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@ -0,0 +1,250 @@
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comments: true
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# 13.3. N 皇后问题
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!!! question "根据国际象棋的规则，皇后可以攻击与之处在同一行或同一列或同一斜线上的棋子。给定 $n$ 个皇后和一个 $n \times n$ 大小的棋盘，寻找使得所有皇后之间无法相互攻击的摆放方案。"
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如下图所示，当 $n = 4$ 时，共可以找到两个解。从回溯算法的角度看，$n \times n$ 大小的棋盘共有 $n^2$ 个格子，给出了所有的选择 `choices` 。在逐个放置皇后的过程中，棋盘状态在不断地变化，每个时刻的棋盘就是状态 `state` 。
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<p align="center"> Fig. 4 皇后问题的解 </p>
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本题共有三个约束条件：**多个皇后不能在同一行、同一列和同一对角线**。值得注意的是，对角线分为主对角线 `\` 和副对角线 `/` 两种。
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<p align="center"> Fig. n 皇后问题的约束条件 </p>
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皇后的数量和棋盘的行数都为 $n$ ，因此我们容易得到第一个推论：**棋盘每行都允许且只允许放置一个皇后**。这意味着，我们可以采取逐行放置策略：从第一行开始，在每行放置一个皇后，直至最后一行结束。**此策略起到了剪枝的作用**，它避免了同一行出现多个皇后的所有搜索分支。
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下图展示了 $4$ 皇后问题的逐行放置过程。受篇幅限制，下图仅展开了第一行的一个搜索分支。在搜索过程中，我们将不满足列约束和对角线约束的方案都剪枝了。
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<p align="center"> Fig. 逐行放置策略 </p>
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为了实现根据列约束剪枝，我们可以利用一个长度为 $n$ 的布尔型数组 `cols` 记录每一列是否有皇后。在每次决定放置前，我们通过 `cols` 将已有皇后的列剪枝，并在回溯中动态更新 `cols` 的状态。
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那么，如何处理对角线约束呢？设棋盘中某个格子的行列索引为 `(row, col)` ，观察矩阵的某条主对角线，**我们发现该对角线上所有格子的行索引减列索引相等**，即 `row - col` 为恒定值。换句话说，若两个格子满足 `row1 - col1 == row2 - col2` ，则这两个格子一定处在一条主对角线上。
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利用该性质，我们可以借助一个数组 `diag1` 来记录每条主对角线上是否有皇后。注意，$n$ 维方阵 `row - col` 的范围是 $[-n + 1, n - 1]$ ，因此共有 $2n - 1$ 条主对角线。
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<p align="center"> Fig. 处理列约束和对角线约束 </p>
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同理，**次对角线上的所有格子的 `row + col` 是恒定值**。我们可以使用同样的方法，借助数组 `diag2` 来处理次对角线约束。
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根据以上分析，我们便可以写出 $n$ 皇后的解题代码。
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=== "Java"
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```java title="n_queens.java"
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/* 回溯算法：N 皇后 */
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void backtrack(int row, int n, List<List<String>> state, List<List<List<String>>> res,
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boolean[] cols, boolean[] diags1, boolean[] diags2) {
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// 当放置完所有行时，记录解
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if (row == n) {
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List<List<String>> copyState = new ArrayList<>();
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for (List<String> sRow : state) {
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copyState.add(new ArrayList<>(sRow));
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}
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res.add(copyState);
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return;
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}
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// 遍历所有列
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for (int col = 0; col < n; col++) {
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// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
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int diag1 = row - col + n - 1;
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int diag2 = row + col;
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// 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
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if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
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// 尝试：将皇后放置在该格子
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state.get(row).set(col, "Q");
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
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// 放置下一行
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backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
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// 回退：将该格子恢复为空位
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state.get(row).set(col, "#");
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
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}
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}
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}
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/* 求解 N 皇后 */
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List<List<List<String>>> nQueens(int n) {
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// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
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List<List<String>> state = new ArrayList<>();
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for (int i = 0; i < n; i++) {
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List<String> row = new ArrayList<>();
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for (int j = 0; j < n; j++) {
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row.add("#");
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}
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state.add(row);
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}
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boolean[] cols = new boolean[n]; // 记录列是否有皇后
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boolean[] diags1 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录主对角线是否有皇后
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boolean[] diags2 = new boolean[2 * n - 1]; // 记录副对角线是否有皇后
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List<List<List<String>>> res = new ArrayList<>();
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backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
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return res;
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}
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```
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=== "C++"
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```cpp title="n_queens.cpp"
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/* 回溯算法：N 皇后 */
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void backtrack(int row, int n, vector<vector<string>> &state, vector<vector<vector<string>>> &res, vector<bool> &cols,
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vector<bool> &diags1, vector<bool> &diags2) {
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// 当放置完所有行时，记录解
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if (row == n) {
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res.push_back(state);
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return;
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}
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// 遍历所有列
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for (int col = 0; col < n; col++) {
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// 计算该格子对应的主对角线和副对角线
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int diag1 = row - col + n - 1;
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int diag2 = row + col;
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// 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
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if (!(cols[col] || diags1[diag1] || diags2[diag2])) {
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// 尝试：将皇后放置在该格子
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state[row][col] = "Q";
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = true;
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// 放置下一行
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backtrack(row + 1, n, state, res, cols, diags1, diags2);
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// 回退：将该格子恢复为空位
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state[row][col] = "#";
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = false;
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}
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}
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|
}
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/* 求解 N 皇后 */
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vector<vector<vector<string>>> nQueens(int n) {
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// 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
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vector<vector<string>> state(n, vector<string>(n, "#"));
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vector<bool> cols(n, false); // 记录列是否有皇后
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vector<bool> diags1(2 * n - 1, false); // 记录主对角线是否有皇后
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vector<bool> diags2(2 * n - 1, false); // 记录副对角线是否有皇后
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vector<vector<vector<string>>> res;
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backtrack(0, n, state, res, cols, diags1, diags2);
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return res;
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}
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```
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=== "Python"
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```python title="n_queens.py"
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def backtrack(
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row: int,
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n: int,
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state: list[list[str]],
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cols: list[bool],
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diags1: list[bool],
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diags2: list[bool],
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res: list[list[list[str]]],
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):
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"""回溯算法：N 皇后"""
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# 当放置完所有行时，记录解
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if row == n:
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res.append([list(row) for row in state])
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return
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# 遍历所有列
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for col in range(n):
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# 计算该格子对应的主对角线和副对角线
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diag1 = row - col + n - 1
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diag2 = row + col
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# 剪枝：不允许该格子所在 (列 或 主对角线 或 副对角线) 包含皇后
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if not (cols[col] or diags1[diag1] or diags2[diag2]):
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# 尝试：将皇后放置在该格子
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state[row][col] = "Q"
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = True
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# 放置下一行
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backtrack(row + 1, n, state, cols, diags1, diags2, res)
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# 回退：将该格子恢复为空位
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state[row][col] = "#"
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cols[col] = diags1[diag1] = diags2[diag2] = False
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def n_queens(n: int) -> list[list[list[str]]]:
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"""求解 N 皇后"""
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# 初始化 n*n 大小的棋盘，其中 'Q' 代表皇后，'#' 代表空位
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state = [["#" for _ in range(n)] for _ in range(n)]
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cols = [False] * n # 记录列是否有皇后
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diags1 = [False] * (2 * n - 1) # 记录主对角线是否有皇后
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diags2 = [False] * (2 * n - 1) # 记录副对角线是否有皇后
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res = []
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backtrack(0, n, state, cols, diags1, diags2, res)
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return res
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```
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=== "Go"
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```go title="n_queens.go"
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[class]{}-[func]{backtrack}
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[class]{}-[func]{nQueens}
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```
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=== "JavaScript"
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```javascript title="n_queens.js"
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[class]{}-[func]{backtrack}
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[class]{}-[func]{nQueens}
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```
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=== "TypeScript"
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```typescript title="n_queens.ts"
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[class]{}-[func]{backtrack}
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[class]{}-[func]{nQueens}
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|
```
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=== "C"
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```c title="n_queens.c"
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[class]{}-[func]{backtrack}
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|
[class]{}-[func]{nQueens}
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|
```
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=== "C#"
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```csharp title="n_queens.cs"
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[class]{n_queens}-[func]{backtrack}
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[class]{n_queens}-[func]{nQueens}
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|
```
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=== "Swift"
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```swift title="n_queens.swift"
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|
[class]{}-[func]{backtrack}
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|
|
[class]{}-[func]{nQueens}
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|
|
```
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
=== "Zig"
|
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|
|
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|
|
|
|
```zig title="n_queens.zig"
|
|
|
|
|
[class]{}-[func]{backtrack}
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|
|
[class]{}-[func]{nQueens}
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|
```
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## 13.3.1. 复杂度分析
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逐行放置 $n$ 次，考虑列约束，则从第一行到最后一行分别有 $n, n-1, \cdots, 2, 1$ 个选择，**因此时间复杂度为 $O(n!)$** 。实际上，根据对角线约束的剪枝也能够大幅地缩小搜索空间，因而搜索效率往往优于以上时间复杂度。
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`state` 使用 $O(n^2)$ 空间，`cols` , `diags1` , `diags2` 皆使用 $O(n)$ 空间。最大递归深度为 $n$ ，使用 $O(n)$ 栈帧空间。因此，**空间复杂度为 $O(n^2)$** 。
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krahets
2 years ago