Fig. 构建二叉树的示例数据
@@ -31,7 +31,7 @@ comments: true 2. 查找根节点在 `inorder` 中的索引，基于该索引可将 `inorder` 划分为 `[ 9 | 3 ｜ 1 2 7 ]` ； 3. 根据 `inorder` 划分结果，可得左子树和右子树分别有 1 个和 3 个节点，从而可将 `preorder` 划分为 `[ 3 | 9 | 2 1 7 ]` ； - +Fig. 在前序和中序遍历中划分子树
@@ -55,7 +55,7 @@ comments: true 请注意，右子树根节点索引中的 $(m-l)$ 的含义是“左子树的节点数量”，建议配合下图理解。 - +Fig. 根节点和左右子树的索引区间表示
@@ -88,7 +88,7 @@ comments: true l: int, r: int, ) -> TreeNode | None: - """构建二叉树 DFS""" + """构建二叉树：分治""" # 子树区间为空时终止 if r - l < 0: return None @@ -96,9 +96,9 @@ comments: true root = TreeNode(preorder[i]) # 查询 m ，从而划分左右子树 m = hmap[preorder[i]] - # 递归构建左子树 + # 子问题：构建左子树 root.left = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1, l, m - 1) - # 递归构建右子树 + # 子问题：构建右子树 root.right = dfs(preorder, inorder, hmap, i + 1 + m - l, m + 1, r) # 返回根节点 return root @@ -178,34 +178,34 @@ comments: true 下图展示了构建二叉树的递归过程，各个节点是在向下“递”的过程中建立的，而各条边是在向上“归”的过程中建立的。 === "<1>" -  +  === "<2>" -  +  === "<3>" -  +  === "<4>" -  +  === "<5>" -  +  === "<6>" -  +  === "<7>" -  +  === "<8>" -  +  === "<9>" -  +  === "<10>" -  +  设树的节点数量为 $n$ ，初始化每一个节点（执行一个递归函数 `dfs()` ）使用 $O(1)$ 时间。**因此总体时间复杂度为 $O(n)$** 。 diff --git a/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md b/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md index 9ca8d298d..33623fa61 100644 --- a/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md +++ b/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md @@ -2,7 +2,7 @@ comments: true --- -# 12.1. 分治 +# 12.1. 分治算法 「分治 Divide and Conquer」，全称分而治之，是一种非常重要的算法策略。分治通常基于递归实现，包括“分”和“治”两部分，主要步骤如下： diff --git a/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md new file mode 100644 index 000000000..406211c50 --- /dev/null +++ b/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md @@ -0,0 +1,225 @@ +--- +comments: true +--- + +# 12.3. 汉诺塔问题 + +在归并排序和构建二叉树中，我们将原问题分解为两个规模为原问题一半的子问题。然而，对于即将介绍的汉诺塔问题，我们采用不同的分解策略。 + +!!! question + + 给定三根柱子，记为 `A` , `B` , `C` 。起始状态下，柱子 `A` 上套着 $n$ 个圆盘，它们从上到下按照从小到大的顺序排列。我们的任务是要把这 $n$ 个圆盘移到柱子 `C` 上，并保持它们的原有顺序不变。在移动圆盘的过程中，需要遵守以下规则： + + 1. 圆盘只能从一个柱子顶部拿出，从另一个柱子顶部放入； + 2. 每次只能移动一个圆盘； + 3. 小圆盘必须时刻位于大圆盘之上； + + + +Fig. 汉诺塔问题示例
+ +在本文中，**我们将规模为 $i$ 的汉诺塔问题记做 $f(i)$** 。例如 $f(3)$ 代表将 $3$ 个圆盘从 `A` 移动至 `C` 的汉诺塔问题。 + +先考虑最简单的情况：对于问题 $f(1)$ ，即当只有一个圆盘时，则将它直接从 `A` 移动至 `C` 即可。 + +=== "<1>" +  + +=== "<2>" +  + +对于问题 $f(2)$ ，即当有两个圆盘时，**由于要时刻满足小圆盘在大圆盘之上，因此需要借助 `B` 来完成移动**，包括三步： + +1. 先将上面的小圆盘从 `A` 移至 `B` ； +2. 再将大圆盘从 `A` 移至 `C` ； +3. 最后将小圆盘从 `B` 移至 `C` ； + +如下图所示，对于小圆盘的移动，**我们称 `C` 为目标柱、`B` 为缓冲柱**。 + +=== "<1>" +  + +=== "<2>" +  + +=== "<3>" +  + +=== "<4>" +  + +对于问题 $f(3)$ ，即当有三个圆盘时，情况变得稍微复杂了一些。由于已知 $f(1)$ 和 $f(2)$ 的解，我们可以从分治角度思考，**将 `A` 顶部的两个圆盘看做一个整体**，并执行以下步骤： + +1. 令 `B` 为目标柱、`C` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `A` 移动至 `B` ； +2. 将 `A` 中剩余的一个圆盘从 `A` 移动至 `C` ； +3. 令 `C` 为目标柱、`A` 为缓冲柱，将两个圆盘从 `B` 移动至 `C` ； + +这样三个圆盘就被顺利地从 `A` 移动至 `C` 了。 + +=== "<1>" +  + +=== "<2>" +  + +=== "<3>" +  + +=== "<4>" +  + +本质上看，我们将问题 $f(3)$ 划分为两个子问题 $f(2)$ 和子问题 $f(1)$。按顺序解决这三个子问题之后，原问题随之得到解决。**以上分析说明了子问题的独立性，以及解是可以合并的**。 + +至此，我们可总结出汉诺塔问题的分治策略：**将原问题 $f(n)$ 划分为两个子问题 $f(n-1)$ 和一个子问题 $f(1)$** 。子问题的解决顺序为： + +1. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `C` 从 `A` 移至 `B` ； +2. 将剩余 $1$ 个圆盘从 `A` 直接移至 `C` ； +3. 将 $n-1$ 个圆盘借助 `A` 从 `B` 移至 `C` ； + +并且，对于这两个子问题 $f(n-1)$ ，**可以通过相同的方式进行递归划分**，直至达到最小子问题 $f(1)$ 。而 $f(1)$ 的解是已知的，只需一次移动操作即可。 + + + +Fig. 汉诺塔问题的分治策略
+ +在代码实现中，我们声明一个递归函数 `dfs(i, src, buf, tar)` ，它的作用是将柱 `src` 顶部的 $i$ 个圆盘借助缓冲柱 `buf` 移动至目标柱 `tar` 。 + +=== "Java" + + ```java title="hanota.java" + [class]{hanota}-[func]{move} + + [class]{hanota}-[func]{dfs} + + [class]{hanota}-[func]{hanota} + ``` + +=== "C++" + + ```cpp title="hanota.cpp" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "Python" + + ```python title="hanota.py" + def move(src: list[int], tar: list[int]): + """移动一个圆盘""" + # 从 src 顶部拿出一个圆盘 + pan = src.pop() + # 将圆盘放入 tar 顶部 + tar.append(pan) + + def dfs(i: int, src: list[int], buf: list[int], tar: list[int]): + """求解汉诺塔：问题 f(i)""" + # 若 src 只剩下一个圆盘，则直接将其移到 tar + if i == 1: + move(src, tar) + return + # 子问题 f(i-1) ：将 src 顶部 i-1 个圆盘借助 tar 移到 buf + dfs(i - 1, src, tar, buf) + # 子问题 f(1) ：将 src 剩余一个圆盘移到 tar + move(src, tar) + # 子问题 f(i-1) ：将 buf 顶部 i-1 个圆盘借助 src 移到 tar + dfs(i - 1, buf, src, tar) + + def hanota(A: list[int], B: list[int], C: list[int]): + """求解汉诺塔""" + n = len(A) + # 将 A 顶部 n 个圆盘借助 B 移到 C + dfs(n, A, B, C) + ``` + +=== "Go" + + ```go title="hanota.go" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "JavaScript" + + ```javascript title="hanota.js" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "TypeScript" + + ```typescript title="hanota.ts" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "C" + + ```c title="hanota.c" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "C#" + + ```csharp title="hanota.cs" + [class]{hanota}-[func]{move} + + [class]{hanota}-[func]{dfs} + + [class]{hanota}-[func]{hanota} + ``` + +=== "Swift" + + ```swift title="hanota.swift" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "Zig" + + ```zig title="hanota.zig" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +=== "Dart" + + ```dart title="hanota.dart" + [class]{}-[func]{move} + + [class]{}-[func]{dfs} + + [class]{}-[func]{hanota} + ``` + +如下图所示，汉诺塔问题形成一个高度为 $n$ 的递归树，每个节点代表一个子问题、对应一个开启的 `dfs()` 函数，**因此时间复杂度为 $O(2^n)$ ，空间复杂度为 $O(n)$** 。 + + + +Fig. 汉诺塔问题的递归树
+ +有趣的是，汉诺塔问题源自一种古老的传说故事。在古印度的一个寺庙里，僧侣们有三根高大的钻石柱子，以及 $64$ 个大小不一的金圆盘。僧侣们不断地移动原盘，他们相信在最后一个圆盘被正确放置的那一刻，这个世界就会结束。 + +然而根据以上分析，即使僧侣们每秒钟移动一次，总共需要大约 $2^{64} \approx 1.84×10^{19}$ 秒，合约 $5850$ 亿年，远远超过了现在对宇宙年龄的估计。所以，倘若这个传说是真的，我们应该不需要担心世界末日的到来。 diff --git a/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md b/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md index 104e45b07..6198b9b70 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md +++ b/chapter_dynamic_programming/dp_problem_features.md @@ -148,7 +148,23 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig" - [class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDP} + // 爬楼梯最小代价：动态规划 + fn minCostClimbingStairsDP(comptime cost: []i32) i32 { + comptime var n = cost.len - 1; + if (n == 1 or n == 2) { + return cost[n]; + } + // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解 + var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1); + // 初始状态：预设最小子问题的解 + dp[1] = cost[1]; + dp[2] = cost[2]; + // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题 + for (3..n + 1) |i| { + dp[i] = @min(dp[i - 1], dp[i - 2]) + cost[i]; + } + return dp[n]; + } ``` === "Dart" @@ -264,7 +280,22 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_cost_climbing_stairs_dp.zig" - [class]{}-[func]{minCostClimbingStairsDPComp} + // 爬楼梯最小代价：状态压缩后的动态规划 + fn minCostClimbingStairsDPComp(cost: []i32) i32 { + var n = cost.len - 1; + if (n == 1 or n == 2) { + return cost[n]; + } + var a = cost[1]; + var b = cost[2]; + // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题 + for (3..n + 1) |i| { + var tmp = b; + b = @min(a, tmp) + cost[i]; + a = tmp; + } + return b; + } ``` === "Dart" @@ -439,7 +470,25 @@ $$ === "Zig" ```zig title="climbing_stairs_constraint_dp.zig" - [class]{}-[func]{climbingStairsConstraintDP} + // 带约束爬楼梯：动态规划 + fn climbingStairsConstraintDP(comptime n: usize) i32 { + if (n == 1 or n == 2) { + return @intCast(n); + } + // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解 + var dp = [_][3]i32{ [_]i32{ -1, -1, -1 } } ** (n + 1); + // 初始状态：预设最小子问题的解 + dp[1][1] = 1; + dp[1][2] = 0; + dp[2][1] = 0; + dp[2][2] = 1; + // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题 + for (3..n + 1) |i| { + dp[i][1] = dp[i - 1][2]; + dp[i][2] = dp[i - 2][1] + dp[i - 2][2]; + } + return dp[n][1] + dp[n][2]; + } ``` === "Dart" diff --git a/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md b/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md index ac03ded7f..48f822d83 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md +++ b/chapter_dynamic_programming/dp_solution_pipeline.md @@ -221,7 +221,22 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_path_sum.zig" - [class]{}-[func]{minPathSumDFS} + // 最小路径和：暴力搜索 + fn minPathSumDFS(grid: anytype, i: i32, j: i32) i32 { + // 若为左上角单元格，则终止搜索 + if (i == 0 and j == 0) { + return grid[0][0]; + } + // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价 + if (i < 0 or j < 0) { + return std.math.maxInt(i32); + } + // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价 + var left = minPathSumDFS(grid, i - 1, j); + var up = minPathSumDFS(grid, i, j - 1); + // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价 + return @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))]; + } ``` === "Dart" @@ -379,7 +394,28 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_path_sum.zig" - [class]{}-[func]{minPathSumDFSMem} + // 最小路径和：记忆化搜索 + fn minPathSumDFSMem(grid: anytype, mem: anytype, i: i32, j: i32) i32 { + // 若为左上角单元格，则终止搜索 + if (i == 0 and j == 0) { + return grid[0][0]; + } + // 若行列索引越界，则返回 +∞ 代价 + if (i < 0 or j < 0) { + return std.math.maxInt(i32); + } + // 若已有记录，则直接返回 + if (mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] != -1) { + return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))]; + } + // 计算从左上角到 (i-1, j) 和 (i, j-1) 的最小路径代价 + var left = minPathSumDFSMem(grid, mem, i - 1, j); + var up = minPathSumDFSMem(grid, mem, i, j - 1); + // 返回从左上角到 (i, j) 的最小路径代价 + // 记录并返回左上角到 (i, j) 的最小路径代价 + mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))] = @min(left, up) + grid[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))]; + return mem[@as(usize, @intCast(i))][@as(usize, @intCast(j))]; + } ``` === "Dart" @@ -534,7 +570,29 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_path_sum.zig" - [class]{}-[func]{minPathSumDP} + // 最小路径和：动态规划 + fn minPathSumDP(comptime grid: anytype) i32 { + comptime var n = grid.len; + comptime var m = grid[0].len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_][m]i32{[_]i32{0} ** m} ** n; + dp[0][0] = grid[0][0]; + // 状态转移：首行 + for (1..m) |j| { + dp[0][j] = dp[0][j - 1] + grid[0][j]; + } + // 状态转移：首列 + for (1..n) |i| { + dp[i][0] = dp[i - 1][0] + grid[i][0]; + } + // 状态转移：其余行列 + for (1..n) |i| { + for (1..m) |j| { + dp[i][j] = @min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]) + grid[i][j]; + } + } + return dp[n - 1][m - 1]; + } ``` === "Dart" @@ -718,7 +776,27 @@ $$ === "Zig" ```zig title="min_path_sum.zig" - [class]{}-[func]{minPathSumDPComp} + // 最小路径和：状态压缩后的动态规划 + fn minPathSumDPComp(comptime grid: anytype) i32 { + comptime var n = grid.len; + comptime var m = grid[0].len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_]i32{0} ** m; + // 状态转移：首行 + dp[0] = grid[0][0]; + for (1..m) |j| { + dp[j] = dp[j - 1] + grid[0][j]; + } + // 状态转移：其余行 + for (1..n) |i| { + // 状态转移：首列 + dp[0] = dp[0] + grid[i][0]; + for (1..m) |j| { + dp[j] = @min(dp[j - 1], dp[j]) + grid[i][j]; + } + } + return dp[m - 1]; + } ``` === "Dart" diff --git a/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md b/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md index 6141d20f6..f1ff0281c 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md +++ b/chapter_dynamic_programming/edit_distance_problem.md @@ -218,7 +218,32 @@ $$ === "Zig" ```zig title="edit_distance.zig" - [class]{}-[func]{editDistanceDP} + // 编辑距离：动态规划 + fn editDistanceDP(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 { + comptime var n = s.len; + comptime var m = t.len; + var dp = [_][m + 1]i32{[_]i32{0} ** (m + 1)} ** (n + 1); + // 状态转移：首行首列 + for (1..n + 1) |i| { + dp[i][0] = @intCast(i); + } + for (1..m + 1) |j| { + dp[0][j] = @intCast(j); + } + // 状态转移：其余行列 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..m + 1) |j| { + if (s[i - 1] == t[j - 1]) { + // 若两字符相等，则直接跳过此两字符 + dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]; + } else { + // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1 + dp[i][j] = @min(@min(dp[i][j - 1], dp[i - 1][j]), dp[i - 1][j - 1]) + 1; + } + } + } + return dp[n][m]; + } ``` === "Dart" @@ -438,7 +463,35 @@ $$ === "Zig" ```zig title="edit_distance.zig" - [class]{}-[func]{editDistanceDPComp} + // 编辑距离：状态压缩后的动态规划 + fn editDistanceDPComp(comptime s: []const u8, comptime t: []const u8) i32 { + comptime var n = s.len; + comptime var m = t.len; + var dp = [_]i32{0} ** (m + 1); + // 状态转移：首行 + for (1..m + 1) |j| { + dp[j] = @intCast(j); + } + // 状态转移：其余行 + for (1..n + 1) |i| { + // 状态转移：首列 + var leftup = dp[0]; // 暂存 dp[i-1, j-1] + dp[0] = @intCast(i); + // 状态转移：其余列 + for (1..m + 1) |j| { + var temp = dp[j]; + if (s[i - 1] == t[j - 1]) { + // 若两字符相等，则直接跳过此两字符 + dp[j] = leftup; + } else { + // 最少编辑步数 = 插入、删除、替换这三种操作的最少编辑步数 + 1 + dp[j] = @min(@min(dp[j - 1], dp[j]), leftup) + 1; + } + leftup = temp; // 更新为下一轮的 dp[i-1, j-1] + } + } + return dp[m]; + } ``` === "Dart" diff --git a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md index 9dfdf1358..1753b1254 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md +++ b/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md @@ -195,7 +195,16 @@ comments: true } } - [class]{}-[func]{climbingStairsBacktrack} + // 爬楼梯：回溯 + fn climbingStairsBacktrack(n: usize) !i32 { + var choices = [_]i32{ 1, 2 }; // 可选择向上爬 1 或 2 阶 + var state: i32 = 0; // 从第 0 阶开始爬 + var res = std.ArrayList(i32).init(std.heap.page_allocator); + defer res.deinit(); + try res.append(0); // 使用 res[0] 记录方案数量 + backtrack(&choices, state, @intCast(n), res); + return res.items[0]; + } ``` === "Dart" @@ -362,7 +371,10 @@ $$ return count; } - [class]{}-[func]{climbingStairsDFS} + // 爬楼梯：搜索 + fn climbingStairsDFS(comptime n: usize) i32 { + return dfs(n); + } ``` === "Dart" @@ -552,7 +564,12 @@ $$ return count; } - [class]{}-[func]{climbingStairsDFSMem} + // 爬楼梯：记忆化搜索 + fn climbingStairsDFSMem(comptime n: usize) i32 { + // mem[i] 记录爬到第 i 阶的方案总数，-1 代表无记录 + var mem = [_]i32{ -1 } ** (n + 1); + return dfs(n, &mem); + } ``` === "Dart" @@ -687,7 +704,23 @@ $$ === "Zig" ```zig title="climbing_stairs_dp.zig" - [class]{}-[func]{climbingStairsDP} + // 爬楼梯：动态规划 + fn climbingStairsDP(comptime n: usize) i32 { + // 已知 dp[1] 和 dp[2] ，返回之 + if (n == 1 or n == 2) { + return @intCast(n); + } + // 初始化 dp 表，用于存储子问题的解 + var dp = [_]i32{-1} ** (n + 1); + // 初始状态：预设最小子问题的解 + dp[1] = 1; + dp[2] = 2; + // 状态转移：从较小子问题逐步求解较大子问题 + for (3..n + 1) |i| { + dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]; + } + return dp[n]; + } ``` === "Dart" @@ -805,7 +838,20 @@ $$ === "Zig" ```zig title="climbing_stairs_dp.zig" - [class]{}-[func]{climbingStairsDPComp} + // 爬楼梯：状态压缩后的动态规划 + fn climbingStairsDPComp(comptime n: usize) i32 { + if (n == 1 or n == 2) { + return @intCast(n); + } + var a: i32 = 1; + var b: i32 = 2; + for (3..n + 1) |_| { + var tmp = b; + b = a + b; + a = tmp; + } + return b; + } ``` === "Dart" diff --git a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md index d742e2cf2..7cb4a0393 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md +++ b/chapter_dynamic_programming/knapsack_problem.md @@ -177,7 +177,22 @@ $$ === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" - [class]{}-[func]{knapsackDFS} + // 0-1 背包：暴力搜索 + fn knapsackDFS(wgt: []i32, val: []i32, i: usize, c: usize) i32 { + // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0 + if (i == 0 or c == 0) { + return 0; + } + // 若超过背包容量，则只能不放入背包 + if (wgt[i - 1] > c) { + return knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); + } + // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 + var no = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c); + var yes = knapsackDFS(wgt, val, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1]; + // 返回两种方案中价值更大的那一个 + return @max(no, yes); + } ``` === "Dart" @@ -333,7 +348,27 @@ $$ === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" - [class]{}-[func]{knapsackDFSMem} + // 0-1 背包：记忆化搜索 + fn knapsackDFSMem(wgt: []i32, val: []i32, mem: anytype, i: usize, c: usize) i32 { + // 若已选完所有物品或背包无容量，则返回价值 0 + if (i == 0 or c == 0) { + return 0; + } + // 若已有记录，则直接返回 + if (mem[i][c] != -1) { + return mem[i][c]; + } + // 若超过背包容量，则只能不放入背包 + if (wgt[i - 1] > c) { + return knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); + } + // 计算不放入和放入物品 i 的最大价值 + var no = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c); + var yes = knapsackDFSMem(wgt, val, mem, i - 1, c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))) + val[i - 1]; + // 记录并返回两种方案中价值更大的那一个 + mem[i][c] = @max(no, yes); + return mem[i][c]; + } ``` === "Dart" @@ -477,7 +512,25 @@ $$ === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" - [class]{}-[func]{knapsackDP} + // 0-1 背包：动态规划 + fn knapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { + comptime var n = wgt.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1); + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..cap + 1) |c| { + if (wgt[i - 1] > c) { + // 若超过背包容量，则不选物品 i + dp[i][c] = dp[i - 1][c]; + } else { + // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 + dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i - 1][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); + } + } + } + return dp[n][cap]; + } ``` === "Dart" @@ -679,7 +732,24 @@ $$ === "Zig" ```zig title="knapsack.zig" - [class]{}-[func]{knapsackDPComp} + // 0-1 背包：状态压缩后的动态规划 + fn knapsackDPComp(wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { + var n = wgt.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1); + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + // 倒序遍历 + var c = cap; + while (c > 0) : (c -= 1) { + if (wgt[i - 1] < c) { + // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 + dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); + } + } + } + return dp[cap]; + } ``` === "Dart" diff --git a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md index f464cd2f4..9583b169e 100644 --- a/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md +++ b/chapter_dynamic_programming/unbounded_knapsack_problem.md @@ -159,7 +159,25 @@ $$ === "Zig" ```zig title="unbounded_knapsack.zig" - [class]{}-[func]{unboundedKnapsackDP} + // 完全背包：动态规划 + fn unboundedKnapsackDP(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { + comptime var n = wgt.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_][cap + 1]i32{[_]i32{0} ** (cap + 1)} ** (n + 1); + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..cap + 1) |c| { + if (wgt[i - 1] > c) { + // 若超过背包容量，则不选物品 i + dp[i][c] = dp[i - 1][c]; + } else { + // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 + dp[i][c] = @max(dp[i - 1][c], dp[i][c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); + } + } + } + return dp[n][cap]; + } ``` === "Dart" @@ -316,7 +334,25 @@ $$ === "Zig" ```zig title="unbounded_knapsack.zig" - [class]{}-[func]{unboundedKnapsackDPComp} + // 完全背包：状态压缩后的动态规划 + fn unboundedKnapsackDPComp(comptime wgt: []i32, val: []i32, comptime cap: usize) i32 { + comptime var n = wgt.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_]i32{0} ** (cap + 1); + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..cap + 1) |c| { + if (wgt[i - 1] > c) { + // 若超过背包容量，则不选物品 i + dp[c] = dp[c]; + } else { + // 不选和选物品 i 这两种方案的较大值 + dp[c] = @max(dp[c], dp[c - @as(usize, @intCast(wgt[i - 1]))] + val[i - 1]); + } + } + } + return dp[cap]; + } ``` === "Dart" @@ -516,7 +552,34 @@ $$ === "Zig" ```zig title="coin_change.zig" - [class]{}-[func]{coinChangeDP} + // 零钱兑换：动态规划 + fn coinChangeDP(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 { + comptime var n = coins.len; + comptime var max = amt + 1; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_][amt + 1]i32{[_]i32{0} ** (amt + 1)} ** (n + 1); + // 状态转移：首行首列 + for (1..amt + 1) |a| { + dp[0][a] = max; + } + // 状态转移：其余行列 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..amt + 1) |a| { + if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) { + // 若超过背包容量，则不选硬币 i + dp[i][a] = dp[i - 1][a]; + } else { + // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值 + dp[i][a] = @min(dp[i - 1][a], dp[i][a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))] + 1); + } + } + } + if (dp[n][amt] != max) { + return @intCast(dp[n][amt]); + } else { + return -1; + } + } ``` === "Dart" @@ -710,7 +773,32 @@ $$ === "Zig" ```zig title="coin_change.zig" - [class]{}-[func]{coinChangeDPComp} + // 零钱兑换：状态压缩后的动态规划 + fn coinChangeDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 { + comptime var n = coins.len; + comptime var max = amt + 1; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_]i32{0} ** (amt + 1); + @memset(&dp, max); + dp[0] = 0; + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..amt + 1) |a| { + if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) { + // 若超过背包容量，则不选硬币 i + dp[a] = dp[a]; + } else { + // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值 + dp[a] = @min(dp[a], dp[a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))] + 1); + } + } + } + if (dp[amt] != max) { + return @intCast(dp[amt]); + } else { + return -1; + } + } ``` === "Dart" @@ -879,7 +967,29 @@ $$ === "Zig" ```zig title="coin_change_ii.zig" - [class]{}-[func]{coinChangeIIDP} + // 零钱兑换 II：动态规划 + fn coinChangeIIDP(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 { + comptime var n = coins.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_][amt + 1]i32{[_]i32{0} ** (amt + 1)} ** (n + 1); + // 初始化首列 + for (0..n + 1) |i| { + dp[i][0] = 1; + } + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..amt + 1) |a| { + if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) { + // 若超过背包容量，则不选硬币 i + dp[i][a] = dp[i - 1][a]; + } else { + // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值 + dp[i][a] = dp[i - 1][a] + dp[i][a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))]; + } + } + } + return dp[n][amt]; + } ``` === "Dart" @@ -1020,7 +1130,26 @@ $$ === "Zig" ```zig title="coin_change_ii.zig" - [class]{}-[func]{coinChangeIIDPComp} + // 零钱兑换 II：状态压缩后的动态规划 + fn coinChangeIIDPComp(comptime coins: []i32, comptime amt: usize) i32 { + comptime var n = coins.len; + // 初始化 dp 表 + var dp = [_]i32{0} ** (amt + 1); + dp[0] = 1; + // 状态转移 + for (1..n + 1) |i| { + for (1..amt + 1) |a| { + if (coins[i - 1] > @as(i32, @intCast(a))) { + // 若超过背包容量，则不选硬币 i + dp[a] = dp[a]; + } else { + // 不选和选硬币 i 这两种方案的较小值 + dp[a] = dp[a] + dp[a - @as(usize, @intCast(coins[i - 1]))]; + } + } + } + return dp[amt]; + } ``` === "Dart"