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@ -1,24 +1,30 @@
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# 二分查找
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「二分查找 Binary Search」利用数据的有序性，通过每轮减少一半搜索范围来定位目标元素。
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「二分查找 Binary Search」是一种基于分治思想的高效搜索算法。它利用数据的有序性，每轮减少一半搜索范围，实现定位目标元素。
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给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。数组索引的取值范围为：
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我们先来求解一个简单的二分查找问题。
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$$
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0, 1, 2, \cdots, n-1
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$$
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!!! question "给定一个长度为 $n$ 的有序数组 `nums` ，元素按从小到大的顺序排列。查找并返回元素 `target` 在该数组中的索引。若数组中不包含该元素，则返回 $-1$ 。数组中不包含重复元素。"
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我们通常使用以下两种方法来表示这个取值范围：
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该数组的索引范围可以使用区间 $[0, n - 1]$ 来表示。其中，**中括号表示“闭区间”，即包含边界值本身**。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时仍包含一个元素，在 $i > j$ 时为空区间。
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1. **双闭区间 $[0, n-1]$** ，即两个边界都包含自身；在此方法下，区间 $[i, i]$ 仍包含 $1$ 个元素；
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2. **左闭右开 $[0, n)$** ，即左边界包含自身、右边界不包含自身；在此方法下，区间 $[i, i)$ 不包含元素；
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接下来，我们基于上述区间定义实现二分查找。先初始化指针 $i = 0$ 和 $j = n - 1$ ，分别指向数组首元素和尾元素。之后循环执行以下两个步骤:
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## 双闭区间实现
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1. 计算中点索引 $m = \lfloor {(i + j) / 2} \rfloor$ ，其中 $\lfloor \space \rfloor$ 表示向下取整操作。
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2. 根据 `nums[m]` 和 `target` 缩小搜索区间，分为三种情况：
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1. 当 `nums[m] < target` 时，说明 `target` 在区间 $[m + 1, j]$ 中，因此执行 $i = m + 1$ ；
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2. 当 `nums[m] > target` 时，说明 `target` 在区间 $[i, m - 1]$ 中，因此执行 $j = m - 1$ ；
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3. 当 `nums[m] = target` 时，说明找到目标元素，直接返回索引 $m$ 即可；
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首先，我们采用“双闭区间”表示法，在数组 `nums` 中查找目标元素 `target` 的对应索引。
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**若数组不包含目标元素，搜索区间最终会缩小为空**，即达到 $i > j$ 。此时，终止循环并返回 $-1$ 即可。
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为了更清晰地表示区间，我们在下图中以折线图的形式表示数组。
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=== "<0>"
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=== "<1>"
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=== "<2>"
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@ -38,7 +44,9 @@ $$
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=== "<7>"
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二分查找在“双闭区间”表示下的代码如下所示。
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值得注意的是，**当数组长度 $n$ 很大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。为了避免大数越界，我们通常采用公式 $m = \lfloor {i + (j - i) / 2} \rfloor$ 来计算中点。
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有趣的是，理论上 Python 的数字可以无限大（取决于内存大小），因此无需考虑大数越界问题。
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=== "Java"
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@ -100,96 +108,15 @@ $$
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[class]{}-[func]{binarySearch}
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```
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需要注意的是，**当数组长度非常大时，加法 $i + j$ 的结果可能会超出 `int` 类型的取值范围**。在这种情况下，我们需要采用一种更安全的计算中点的方法。
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=== "Java"
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```java title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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int m = (i + j) / 2;
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// 更换为此写法则不会越界
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int m = i + (j - i) / 2;
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```
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=== "C++"
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```cpp title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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int m = (i + j) / 2;
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// 更换为此写法则不会越界
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int m = i + (j - i) / 2;
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```
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=== "Python"
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```py title=""
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# Python 中的数字理论上可以无限大（取决于内存大小）
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# 因此无需考虑大数越界问题
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```
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=== "Go"
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```go title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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m := (i + j) / 2
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// 更换为此写法则不会越界
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m := i + (j - i) / 2
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```
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时间复杂度为 $O(\log n)$ 。每轮缩小一半区间，因此二分循环次数为 $\log_2 n$ 。
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=== "JavaScript"
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空间复杂度为 $O(1)$ 。指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
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```javascript title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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let m = parseInt((i + j) / 2);
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// 更换为此写法则不会越界
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let m = parseInt(i + (j - i) / 2);
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```
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## 区间表示方法
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=== "TypeScript"
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除了上述的双闭区间外，常见的区间表示还有“左闭右开”区间，定义为 $[0, n)$ ，即左边界包含自身，右边界不包含自身。在该表示下，区间 $[i, j]$ 在 $i = j$ 时为空。
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```typescript title=""
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// (i + j) 有可能超出 Number 的取值范围
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let m = Math.floor((i + j) / 2);
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// 更换为此写法则不会越界
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let m = Math.floor(i + (j - i) / 2);
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```
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=== "C"
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```c title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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int m = (i + j) / 2;
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// 更换为此写法则不会越界
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int m = i + (j - i) / 2;
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```
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=== "C#"
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```csharp title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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int m = (i + j) / 2;
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// 更换为此写法则不会越界
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int m = i + (j - i) / 2;
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```
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=== "Swift"
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```swift title=""
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// (i + j) 有可能超出 int 的取值范围
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let m = (i + j) / 2
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// 更换为此写法则不会越界
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let m = i + (j - 1) / 2
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```
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=== "Zig"
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```zig title=""
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```
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## 左闭右开实现
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我们可以采用“左闭右开”的表示法，编写具有相同功能的二分查找代码。
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我们可以基于该表示实现具有相同功能的二分查找算法。
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=== "Java"
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@ -251,24 +178,11 @@ $$
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[class]{}-[func]{binarySearchLCRO}
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```
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对比这两种代码写法，我们可以发现以下不同点：
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<div class="center-table" markdown>
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| 表示方法 | 初始化指针 | 缩小区间 | 循环终止条件 |
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| ------------------- | ------------------- | ------------------------- | ------------ |
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| 双闭区间 $[0, n-1]$ | $i = 0$ , $j = n-1$ | $i = m + 1$ , $j = m - 1$ | $i > j$ |
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| 左闭右开 $[0, n)$ | $i = 0$ , $j = n$ | $i = m + 1$ , $j = m$ | $i = j$ |
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</div>
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在“双闭区间”表示法中，由于对左右两边界的定义相同，因此缩小区间的 $i$ 和 $j$ 的处理方法也是对称的，这样更不容易出错。因此，**建议采用“双闭区间”的写法**。
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## 复杂度分析
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如下图所示，在两种区间表示下，二分查找算法的初始化、循环条件和缩小区间操作皆有所不同。
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**时间复杂度 $O(\log n)$** ：其中 $n$ 为数组长度；每轮排除一半的区间，因此循环轮数为 $\log_2 n$ ，使用 $O(\log n)$ 时间。
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在“双闭区间”表示法中，由于左右边界都被定义为闭区间，因此指针 $i$ 和 $j$ 缩小区间操作也是对称的。这样更不容易出错。因此，**我们通常采用“双闭区间”的写法**。
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**空间复杂度 $O(1)$** ：指针 `i` , `j` 使用常数大小空间。
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## 优点与局限性
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krahets
2 years ago
