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docs/chapter_hashing/hash_collision.md

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 # 哈希冲突处理
 
+理想情况下，哈希函数应该为每个输入产生唯一的输出，使得 key 和 value 一一对应。而实际上，可能存在多个输入产生相同输出的情况，即 key 和 value 存在多对一的关系，即「哈希冲突 Hash Collision」。
 
+「哈希冲突」会严重影响哈希表的实用性。试想一下，如果在哈希表中总是查找到错误的结果，亦或无法新建冲突的键值对，那么我们肯定不会继续使用这样的数据结构了。
 
-## 链地址法
+即使我们设计了一个足够好的「哈希函数」，仍然无法杜绝哈希冲突问题，这是因为：
 
+- 哈希表的桶（地址）的大小是有限的，在数据量足够大时，
+- 尽量使哈希冲突均匀分布，
 
+哈希冲突的常见的解决方案有「链式地址」和「开放寻址」。
 
-## 开放定址法
+## 链式地址
 
+「链式地址」通过引入链表来解决哈希冲突问题，代价是占用空间变大，因为链表或二叉树包含结点指针，相比于数组更加耗费内存空间。
 
+### 链表
 
-## 再哈希法
+原始哈希表中一个桶地址只能存储一个元素（即键值对），因此无法处理冲突。「链式地址」考虑将桶地址内的单个元素转变成一个链表，将所有冲突元素都存储在一个链表中。 
+
+- **查询元素：** 先将 key 输入到哈希函数得到桶地址（即访问链表头部），再遍历链表来确定对应的 value 。
+- **添加元素：** 先通过哈希函数访问链表头部，再将元素直接添加到链表头部即可。
+- **删除元素：** 同样先访问链表头部，再遍历链表查找对应元素，删除之即可。
+
+（图）
+
+### 二叉树
+
+引入链表虽然解决了哈希冲突，但查询效率也随之降低了，因为需要线性查找（即遍历链表）来确认对应元素。为了缓解此问题，当某个桶地址内的链表太长时，可以将链表转化为「平衡二叉搜索树」，将时间复杂度降低至 $O(\log n)$ 。
+
+!!! note "工业界方案"
+
+    Java 使用了链式地址解决哈希冲突问题，并且在 JDK 1.8 之后， HashMap 内长度大于 8 的链表会被转化为「红黑树」，以提升查找性能。
+
+## 开放寻址
+
+「开放寻址」不引入额外数据结构，而是通过 “向后探测” 来解决哈希冲突。根据探测方法的不同，主要分为 **线性探测、平方探测、多次哈希**。
+
+### 线性探测
+
+「线性探测」利用线性查找来解决哈希冲突，具体为：
+
+- **插入元素：** 如果出现哈希冲突，则从冲突位置向后线性遍历（一般步长取 1 ），直到找到一个空位，则将元素插入到该空位中。
+- **查找元素：** 若出现哈希冲突，则使用相同步长执行线性查找，会遇到两种情况：
+  1. 找到对应元素，返回 value 即可；
+
+  2. 若遇到空位，则说明查找键值对不在哈希表中；
+
+
+（图）
+
+线性探测有以下缺陷：
+
+- 不能直接删除元素。删除元素后，桶内出现一个空槽，在查找其他元素时，该空槽有可能导致程序认为元素不存在（即上述第 `2.` 种情况）。因此，需要借助额外的 `flag` 来标记删除元素。
+- 容易产生聚集。桶内被占用的连续位置越长，这些连续位置发生哈希冲突的可能性越大，从而进一步促进这一位置的 “聚堆生长” ，最终导致增删查改操作效率的劣化。
+
+### 多次哈希
+
+顾名思义，「多次哈希」的思路是准备多个哈希函数 $f_1(x)$ , $f_2(x)$ , $f_3(x)$ , ... ，具体操作为：
+
+- **插入元素：** 若哈希函数 $f_1(x)$ 出现冲突，则尝试 $f_2(x)$ ，以此类推……直到找到空位后插入元素；
+- **查找元素：** 以相同的哈希函数顺序查找，存在两种情况：
+  1. 找到目标元素，则返回之；
+  2. 遇到空位或已尝试所有哈希函数，说明哈希表中无此元素；
+
+相比于「线性探测」，「多次哈希」方法更不容易产生聚集，代价是多个哈希函数增加了额外计算量。

docs/chapter_hashing/hash_map.md

@@ -4,7 +4,7 @@ comments: true
 
 # 哈希表
 
-哈希表通过建立「键 Key」和「值 Value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 Key ，在哈希表中查询并获取 Value ，时间复杂度为 $O(1)$ 。
+哈希表通过建立「键 key」和「值 value」之间的映射，实现高效的元素查找。具体地，输入一个 key ，在哈希表中查询并获取 value ，时间复杂度为 $O(1)$ 。
 
 例如，给定一个包含 $n$ 个学生的数据库，每个学生有 "姓名 `name` ” 和 “学号 `id` ” 两项数据，希望实现一个查询功能：**输入一个学号，返回对应的姓名**，则可以使用哈希表实现。
 
@@ -62,15 +62,15 @@ map.remove(10583);
 
 ```java
 /* 遍历哈希表 */
-// 遍历键值对 Key->Value
+// 遍历键值对 key->value
 for (Map.Entry <Integer, String> kv: map.entrySet()) {
     System.out.println(kv.getKey() + " -> " + kv.getValue());
 }
-// 单独遍历键 Key
+// 单独遍历键 key
 for (int key: map.keySet()) {
     System.out.println(key);
 }
-// 单独遍历值 Value
+// 单独遍历值 value
 for (String val: map.values()) {
     System.out.println(val);
 }
@@ -80,14 +80,14 @@ for (String val: map.values()) {
 
 哈希表中存储元素的数据结构被称为「桶 Bucket」，底层实现可能是数组、链表、二叉树（红黑树），或是它们的组合。
 
-最简单地，**我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表**。首先，将所有 Value 放入数组中，那么每个 Value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 Value 需要给定索引，而为了 **建立 Key 和索引之间的映射关系**，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
+最简单地，**我们可以仅用一个「数组」来实现哈希表**。首先，将所有 value 放入数组中，那么每个 value 在数组中都有唯一的「索引」。显然，访问 value 需要给定索引，而为了 **建立 key 和索引之间的映射关系**，我们需要使用「哈希函数 Hash Function」。
 
-设数组为 `bucket` ，哈希函数为 `f(x)` ，输入键为 `key` 。那么获取 Value 的步骤为：
+设数组为 `bucket` ，哈希函数为 `f(x)` ，输入键为 `key` 。那么获取 value 的步骤为：
 
 1. 通过哈希函数计算出索引，即 `index = f(key)` ；
 2. 通过索引在数组中获取值，即 `value = bucket[index]` ；
 
-以上述学生数据 `Key 学号 -> Value 姓名` 为例，我们可以将「哈希函数」设计为 
+以上述学生数据 `key 学号 -> value 姓名` 为例，我们可以将「哈希函数」设计为
 
 $$
 f(x) = x \% 100
@@ -151,11 +151,13 @@ class ArrayHashMap {
 
 ## 哈希冲突
 
-细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 Key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 Value 。例如，分别查询两个学号 12836 和 20336 ，则有
+细心的同学可能会发现，**哈希函数 $f(x) = x \% 100$ 会在某些情况下失效**。具体地，当输入的 key 后两位相同时，哈希函数的计算结果也相同，指向同一个 value 。例如，分别查询两个学号 12836 和 20336 ，则有
+
 $$
 f(12836) = f(20336) = 36
 $$
-导致两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的。我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」，其会严重影响查询的正确性，我们将如何避免哈希冲突的问题留在下章讨论。
+
+两个学号指向了同一个姓名，这明显是不对的，我们将这种现象称为「哈希冲突 Hash Collision」，其会严重影响查询的正确性。如何避免哈希冲突的问题将被留在下章讨论。
 
 ![hash_collision](hash_map.assets/hash_collision.png)