Add the section of hanota problem. (#614)

codes/python/chapter_divide_and_conquer/hanota.py

@@ -0,0 +1,53 @@
+"""
+File: hanota.py
+Created Time: 2023-07-16
+Author: Krahets (krahets@163.com)
+"""
+
+
+def move(src: list[int], tar: list[int]):
+    """移动一个圆盘"""
+    # 从 src 顶部拿出一个圆盘
+    pan = src.pop()
+    # 将圆盘放入 tar 顶部
+    tar.append(pan)
+
+
+def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]):
+    """求解汉诺塔：问题 f(i)"""
+    # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar
+    if i == 1:
+        move(src, tar)
+        return
+    # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf
+    dfs(i - 1, src, tar, buf)
+    # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar
+    move(src, tar)
+    # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar
+    dfs(i - 1, buf, src, tar)
+
+
+def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]):
+    """求解汉诺塔"""
+    n = len(A)
+    # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C
+    dfs(n, A, B, C)
+
+
+"""Driver Code"""
+if __name__ == "__main__":
+    # 列表尾部是柱子顶部
+    A = [5, 4, 3, 2, 1]
+    B = []
+    C = []
+    print("初始状态下：")
+    print(f"A = {A}")
+    print(f"B = {B}")
+    print(f"C = {C}")
+
+    hanota(A, B, C)
+
+    print("圆盘移动完成后：")
+    print(f"A = {A}")
+    print(f"B = {B}")
+    print(f"C = {C}")

docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md

@@ -0,0 +1,195 @@
+# 汉诺塔问题
+
+在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。
+
+!!! question
+
+    给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则：
+    
+    1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入；
+    2. 每次只能移动一个圆盘；
+    3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上；
+
+![汉诺塔问题示例](hanota_problem.assets/hanota_example.png)
+
+在本文中，**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。
+
+先考虑最简单的情况：对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 1 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f1_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f1_step2](hanota_problem.assets/hanota_f1_step2.png)
+
+对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步：
+
+1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` ；
+2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` ；
+3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` ；
+
+如下图所示，对于小圆盘的移动，**我们称 `C` 为目标柱、`B` 为缓冲柱**。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 2 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f2_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f2_step2](hanota_problem.assets/hanota_f2_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f2_step3](hanota_problem.assets/hanota_f2_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f2_step4](hanota_problem.assets/hanota_f2_step4.png)
+
+对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，我们可以从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，并执行以下步骤：
+
+1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ；
+2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 移动至 `C` ；
+3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` ；
+
+这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。
+
+=== "<1>"
+    ![规模为 3 问题的解](hanota_problem.assets/hanota_f3_step1.png)
+
+=== "<2>"
+    ![hanota_f3_step2](hanota_problem.assets/hanota_f3_step2.png)
+
+=== "<3>"
+    ![hanota_f3_step3](hanota_problem.assets/hanota_f3_step3.png)
+
+=== "<4>"
+    ![hanota_f3_step4](hanota_problem.assets/hanota_f3_step4.png)
+
+本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。**以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的**。
+
+至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：**将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。子问题的解决顺序为：
+
+1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` ；
+2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` ；
+3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` ；
+
+并且，对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。
+
+![汉诺塔问题的分治策略](hanota_problem.assets/hanota_divide_and_conquer.png)
+
+在代码实现中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="hanota.java"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="hanota.cpp"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="hanota.py"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="hanota.go"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="hanota.js"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="hanota.ts"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="hanota.c"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="hanota.cs"
+    [class]{hanota}-[func]{move}
+
+    [class]{hanota}-[func]{dfs}
+
+    [class]{hanota}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="hanota.swift"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="hanota.zig"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+=== "Dart"
+
+    ```dart title="hanota.dart"
+    [class]{}-[func]{move}
+
+    [class]{}-[func]{dfs}
+
+    [class]{}-[func]{hanota}
+    ```
+
+如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。
+
+![汉诺塔问题的递归树](hanota_problem.assets/hanota_recursive_tree.png)
+
+有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。
+
+然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。

mkdocs.yml

@@ -208,7 +208,8 @@ nav:
   - 12.     分治:
     - chapter_divide_and_conquer/index.md
     - 12.1.   分治算法（New）: chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
-    - 12.2.   构建树问题（New）: chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree.md
+    - 12.2.   构建树问题（New）: chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
+    - 12.3.   汉诺塔问题（New）: chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
   - 13.     回溯:
     - chapter_backtracking/index.md
     - 13.1.   回溯算法: chapter_backtracking/backtracking_algorithm.md