: true
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=== "Python"
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=== "Python"
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```python title="preorder_traversal_i_compact.py"
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```python title="preorder_traversal_i_compact.py"
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def pre_order(root: TreeNode) -> None:
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|
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|
def pre_order(root: TreeNode):
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|
"""前序遍历：例题一"""
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|
|
"""前序遍历：例题一"""
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if root is None:
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|
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|
if root is None:
|
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|
return
|
|
|
|
return
|
|
|
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@ -228,7 +228,7 @@ comments: true
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=== "Python"
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=== "Python"
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```python title="preorder_traversal_ii_compact.py"
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```python title="preorder_traversal_ii_compact.py"
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def pre_order(root: TreeNode) -> None:
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|
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|
def pre_order(root: TreeNode):
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|
"""前序遍历：例题二"""
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|
|
|
"""前序遍历：例题二"""
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if root is None:
|
|
|
|
if root is None:
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|
|
return
|
|
|
|
return
|
|
|
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@ -413,12 +413,9 @@ comments: true
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!!! question "例题三"
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!!! question "例题三"
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在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，请返回根节点到这些节点的路径，**要求路径中只存在一个值为 $7$ 的节点，并且不允许有值为 $3$ 的节点**。
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在二叉树中搜索所有值为 $7$ 的节点，请返回根节点到这些节点的路径，**并要求路径中不包含值为 $3$ 的节点**。
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在例题二的基础上添加剪枝操作，包括：
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为了满足以上约束条件，**我们需要添加剪枝操作**：在搜索过程中，若遇到值为 $3$ 的节点，则提前返回，停止继续搜索。
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- 当遇到值为 $7$ 的节点时，记录解并返回，停止搜索。
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- 当遇到值为 $3$ 的节点时，则直接返回，停止搜索。
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=== "Java"
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=== "Java"
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@ -471,7 +468,7 @@ comments: true
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=== "Python"
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|
=== "Python"
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|
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```python title="preorder_traversal_iii_compact.py"
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```python title="preorder_traversal_iii_compact.py"
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|
def pre_order(root: TreeNode) -> None:
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|
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|
def pre_order(root: TreeNode):
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|
"""前序遍历：例题三"""
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|
"""前序遍历：例题三"""
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# 剪枝
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|
# 剪枝
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|
if root is None or root.val == 3:
|
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|
|
if root is None or root.val == 3:
|
|
|
|
@ -631,30 +628,13 @@ comments: true
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|
|
[class]{}-[func]{preOrder}
|
|
|
|
[class]{}-[func]{preOrder}
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```
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|
```
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剪枝是一个非常形象的名词。在搜索过程中，**我们利用约束条件“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而提升搜索效率。
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|
|
剪枝是一个非常形象的名词。在搜索过程中，**我们“剪掉”了不满足约束条件的搜索分支**，避免许多无意义的尝试，从而实现搜索效率的提高。
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<p align="center"> Fig. 根据约束条件剪枝 </p>
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<p align="center"> Fig. 根据约束条件剪枝 </p>
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## 13.1.3. 常用术语
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## 13.1.3. 框架代码
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为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。
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| 名词 | 定义 | 例题三 |
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| ------------------- | -------------------------------------------------------------------------- | -------------------------------------------------------------------- |
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| 解 Solution | 解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个 | 根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径 |
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| 约束条件 Constraint | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 路径中不包含节点 $3$ ，只包含一个节点 $7$ |
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| 状态 State | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
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| 尝试 Attempt | 尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
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| 回退 Backtracking | 回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶结点、结束结点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
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| 剪枝 Pruning | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索 |
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!!! tip
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问题、解、状态等概念是通用的，在分治、回溯、动态规划、贪心等算法中都有涉及。
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## 13.1.4. 框架代码
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|
接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。
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|
|
接下来，我们尝试将回溯的“尝试、回退、剪枝”的主体框架提炼出来，提升代码的通用性。
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
@ -669,6 +649,7 @@ comments: true
|
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|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
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|
@ -694,6 +675,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
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|
|
|
// 记录解
|
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|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -713,12 +695,13 @@ comments: true
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
=== "Python"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
```python title=""
|
|
|
|
```python title=""
|
|
|
|
def backtrack(state: State, choices: list[choice], res: list[state]) -> None:
|
|
|
|
def backtrack(state: State, choices: list[choice], res: list[state]):
|
|
|
|
"""回溯算法框架"""
|
|
|
|
"""回溯算法框架"""
|
|
|
|
# 判断是否为解
|
|
|
|
# 判断是否为解
|
|
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|
if is_solution(state):
|
|
|
|
if is_solution(state):
|
|
|
|
# 记录解
|
|
|
|
# 记录解
|
|
|
|
record_solution(state, res)
|
|
|
|
record_solution(state, res)
|
|
|
|
|
|
|
|
# 停止继续搜索
|
|
|
|
return
|
|
|
|
return
|
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
|
for choice in choices:
|
|
|
|
for choice in choices:
|
|
|
|
@ -740,6 +723,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if isSolution(state) {
|
|
|
|
if isSolution(state) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res)
|
|
|
|
recordSolution(state, res)
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return
|
|
|
|
return
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -765,6 +749,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -790,6 +775,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -815,6 +801,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res, numRes);
|
|
|
|
recordSolution(state, res, numRes);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -840,6 +827,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -865,6 +853,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if isSolution(state: state) {
|
|
|
|
if isSolution(state: state) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state: state, res: &res)
|
|
|
|
recordSolution(state: state, res: &res)
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return
|
|
|
|
return
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -896,6 +885,7 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
|
|
|
|
// 停止继续搜索
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
@ -912,7 +902,7 @@ comments: true
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
```
|
|
|
|
```
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
下面，我们基于框架代码来解决例题三：状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
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|
|
|
接下来，我们基于框架代码来解决例题三。状态 `state` 为节点遍历路径，选择 `choices` 为当前节点的左子节点和右子节点，结果 `res` 是路径列表。
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
=== "Java"
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
@ -948,7 +938,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
for (TreeNode choice : choices) {
|
|
|
|
for (TreeNode choice : choices) {
|
|
|
|
@ -999,7 +988,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
for (TreeNode *choice : choices) {
|
|
|
|
for (TreeNode *choice : choices) {
|
|
|
|
@ -1048,7 +1036,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if is_solution(state):
|
|
|
|
if is_solution(state):
|
|
|
|
# 记录解
|
|
|
|
# 记录解
|
|
|
|
record_solution(state, res)
|
|
|
|
record_solution(state, res)
|
|
|
|
return
|
|
|
|
|
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
|
# 遍历所有选择
|
|
|
|
for choice in choices:
|
|
|
|
for choice in choices:
|
|
|
|
# 剪枝：检查选择是否合法
|
|
|
|
# 剪枝：检查选择是否合法
|
|
|
|
@ -1148,7 +1135,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
for (const choice of choices) {
|
|
|
|
for (const choice of choices) {
|
|
|
|
@ -1203,7 +1189,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
for (const choice of choices) {
|
|
|
|
for (const choice of choices) {
|
|
|
|
@ -1270,7 +1255,6 @@ comments: true
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
if (isSolution(state)) {
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
// 记录解
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
recordSolution(state, res);
|
|
|
|
return;
|
|
|
|
|
|
|
|
}
|
|
|
|
}
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
// 遍历所有选择
|
|
|
|
foreach (TreeNode choice in choices) {
|
|
|
|
foreach (TreeNode choice in choices) {
|
|
|
|
@ -1320,7 +1304,6 @@ comments: true
|
|
|
|
// 检查是否为解
|
|
|
|
// 检查是否为解
|
|
|
|
if isSolution(state: state) {
|
|
|
|
if isSolution(state: state) {
|
|
|
|
recordSolution(state: state, res: &res)
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recordSolution(state: state, res: &res)
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return
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}
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}
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// 遍历所有选择
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// 遍历所有选择
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for choice in choices {
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for choice in choices {
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@ -1369,7 +1352,30 @@ comments: true
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[class]{}-[func]{backtrack}
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[class]{}-[func]{backtrack}
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```
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```
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相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**许多回溯问题都可以在该框架下解决**。我们只需根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法。
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根据题意，当找到值为 7 的节点后应该继续搜索，**因此我们需要将记录解之后的 `return` 语句删除**。下图对比了保留或删除 `return` 语句的搜索过程。
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<p align="center"> Fig. 保留与删除 return 的搜索过程对比 </p>
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相比基于前序遍历的代码实现，基于回溯算法框架的代码实现虽然显得啰嗦，但通用性更好。实际上，**许多回溯问题都可以在该框架下解决**。我们只需根据具体问题来定义 `state` 和 `choices` ，并实现框架中的各个方法即可。
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## 13.1.4. 常用术语
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为了更清晰地分析算法问题，我们总结一下回溯算法中常用术语的含义，并对照例题三给出对应示例。
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| 名词 | 定义 | 例题三 |
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| 解 Solution | 解是满足问题特定条件的答案，可能有一个或多个 | 根节点到节点 $7$ 的满足约束条件的所有路径 |
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| 约束条件 Constraint | 约束条件是问题中限制解的可行性的条件，通常用于剪枝 | 路径中不包含节点 $3$ ，只包含一个节点 $7$ |
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| 状态 State | 状态表示问题在某一时刻的情况，包括已经做出的选择 | 当前已访问的节点路径，即 `path` 节点列表 |
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| 尝试 Attempt | 尝试是根据可用选择来探索解空间的过程，包括做出选择，更新状态，检查是否为解 | 递归访问左（右）子节点，将节点添加进 `path` ，判断节点的值是否为 $7$ |
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| 回退 Backtracking | 回退指遇到不满足约束条件的状态时，撤销前面做出的选择，回到上一个状态 | 当越过叶结点、结束结点访问、遇到值为 $3$ 的节点时终止搜索，函数返回 |
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| 剪枝 Pruning | 剪枝是根据问题特性和约束条件避免无意义的搜索路径的方法，可提高搜索效率 | 当遇到值为 $3$ 的节点时，则终止继续搜索 |
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!!! tip
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问题、解、状态等概念是通用的，在分治、回溯、动态规划、贪心等算法中都有涉及。
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## 13.1.5. 优势与局限性
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## 13.1.5. 优势与局限性
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krahets
1 year ago