feat: add the section of Graph Traversal (#367)

* Graph dev

* Add the section of Graph Traversal.

* Add missing Vertex.java

* Add mkdocs.yml

* Update numbering

* Fix indentation and update array.md

codes/java/chapter_graph/graph_adjacency_list.java

@@ -7,19 +7,13 @@
 package chapter_graph;
 
 import java.util.*;
-
-/* 顶点类 */
-class Vertex {
-    int val;
-    public Vertex(int val) {
-        this.val = val;
-    }
-}
+import include.*;
 
 /* 基于邻接表实现的无向图类 */
 class GraphAdjList {
-    // 请注意，vertices 和 adjList 中存储的都是 Vertex 对象
-    Map<Vertex, Set<Vertex>> adjList; // 邻接表（使用哈希表实现）
+    // 邻接表，使用哈希表来代替链表，以提升删除边、删除顶点的效率
+    // 请注意，adjList 中的元素是 Vertex 对象
+    Map<Vertex, List<Vertex>> adjList;
 
     /* 构造方法 */
     public GraphAdjList(Vertex[][] edges) {
@@ -59,26 +53,26 @@ class GraphAdjList {
     public void addVertex(Vertex vet) {
         if (adjList.containsKey(vet))
             return;
-        // 在邻接表中添加一个新链表（即 HashSet）
-        adjList.put(vet, new HashSet<>());
+        // 在邻接表中添加一个新链表
+        adjList.put(vet, new ArrayList<>());
     }
 
     /* 删除顶点 */
     public void removeVertex(Vertex vet) {
         if (!adjList.containsKey(vet))
             throw new IllegalArgumentException();
-        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表（即 HashSet）
+        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
         adjList.remove(vet);
-        // 遍历其它顶点的链表（即 HashSet），删除所有包含 vet 的边
-        for (Set<Vertex> set : adjList.values()) {
-            set.remove(vet);
+        // 遍历其它顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
+        for (List<Vertex> list : adjList.values()) {
+            list.remove(vet);
         }
     }
 
     /* 打印邻接表 */
     public void print() {
         System.out.println("邻接表 =");
-        for (Map.Entry<Vertex, Set<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
+        for (Map.Entry<Vertex, List<Vertex>> entry : adjList.entrySet()) {
             List<Integer> tmp = new ArrayList<>();
             for (Vertex vertex : entry.getValue())
                 tmp.add(vertex.val);
@@ -90,25 +84,21 @@ class GraphAdjList {
 public class graph_adjacency_list {
     public static void main(String[] args) {
         /* 初始化无向图 */
-        Vertex v0 = new Vertex(1),
-               v1 = new Vertex(3),
-               v2 = new Vertex(2),
-               v3 = new Vertex(5),
-               v4 = new Vertex(4);
-        Vertex[][] edges = { { v0, v1 }, { v1, v2 }, { v2, v3 }, { v0, v3 }, { v2, v4 }, { v3, v4 } };
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 1, 3, 2, 5, 4 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, { v[2], v[3] }, { v[2], v[4] }, { v[3], v[4] } };
         GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
         System.out.println("\n初始化后，图为");
         graph.print();
 
         /* 添加边 */
-        // 顶点 1, 2 即 v0, v2
-        graph.addEdge(v0, v2);
+        // 顶点 1, 2 即 v[0], v[2]
+        graph.addEdge(v[0], v[2]);
         System.out.println("\n添加边 1-2 后，图为");
         graph.print();
 
         /* 删除边 */
-        // 顶点 1, 3 即 v0, v1
-        graph.removeEdge(v0, v1);
+        // 顶点 1, 3 即 v[0], v[1]
+        graph.removeEdge(v[0], v[1]);
         System.out.println("\n删除边 1-3 后，图为");
         graph.print();
 
@@ -119,8 +109,8 @@ public class graph_adjacency_list {
         graph.print();
 
         /* 删除顶点 */
-        // 顶点 3 即 v1
-        graph.removeVertex(v1);
+        // 顶点 3 即 v[1]
+        graph.removeVertex(v[1]);
         System.out.println("\n删除顶点 3 后，图为");
         graph.print();
     }

codes/java/chapter_graph/graph_adjacency_matrix.java

@@ -100,7 +100,7 @@ public class graph_adjacency_matrix {
         /* 初始化无向图 */
         // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
         int[] vertices = { 1, 3, 2, 5, 4 };
-        int[][] edges = { { 0, 1 }, { 1, 2 }, { 2, 3 }, { 0, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 } };
+        int[][] edges = { { 0, 1 }, { 0, 3 }, { 1, 2 }, { 2, 3 }, { 2, 4 }, { 3, 4 } };
         GraphAdjMat graph = new GraphAdjMat(vertices, edges);
         System.out.println("\n初始化后，图为");
         graph.print();

codes/java/chapter_graph/graph_bfs.java

@@ -0,0 +1,53 @@
+/**
+ * File: graph_bfs.java
+ * Created Time: 2023-02-12
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_graph;
+
+import java.util.*;
+import include.*;
+
+public class graph_bfs {
+    /* 广度优先遍历 BFS */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    static List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
+        // 队列用于实现 BFS
+        Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
+        // 以顶点 vet 为起点，循环直至访问完所有顶点
+        while (!que.isEmpty()) {
+            Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
+            res.add(vet);            // 记录访问顶点
+            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
+            for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
+                if (visited.contains(adjVet))
+                    continue;        // 跳过已被访问过的顶点
+                que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
+                visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
+            }
+        }
+        // 返回顶点遍历序列
+        return res;
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化无向图 */
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, { v[1], v[4] }, 
+                             { v[2], v[5] }, { v[3], v[4] }, { v[3], v[6] }, { v[4], v[5] },
+                             { v[4], v[7] }, { v[5], v[8] }, { v[6], v[7] }, { v[7], v[8] } };
+        GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
+        System.out.println("\n初始化后，图为");
+        graph.print();
+
+        /* 广度优先遍历 BFS */
+        List<Vertex> res = graphBFS(graph, v[0]);
+        System.out.println("\n广度优先遍历（BFS）顶点序列为");
+        System.out.println(Vertex.vetsToVals(res));
+    }
+}

codes/java/chapter_graph/graph_dfs.java

@@ -0,0 +1,51 @@
+/**
+ * File: graph_dfs.java
+ * Created Time: 2023-02-12
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_graph;
+
+import java.util.*;
+import include.*;
+
+public class graph_dfs {
+    /* 深度优先遍历 DFS 辅助函数 */
+    static void dfs(GraphAdjList graph, Set<Vertex> visited, List<Vertex> res, Vertex vet) {
+        res.add(vet);     // 记录访问顶点
+        visited.add(vet); // 标记该顶点已被访问
+        // 遍历该顶点的所有邻接顶点
+        for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
+            if (visited.contains(adjVet))
+                continue; // 跳过已被访问过的顶点
+            // 递归访问邻接顶点
+            dfs(graph, visited, res, adjVet);
+        }
+    }
+
+    /* 深度优先遍历 DFS */
+    // 使用邻接表来表示图，以便获取指定顶点的所有邻接顶点
+    static List<Vertex> graphDFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
+        // 哈希表，用于记录已被访问过的顶点
+        Set<Vertex> visited = new HashSet<>();
+        dfs(graph, visited, res, startVet);
+        return res;
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化无向图 */
+        Vertex[] v = Vertex.valsToVets(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, 
+                             { v[2], v[5] }, { v[4], v[5] }, { v[5], v[6] } };
+        GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
+        System.out.println("\n初始化后，图为");
+        graph.print();
+
+        /* 深度优先遍历 BFS */
+        List<Vertex> res = graphDFS(graph, v[0]);
+        System.out.println("\n深度优先遍历（DFS）顶点序列为");
+        System.out.println(Vertex.vetsToVals(res));
+    }
+}

codes/java/chapter_graph/graph_traversal.java

@@ -0,0 +1,70 @@
+/**
+ * File: graph_adjacency_list.java
+ * Created Time: 2023-02-12
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package chapter_graph;
+
+import java.util.*;
+
+public class graph_traversal {
+    /* 以顶点 vet 为起点，对图 graph 执行广度优先遍历 */
+    // 采用 GraphAdjList 表示图，以方便获取指定结点的所有邻接结点
+    static List<Vertex> graphBFS(GraphAdjList graph, Vertex startVet) {
+        // 顶点遍历序列
+        List<Vertex> res = new ArrayList<>();
+        // 用于记录顶点是否已被访问
+        Set<Vertex> visited = new HashSet<>() {{ add(startVet); }};
+        // 队列用于实现 BFS
+        Queue<Vertex> que = new LinkedList<>() {{ offer(startVet); }};
+        // 循环直至访问完所有顶点
+        while (!que.isEmpty()) {
+            Vertex vet = que.poll(); // 队首顶点出队
+            res.add(vet);            // 访问该顶点
+            // 遍历该顶点的所有邻接顶点
+            for (Vertex adjVet : graph.adjList.get(vet)) {
+                if (!visited.contains(adjVet)) {
+                    que.offer(adjVet);   // 只入队未访问的顶点
+                    visited.add(adjVet); // 标记该顶点已被访问
+                }
+            }
+        }
+        // 返回顶点遍历序列
+        return res;
+    }
+
+    /* 输入值列表 vals ，返回顶点列表 vets */
+    static Vertex[] valsToVets(int[] vals) {
+        Vertex[] vets = new Vertex[vals.length];
+        for (int i = 0; i < vals.length; i++) {
+            vets[i] = new Vertex(vals[i]);
+        }
+        return vets;
+    }
+
+    /* 输入顶点列表 vets ，返回值列表 vals */
+    static List<Integer> vetsToVals(List<Vertex> vets) {
+        List<Integer> vals = new ArrayList<>();
+        for (Vertex vet : vets) {
+            vals.add(vet.val);
+        }
+        return vals;
+    }
+
+    public static void main(String[] args) {
+        /* 初始化无向图 */
+        Vertex[] v = valsToVets(new int[] { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 });
+        Vertex[][] edges = { { v[0], v[1] }, { v[0], v[3] }, { v[1], v[2] }, { v[1], v[4] }, 
+                             { v[2], v[5] }, { v[3], v[4] }, { v[3], v[6] }, { v[4], v[5] },
+                             { v[4], v[7] }, { v[5], v[8] }, { v[6], v[7] }, { v[7], v[8] }};
+        GraphAdjList graph = new GraphAdjList(edges);
+        System.out.println("\n初始化后，图为");
+        graph.print();
+
+        /* 广度优先遍历 BFS */
+        List<Vertex> res = graphBFS(graph, v[0]);
+        System.out.println("\n广度优先遍历（BFS）顶点序列为");
+        System.out.println(vetsToVals(res));
+    }
+}

codes/java/include/Vertex.java

@@ -0,0 +1,35 @@
+/**
+ * File: TreeNode.java
+ * Created Time: 2022-11-25
+ * Author: Krahets (krahets@163.com)
+ */
+
+package include;
+
+import java.util.*;
+
+/* 顶点类 */
+public class Vertex {
+    public int val;
+    public Vertex(int val) {
+        this.val = val;
+    }
+
+    /* 输入值列表 vals ，返回顶点列表 vets */
+    public static Vertex[] valsToVets(int[] vals) {
+        Vertex[] vets = new Vertex[vals.length];
+        for (int i = 0; i < vals.length; i++) {
+            vets[i] = new Vertex(vals[i]);
+        }
+        return vets;
+    }
+
+    /* 输入顶点列表 vets ，返回值列表 vals */
+    public static List<Integer> vetsToVals(List<Vertex> vets) {
+        List<Integer> vals = new ArrayList<>();
+        for (Vertex vet : vets) {
+            vals.add(vet.val);
+        }
+        return vals;
+    }
+}

docs/chapter_array_and_linkedlist/array.md

@@ -14,7 +14,7 @@ comments: true
 
     观察上图，我们发现 **数组首元素的索引为 $0$** 。你可能会想，这并不符合日常习惯，首个元素的索引为什么不是 $1$ 呢，这不是更加自然吗？我认同你的想法，但请先记住这个设定，后面讲内存地址计算时，我会尝试解答这个问题。
 
-**数组有多种初始化写法**。根据实际需要，选代码最短的那一种就好。
+**数组初始化**。一般会用到无初始值、给定初始值两种写法，可根据需求选取。在不给定初始值的情况下，一般所有元素会被初始化为默认值 $0$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -28,8 +28,12 @@ comments: true
 
     ```cpp title="array.cpp"
     /* 初始化数组 */
-    int* arr = new int[5];
-    int* nums = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
+    // 存储在栈上
+    int arr[5];
+    int nums[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
+    // 存储在堆上
+    int* arr1 = new int[5];
+    int* nums1 = new int[5] { 1, 3, 2, 5, 4 };
     ```
 
 === "Python"

docs/chapter_graph/graph.md

@@ -22,15 +22,15 @@ $$
 
 根据边是否有方向，分为「无向图 Undirected Graph」和「有向图 Directed Graph」。
 
-- 在无向图中，边表示两结点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
+- 在无向图中，边表示两顶点之间“双向”的连接关系，例如微信或 QQ 中的“好友关系”；
 - 在有向图中，边是有方向的，即 $A \rightarrow B$ 和 $A \leftarrow B$ 两个方向的边是相互独立的，例如微博或抖音上的“关注”与“被关注”关系；
 
 ![directed_graph](graph.assets/directed_graph.png)
 
 根据所有顶点是否连通，分为「连通图 Connected Graph」和「非连通图 Disconnected Graph」。
 
-- 对于连通图，从某个结点出发，可以到达其余任意结点；
-- 对于非连通图，从某个结点出发，至少有一个结点无法到达；
+- 对于连通图，从某个顶点出发，可以到达其余任意顶点；
+- 对于非连通图，从某个顶点出发，至少有一个顶点无法到达；
 
 ![connected_graph](graph.assets/connected_graph.png)
 
@@ -52,6 +52,8 @@ $$
 
 设图的顶点数量为 $n$ ，「邻接矩阵 Adjacency Matrix」使用一个 $n \times n$ 大小的矩阵来表示图，每一行（列）代表一个顶点，矩阵元素代表边，使用 $1$ 或 $0$ 来表示两个顶点之间有边或无边。
 
+如下图所示，记邻接矩阵为 $M$ 、顶点列表为 $V$ ，则矩阵元素 $M[i][j] = 1$ 代表着顶点 $V[i]$ 到顶点 $V[j]$ 之间有边，相反地 $M[i][j] = 0$ 代表两顶点之间无边。
+
 ![adjacency_matrix](graph.assets/adjacency_matrix.png)
 
 邻接矩阵具有以下性质：

docs/chapter_graph/graph_operations.md

@@ -89,7 +89,7 @@ comments: true
 === "Zig"
 
     ```zig title="graph_adjacency_matrix.zig"
-
+    
     ```
 
 ## 9.2.2. 基于邻接表的实现
@@ -119,6 +119,12 @@ comments: true
 
 基于邻接表实现图的代码如下所示。
 
+!!! question "为什么需要使用顶点类 `Vertex` ？"
+
+    如果我们直接通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
+    如果建立一个顶点列表，用索引来区分不同顶点，那么假设我们想要删除索引为 `i` 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 $> i$ 的索引全部执行 $-1$ ，这样的操作是比较耗时的。
+    因此，通过引入顶点类 `Vertex` ，每个顶点都是唯一的对象，这样在删除操作时就无需改动其余顶点了。
+
 === "Java"
 
     ```java title="graph_adjacency_list.java"

docs/chapter_graph/graph_traversal.md

@@ -0,0 +1,258 @@
+---
+comments: true
+---
+
+# 9.3. 图的遍历
+
+!!! note "图与树的关系"
+
+    树代表的是“一对多”的关系，而图则自由度更高，可以代表任意“多对多”关系。本质上，**可以把树看作是图的一类特例**。那么显然，树遍历操作也是图遍历操作的一个特例，两者的方法是非常类似的，建议你在学习本章节的过程中将两者融会贯通。
+
+「图」与「树」都是非线性数据结构，都需要使用「搜索算法」来实现遍历操作。
+
+类似地，图的遍历方式也分为两种，即「广度优先遍历 Breadth-First Traversal」和「深度优先遍历 Depth-First Travsersal」，也称「广度优先搜索 Breadth-First Search」和「深度优先搜索 Depth-First Search」，简称为 BFS 和 DFS 。
+
+## 9.3.1. 广度优先遍历
+
+**广度优先遍历优是一种由近及远的遍历方式，从距离最近的顶点开始访问，并一层层向外扩张**。具体地，从某个顶点出发，先遍历该顶点的所有邻接顶点，随后遍历下个顶点的所有邻接顶点，以此类推……
+
+![graph_bfs](graph_traversal.assets/graph_bfs.png)
+
+### 算法实现
+
+BFS 常借助「队列」来实现。队列具有“先入先出”的性质，这与 BFS “由近及远”的思想是异曲同工的。
+
+1. 将遍历起始顶点 `startVet` 加入队列，并开启循环；
+2. 在循环的每轮迭代中，弹出队首顶点弹出并记录访问，并将该顶点的所有邻接顶点加入到队列尾部；
+3. 循环 `2.` ，直到所有顶点访问完成后结束。
+
+为了防止重复遍历顶点，我们需要借助一个哈希表 `visited` 来记录哪些结点已被访问。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="graph_bfs.java"
+    [class]{graph_bfs}-[func]{graphBFS}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="graph_bfs.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="graph_bfs.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="graph_bfs.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="graph_bfs.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="graph_bfs.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="graph_bfs.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="graph_bfs.cs"
+
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="graph_bfs.swift"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="graph_bfs.zig"
+
+    ```
+
+代码相对抽象，建议对照以下动画图示来加深理解。
+
+=== "Step 1"
+    ![graph_bfs_step1](graph_traversal.assets/graph_bfs_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![graph_bfs_step2](graph_traversal.assets/graph_bfs_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![graph_bfs_step3](graph_traversal.assets/graph_bfs_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![graph_bfs_step4](graph_traversal.assets/graph_bfs_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![graph_bfs_step5](graph_traversal.assets/graph_bfs_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![graph_bfs_step6](graph_traversal.assets/graph_bfs_step6.png)
+
+=== "Step 7"
+    ![graph_bfs_step7](graph_traversal.assets/graph_bfs_step7.png)
+
+=== "Step 8"
+    ![graph_bfs_step8](graph_traversal.assets/graph_bfs_step8.png)
+
+=== "Step 9"
+    ![graph_bfs_step9](graph_traversal.assets/graph_bfs_step9.png)
+
+=== "Step 10"
+    ![graph_bfs_step10](graph_traversal.assets/graph_bfs_step10.png)
+
+=== "Step 11"
+    ![graph_bfs_step11](graph_traversal.assets/graph_bfs_step11.png)
+
+!!! question "广度优先遍历的序列是否唯一？"
+
+    不唯一。广度优先遍历只要求“由近及远”，而相同距离的多个顶点的遍历顺序允许任意被打乱。以上图为例，顶点 $1$ , $3$ 的访问顺序可以交换、顶点 $2$ , $4$ , $6$ 的访问顺序也可以任意交换、以此类推……
+
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度：** 所有顶点都会入队、出队一次，使用 $O(|V|)$ 时间；在遍历邻接顶点的过程中，由于是无向图，因此所有边都会被访问 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+
+**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` ，队列 `que` 中的顶点数量最多为 $|V|$ ，使用 $O(|V|)$ 空间。
+
+## 9.3.2. 深度优先遍历
+
+**深度优先遍历是一种优先走到底、无路可走再回头的遍历方式**。具体地，从某个顶点出发，不断地访问当前结点的某个邻接顶点，直到走到尽头时回溯，再继续走到底 + 回溯，以此类推……直至所有顶点遍历完成时结束。
+
+![graph_dfs](graph_traversal.assets/graph_dfs.png)
+
+### 算法实现
+
+这种“走到头 + 回溯”的算法形式一般基于递归来实现。与 BFS 类似，在 DFS 中我们也需要借助一个哈希表 `visited` 来记录已被访问的顶点，以避免重复访问顶点。
+
+=== "Java"
+
+    ```java title="graph_dfs.java"
+    [class]{graph_dfs}-[func]{dfs}
+
+    [class]{graph_dfs}-[func]{graphDFS}
+    ```
+
+=== "C++"
+
+    ```cpp title="graph_dfs.cpp"
+
+    ```
+
+=== "Python"
+
+    ```python title="graph_dfs.py"
+
+    ```
+
+=== "Go"
+
+    ```go title="graph_dfs.go"
+
+    ```
+
+=== "JavaScript"
+
+    ```javascript title="graph_dfs.js"
+
+    ```
+
+=== "TypeScript"
+
+    ```typescript title="graph_dfs.ts"
+
+    ```
+
+=== "C"
+
+    ```c title="graph_dfs.c"
+
+    ```
+
+=== "C#"
+
+    ```csharp title="graph_dfs.cs"
+
+    ```
+
+=== "Swift"
+
+    ```swift title="graph_dfs.swift"
+
+    ```
+
+=== "Zig"
+
+    ```zig title="graph_dfs.zig"
+
+    ```
+
+深度优先遍历的算法流程如下图所示，其中
+
+- **直虚线代表向下递推**，代表开启了一个新的递归方法来访问新顶点；
+- **曲虚线代表向上回溯**，代表此递归方法已经返回，回溯到了开启此递归方法的位置；
+
+为了加深理解，请你将图示与代码结合起来，在脑中（或者用笔画下来）模拟整个 DFS 过程，包括每个递归方法何时开启、何时返回。
+
+=== "Step 1"
+    ![graph_dfs_step1](graph_traversal.assets/graph_dfs_step1.png)
+
+=== "Step 2"
+    ![graph_dfs_step2](graph_traversal.assets/graph_dfs_step2.png)
+
+=== "Step 3"
+    ![graph_dfs_step3](graph_traversal.assets/graph_dfs_step3.png)
+
+=== "Step 4"
+    ![graph_dfs_step4](graph_traversal.assets/graph_dfs_step4.png)
+
+=== "Step 5"
+    ![graph_dfs_step5](graph_traversal.assets/graph_dfs_step5.png)
+
+=== "Step 6"
+    ![graph_dfs_step6](graph_traversal.assets/graph_dfs_step6.png)
+
+=== "Step 7"
+    ![graph_dfs_step7](graph_traversal.assets/graph_dfs_step7.png)
+
+=== "Step 8"
+    ![graph_dfs_step8](graph_traversal.assets/graph_dfs_step8.png)
+
+=== "Step 9"
+    ![graph_dfs_step9](graph_traversal.assets/graph_dfs_step9.png)
+
+=== "Step 10"
+    ![graph_dfs_step10](graph_traversal.assets/graph_dfs_step10.png)
+
+=== "Step 11"
+    ![graph_dfs_step11](graph_traversal.assets/graph_dfs_step11.png)
+
+!!! question "深度优先遍历的序列是否唯一？"
+
+    与广度优先遍历类似，深度优先遍历序列的顺序也不是唯一的。给定某顶点，先往哪个方向探索都行，都是深度优先遍历。
+    
+    以树的遍历为例，“根 $\rightarrow$ 左 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”、“左 $\rightarrow$ 右 $\rightarrow$ 根”分别对应前序、中序、后序遍历，体现三种不同的遍历优先级，而三者都属于深度优先遍历。
+
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度：** 所有顶点都被访问一次；所有边都被访问了 $2$ 次，使用 $O(2|E|)$ 时间；总体使用 $O(|V| + |E|)$ 时间。
+
+**空间复杂度：** 列表 `res` ，哈希表 `visited` 顶点数量最多为 $|V|$ ，递归深度最大为 $|V|$ ，因此使用 $O(|V|)$ 空间。

docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md

@@ -4,11 +4,13 @@ comments: true
 
 # 7.2. 二叉树遍历
 
-非线性数据结构的遍历操作比线性数据结构更加复杂，往往需要使用搜索算法来实现。常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
+从物理结构角度看，树是一种基于链表的数据结构，因此遍历方式也是通过指针（即引用）逐个遍历结点。同时，树还是一种非线性数据结构，这导致遍历树比遍历链表更加复杂，需要使用搜索算法来实现。
+
+常见的二叉树遍历方式有层序遍历、前序遍历、中序遍历、后序遍历。
 
 ## 7.2.1. 层序遍历
 
-「层序遍历 Hierarchical-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
+「层序遍历 Level-Order Traversal」从顶至底、一层一层地遍历二叉树，并在每层中按照从左到右的顺序访问结点。
 
 层序遍历本质上是「广度优先搜索 Breadth-First Traversal」，其体现着一种“一圈一圈向外”的层进遍历方式。
 
@@ -16,68 +18,76 @@ comments: true
 
 <p align="center"> Fig. 二叉树的层序遍历 </p>
 
+### 实现代码
+
 广度优先遍历一般借助「队列」来实现。队列的规则是“先进先出”，广度优先遍历的规则是 ”一层层平推“ ，两者背后的思想是一致的。
 
 === "Java"
 
     ```java title="binary_tree_bfs.java"
-    [class]{binary_tree_bfs}-[func]{hierOrder}
+    [class]{binary_tree_bfs}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "C++"
 
     ```cpp title="binary_tree_bfs.cpp"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "Python"
 
     ```python title="binary_tree_bfs.py"
-    [class]{}-[func]{hier_order}
+    [class]{}-[func]{level_order}
     ```
 
 === "Go"
 
     ```go title="binary_tree_bfs.go"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "JavaScript"
 
     ```javascript title="binary_tree_bfs.js"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "TypeScript"
 
     ```typescript title="binary_tree_bfs.ts"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "C"
 
     ```c title="binary_tree_bfs.c"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "C#"
 
     ```csharp title="binary_tree_bfs.cs"
-    [class]{binary_tree_bfs}-[func]{hierOrder}
+    [class]{binary_tree_bfs}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "Swift"
 
     ```swift title="binary_tree_bfs.swift"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
 === "Zig"
 
     ```zig title="binary_tree_bfs.zig"
-    [class]{}-[func]{hierOrder}
+    [class]{}-[func]{levelOrder}
     ```
 
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
+
+**空间复杂度**：当为满二叉树时达到最差情况，遍历到最底层前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个结点，使用 $O(n)$ 空间。
+
 ## 7.2.2. 前序、中序、后序遍历
 
 相对地，前、中、后序遍历皆属于「深度优先遍历 Depth-First Traversal」，其体现着一种“先走到尽头，再回头继续”的回溯遍历方式。
@@ -98,6 +108,8 @@ comments: true
 
 </div>
 
+### 实现代码
+
 === "Java"
 
     ```java title="binary_tree_dfs.java"
@@ -201,3 +213,9 @@ comments: true
 !!! note
 
     使用循环一样可以实现前、中、后序遍历，但代码相对繁琐，有兴趣的同学可以自行实现。
+
+### 复杂度分析
+
+**时间复杂度**：所有结点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为结点数量。
+
+**空间复杂度**：当树退化为链表时达到最差情况，递归深度达到 $n$ ，系统使用 $O(n)$ 栈帧空间。

mkdocs.yml

@@ -166,7 +166,8 @@ nav:
     - 8.1. 堆（Heap）: chapter_heap/heap.md
   - 9. 图:
     - 9.1. 图（Graph）: chapter_graph/graph.md
-    - 9.2. 图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md 
+    - 9.2. 图基础操作: chapter_graph/graph_operations.md
+    - 9.3. 图的遍历: chapter_graph/graph_traversal.md
   - 10. 查找算法:
     - 10.1. 线性查找: chapter_searching/linear_search.md
     - 10.2. 二分查找: chapter_searching/binary_search.md