From c9daeeff2d20d28232babb07753d7a09c1cd95fd Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Fri, 21 Jul 2023 22:54:26 +0800 Subject: [PATCH] Add the section of summary of greedy. --- docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md | 4 +--- docs/chapter_greedy/summary.md | 12 ++++++++++++ mkdocs.yml | 2 ++ 3 files changed, 15 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md b/docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md index d68558dab..8609fb695 100644 --- a/docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md +++ b/docs/chapter_greedy/greedy_algorithm.md @@ -13,8 +13,6 @@ 给定 $n$ 种硬币，第 $i$ 个硬币的面值为 $coins[i - 1]$ ，目标金额为 $amt$ ，每种硬币可以重复选取，问能够凑出目标金额的最少硬币个数。如果无法凑出目标金额则返回 $-1$ 。 -贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。 - 这道题的贪心策略在生活中很常见：给定目标金额，**我们贪心地选择不大于且最接近它的硬币**，不断循环该步骤，直至凑出目标金额为止。 ![零钱兑换的贪心策略](greedy_algorithm.assets/coin_change_greedy_strategy.png) @@ -110,7 +108,7 @@ 那么问题来了，什么样的问题适合用贪心算法求解呢？或者说，贪心算法在什么情况下可以保证找到最优解？ -相较于动态规划，贪心算法的使用条件更加苛刻，其主要关心问题的两个性质： +相较于动态规划，贪心算法的使用条件更加苛刻，其主要关注问题的两个性质： - **贪心选择性质**：只有当局部最优选择始终可以导致全局最优解时，贪心算法才能保证得到最优解。 - **最优子结构**：原问题的最优解包含子问题的最优解。值得注意的是，一些问题的最优子结构并不明显，但仍然可使用贪心算法解决。 diff --git a/docs/chapter_greedy/summary.md b/docs/chapter_greedy/summary.md index e69de29bb..1cb2e7a23 100644 --- a/docs/chapter_greedy/summary.md +++ b/docs/chapter_greedy/summary.md @@ -0,0 +1,12 @@ +# 小结 + +- 贪心算法通常用于解决最优化问题，其原理是在每个决策阶段都做出局部最优的决策，以期望获得全局最优解。 +- 贪心算法会迭代地做出一个又一个的贪心选择，每轮都将问题转化成一个规模更小的子问题，直到问题被解决。 +- 贪心算法不仅实现简单，还具有很高的解题效率。相比于动态规划，贪心算法的时间复杂度通常低一个数量级。 +- 在零钱兑换问题中，对于某些硬币组合，贪心算法可以保证找到最优解；对于另外一些硬币组合则不然，贪心算法可能找到很差的解。 +- 贪心问题具有两大性质：贪心选择性质和最优子结构。贪心选择性质代表贪心策略的有效性。 +- 对于某些复杂问题，贪心选择性质的证明并不简单。相对来说，证伪更加容易，例如零钱兑换问题。 +- 求解贪心问题主要分为三步：问题分析、贪心策略确定、正确性证明。其中，贪心策略确定是核心步骤，而正确性证明是难点。 +- 分数背包问题在 0-1 背包的基础上，允许选择物品的一部分，因此可使用贪心算法求解。可以采用反证法证明贪心策略的正确性。 +- 最大容量问题可使用穷举法求解，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。通过设计贪心策略，每轮向内移动短板，可将时间复杂度优化至 $O(n)$ 。 +- 在最大切分乘积问题中，我们先后推理出两个贪心策略：$\geq 4$ 的整数都应该继续切分、最优切分因子为 $3$ ，从而得到贪心解法。代码中包含幂运算，时间复杂度取决于幂运算实现方法，通常为 $O(1)$ 或 $O(\log n)$ 。 diff --git a/mkdocs.yml b/mkdocs.yml index 93c0fc5b8..88306ba6f 100644 --- a/mkdocs.yml +++ b/mkdocs.yml @@ -273,6 +273,8 @@ nav: - 15.3.   最大容量问题: chapter_greedy/max_capacity_problem.md # [status: new] - 15.4.   最大切分乘积问题: chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md + # [status: new] + - 15.5.   小结: chapter_greedy/summary.md - 16.   附录: # [icon: material/help-circle-outline] - chapter_appendix/index.md