diff --git a/chapter_hashing/hash_collision.md b/chapter_hashing/hash_collision.md index 6756418fa..2c93962b2 100644 --- a/chapter_hashing/hash_collision.md +++ b/chapter_hashing/hash_collision.md @@ -10,7 +10,7 @@ comments: true 为了缓解哈希冲突，一方面，**我们可以通过哈希表扩容来减小冲突概率**。极端情况下，当输入空间和输出空间大小相等时，哈希表就等价于数组了，每个 key 都对应唯一的数组索引，可谓“大力出奇迹”。 -另一方面，**考虑通过优化哈希表的表示来缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址」和「开放寻址」。 +另一方面，**考虑通过优化哈希表的表示来缓解哈希冲突**，常见的方法有「链式地址 Separate Chaining」和「开放寻址 Open Addressing」。 ## 6.2.1.   哈希表扩容 @@ -22,7 +22,7 @@ comments: true ## 6.2.2.   链式地址 -在原始哈希表中，每个桶只能存储一个元素（即键值对）。**考虑将单个元素转化成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中**。 +在原始哈希表中，每个桶只能存储一个键值对。**链式地址考虑将单个元素转化成一个链表，将键值对作为链表结点，将所有冲突键值对都存储在一个链表中**。 ![链式地址](hash_collision.assets/hash_collision_chaining.png) @@ -31,7 +31,7 @@ comments: true 链式地址下，哈希表操作方法为： - **查询元素**：输入 key ，经过哈希函数得到数组索引，即可访问链表头结点，再通过遍历链表并对比 key 来查找键值对。 -- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头部，再将结点（即键值对）添加到链表头部即可。 +- **添加元素**：先通过哈希函数访问链表头结点，再将结点（即键值对）添加到链表即可。 - **删除元素**：同样先根据哈希函数结果访问链表头部，再遍历链表查找对应结点，删除之即可。 链式地址虽然解决了哈希冲突问题，但仍存在局限性，包括： diff --git a/chapter_sorting/bubble_sort.md b/chapter_sorting/bubble_sort.md index 9313d36b3..3419c32a5 100755 --- a/chapter_sorting/bubble_sort.md +++ b/chapter_sorting/bubble_sort.md @@ -4,15 +4,15 @@ comments: true # 11.2.   冒泡排序 -「冒泡排序 Bubble Sort」是一种最基础的排序算法，非常适合作为第一个学习的排序算法。顾名思义，「冒泡」是该算法的核心操作。 +「冒泡排序 Bubble Sort」是一种基于元素交换实现排序的算法，非常适合作为第一个学习的排序算法。 !!! question "为什么叫“冒泡”" 在水中，越大的泡泡浮力越大，所以最大的泡泡会最先浮到水面。 -「冒泡」操作则是在模拟上述过程，具体做法为：从数组最左端开始向右遍历，依次对比相邻元素大小，若 **左元素 > 右元素** 则将它俩交换，最终可将最大元素移动至数组最右端。 +「冒泡操作」则是在模拟上述过程，具体做法为：从数组最左端开始向右遍历，依次对比相邻元素大小，若“左元素 > 右元素”则将它俩交换，最终可将最大元素移动至数组最右端。 -完成此次冒泡操作后，**数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素**。 +完成一次冒泡操作后，**数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素**。 === "<1>" ![冒泡操作步骤](bubble_sort.assets/bubble_operation_step1.png) @@ -37,9 +37,11 @@ comments: true ## 11.2.1.   算法流程 -1. 设数组长度为 $n$ ，完成第一轮「冒泡」后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素。 -2. 同理，对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个。 -3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**。 +设输入数组长度为 $n$ ，循环执行「冒泡」操作： + +1. 完成第一轮「冒泡」后，数组最大元素已在正确位置，接下来只需排序剩余 $n - 1$ 个元素； +2. 对剩余 $n - 1$ 个元素执行「冒泡」，可将第二大元素交换至正确位置，因而待排序元素只剩 $n - 2$ 个； +3. 以此类推…… **循环 $n - 1$ 轮「冒泡」，即可完成整个数组的排序**； ![冒泡排序流程](bubble_sort.assets/bubble_sort_overview.png) @@ -231,21 +233,17 @@ comments: true ## 11.2.2.   算法特性 -**时间复杂度 $O(n^2)$** ：各轮「冒泡」遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。 - -**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 - -**原地排序**：指针变量仅使用常数大小额外空间。 +**时间复杂度 $O(n^2)$** ：各轮冒泡遍历的数组长度为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，因此使用 $O(n^2)$ 时间。引入下文的 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可以达到 $O(N)$ ，因此是“自适应排序”。 -**稳定排序**：不交换相等元素。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间，因此是“原地排序”。 -**自适应排序**：引入 `flag` 优化后（见下文），最佳时间复杂度为 $O(N)$ 。 +在冒泡操作中遇到相等元素不交换，因此是“稳定排序”。 ## 11.2.3.   效率优化 我们发现，若在某轮「冒泡」中未执行任何交换操作，则说明数组已经完成排序，可直接返回结果。考虑可以增加一个标志位 `flag` 来监听该情况，若出现则直接返回。 -优化后，冒泡排序的最差和平均时间复杂度仍为 $O(n^2)$ ；而在输入数组 **已排序** 时，达到 **最佳时间复杂度** $O(n)$ 。 +优化后，冒泡排序的最差和平均时间复杂度仍为 $O(n^2)$ ；而在输入数组完全有序时，达到最佳时间复杂度 $O(n)$ 。 === "Java" diff --git a/chapter_sorting/counting_sort.md b/chapter_sorting/counting_sort.md index 620deb0a5..1fff566b3 100644 --- a/chapter_sorting/counting_sort.md +++ b/chapter_sorting/counting_sort.md @@ -436,17 +436,9 @@ $$ **时间复杂度 $O(n + m)$** ：涉及遍历 `nums` 和遍历 `counter` ，都使用线性时间。一般情况下 $n \gg m$ ，此时使用线性 $O(n)$ 时间。 -**空间复杂度 $O(n + m)$** ：数组 `res` 和 `counter` 长度分别为 $n$ , $m$ 。 +**空间复杂度 $O(n + m)$** ：借助了长度分别为 $n$ , $m$ 的数组 `res` 和 `counter` ，是“非原地排序”； -**非原地排序**：借助了辅助数组 `counter` 和结果数组 `res` 的额外空间。 - -**稳定排序**：倒序遍历 `nums` 保持了相等元素的相对位置。 - -**非自适应排序**：与元素分布无关。 - -!!! question "为什么是稳定排序？" - - 由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。 +**稳定排序**：由于向 `res` 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 `nums` 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 `nums` 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。 ## 11.6.4.   局限性 diff --git a/chapter_sorting/insertion_sort.md b/chapter_sorting/insertion_sort.md index 67559b7c4..1533505e6 100755 --- a/chapter_sorting/insertion_sort.md +++ b/chapter_sorting/insertion_sort.md @@ -16,9 +16,11 @@ comments: true ## 11.3.1.   算法流程 -1. 第 1 轮先选取数组的 **第 2 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**数组前 2 个元素已完成排序**。 -2. 第 2 轮选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**数组前 3 个元素已完成排序**。 -3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行「插入操作」后，**所有元素已完成排序**。 +循环执行插入操作： + +1. 先选取数组的 **第 2 个元素** 为 `base` ，执行插入操作后，**数组前 2 个元素已完成排序**。 +2. 选取 **第 3 个元素** 为 `base` ，执行插入操作后，**数组前 3 个元素已完成排序**。 +3. 以此类推……最后一轮选取 **数组尾元素** 为 `base` ，执行插入操作后，**所有元素已完成排序**。 ![插入排序流程](insertion_sort.assets/insertion_sort_overview.png) @@ -199,27 +201,22 @@ comments: true ## 11.3.2.   算法特性 -**时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。 - -**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。 +**时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，各轮插入操作循环 $n - 1$ , $n-2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ 次，求和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ ，使用 $O(n^2)$ 时间。输入数组完全有序下，达到最佳时间复杂度 $O(n)$ ，因此是“自适应排序”。 -**原地排序**：指针变量仅使用常数大小额外空间。 +**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间，因此是“原地排序”。 -**稳定排序**：不交换相等元素。 - -**自适应排序**：最佳情况下，时间复杂度为 $O(n)$ 。 +在插入操作中，我们会将元素插入到相等元素的右边，不会改变它们的次序，因此是“稳定排序”。 ## 11.3.3.   插入排序 vs 冒泡排序 -!!! question - - 虽然「插入排序」和「冒泡排序」的时间复杂度皆为 $O(n^2)$ ，但实际运行速度却有很大差别，这是为什么呢？ +回顾「冒泡排序」和「插入排序」的复杂度分析，两者的循环轮数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。但不同的是： -回顾复杂度分析，两个方法的循环次数都是 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。但不同的是，「冒泡操作」是在做 **元素交换**，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作；而「插入操作」是在做 **赋值**，只需 1 个单元操作；因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍。 +- 冒泡操作基于 **元素交换** 实现，需要借助一个临时变量实现，共 3 个单元操作； +- 插入操作基于 **元素赋值** 实现，只需 1 个单元操作； -插入排序运行速度快，并且具有原地、稳定、自适应的优点，因此很受欢迎。实际上，包括 Java 在内的许多编程语言的排序库函数的实现都用到了插入排序。库函数的大致思路： +因此，可以粗略估计出冒泡排序的计算开销约为插入排序的 3 倍，因此更受欢迎。实际上，许多编程语言（例如 Java）的内置排序函数都使用到了插入排序，大致思路为： - 对于 **长数组**，采用基于分治的排序算法，例如「快速排序」，时间复杂度为 $O(n \log n)$ ； - 对于 **短数组**，直接使用「插入排序」，时间复杂度为 $O(n^2)$ ； -在数组较短时，复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用，此时插入排序运行地更快。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。 +**在数据量较小时插入排序更快**，这是因为复杂度中的常数项（即每轮中的单元操作数量）占主导作用。这个现象与「线性查找」和「二分查找」的情况类似。 diff --git a/chapter_sorting/merge_sort.md b/chapter_sorting/merge_sort.md index 81d6f016f..d0771fc5f 100755 --- a/chapter_sorting/merge_sort.md +++ b/chapter_sorting/merge_sort.md @@ -497,11 +497,11 @@ comments: true ## 11.5.2.   算法特性 -- **时间复杂度 $O(n \log n)$** ：划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 -- **空间复杂度 $O(n)$** ：需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 -- **非原地排序**：辅助数组需要使用 $O(n)$ 额外空间。 -- **稳定排序**：在合并时可保证相等元素的相对位置不变。 -- **非自适应排序**：对于任意输入数据，归并排序的时间复杂度皆相同。 +**时间复杂度 $O(n \log n)$** ：划分形成高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 + +**空间复杂度 $O(n)$** ：需借助辅助数组实现合并，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间，因此是“非原地排序”。 + +在合并时，不改变相等元素的次序，是“稳定排序”。 ## 11.5.3.   链表排序 * diff --git a/chapter_sorting/quick_sort.md b/chapter_sorting/quick_sort.md index 1c95f83c4..f379ffb62 100755 --- a/chapter_sorting/quick_sort.md +++ b/chapter_sorting/quick_sort.md @@ -461,17 +461,11 @@ comments: true ## 11.4.2.   算法特性 -**平均时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。 +**时间复杂度 $O(n \log n)$** ：平均情况下，哨兵划分的递归层数为 $\log n$ ，每层中的总循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n \log n)$ 时间。最差情况下，每轮哨兵划分操作都将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间，因此是“非稳定排序”。 -**最差时间复杂度 $O(n^2)$** ：最差情况下，哨兵划分操作将长度为 $n$ 的数组划分为长度为 $0$ 和 $n - 1$ 的两个子数组，此时递归层数达到 $n$ 层，每层中的循环数为 $n$ ，总体使用 $O(n^2)$ 时间。 +**空间复杂度 $O(n)$** ：输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。由于未借助辅助数组空间，因此是“原地排序”。 -**空间复杂度 $O(n)$** ：输入数组完全倒序下，达到最差递归深度 $n$ 。 - -**原地排序**：只在递归中使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间。 - -**非稳定排序**：哨兵划分操作可能改变相等元素的相对位置。 - -**自适应排序**：最差情况下，时间复杂度劣化至 $O(n^2)$ 。 +**非稳定排序**：哨兵划分最后一步可能会将基准数交换至相等元素的右边。 ## 11.4.3.   快排为什么快？