From d8b2eb1a3289154061e23a8785552c399844996a Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Sat, 1 Jul 2023 05:02:01 +0800 Subject: [PATCH] Fix the introduction to DP. --- .../intro_to_dynamic_programming.md | 16 ++++++++-------- docs/chapter_introduction/summary.md | 2 +- 2 files changed, 9 insertions(+), 9 deletions(-) diff --git a/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md b/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md index 8a7aa40c8..3b2e04178 100644 --- a/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md +++ b/docs/chapter_dynamic_programming/intro_to_dynamic_programming.md @@ -654,25 +654,25 @@ $$ 在该问题中，**下一步选择不能由当前状态（当前楼梯阶数）独立决定，还和前一个状态（上轮楼梯阶数）有关**。如果上一轮是跳 $1$ 阶上来的，那么下一轮就必须跳 $2$ 阶。 -不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也随之失效，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。 +不难发现，此问题已不满足无后效性，状态转移方程 $dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]$ 也失效了，因为 $dp[i-1]$ 代表本轮跳 $1$ 阶，但其中包含了许多“上一轮跳 $1$ 阶上来的”方案，而为了满足约束，我们不能将 $dp[i-1]$ 直接计入 $dp[i]$ 中。 -为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，$dp[i, j]$ 表示该状态下的方案数量。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳： +为了解决该问题，我们需要扩展状态定义：**状态 $[i, j]$ 表示处在第 $i$ 阶、并且上一轮跳了 $j$ 阶**，其中 $j \in \{1, 2\}$ 。此状态定义有效地区分了上一轮跳了 $1$ 阶还是 $2$ 阶，我们可以据此来决定下一步该怎么跳： -- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只可选择跳 $2$ 阶； -- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一步可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶； +- 当 $j$ 等于 $1$ ，即上一轮跳了 $1$ 阶时，这一轮只能选择跳 $2$ 阶； +- 当 $j$ 等于 $2$ ，即上一轮跳了 $2$ 阶时，这一轮可选择跳 $1$ 阶或跳 $2$ 阶； ![考虑约束下的递推关系](intro_to_dynamic_programming.assets/climbing_stairs_constraint_state_transfer.png) -由此，我们便能推导出以下的状态转移方程： +在该定义下，$dp[i, j]$ 表示状态 $[i, j]$ 对应的方案数。由此，我们便能推导出以下的状态转移方程： $$ \begin{cases} -dp[i][1] = dp[i-1][2] \\ -dp[i][2] = dp[i-2][1] + dp[i-2][2] +dp[i, 1] = dp[i-1, 2] \\ +dp[i, 2] = dp[i-2, 1] + dp[i-2, 2] \end{cases} $$ -最终，返回 $dp[n][1] + dp[n][2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。 +最终，返回 $dp[n, 1] + dp[n, 2]$ 即可，两者之和代表爬到第 $n$ 阶的方案总数。 === "Java" diff --git a/docs/chapter_introduction/summary.md b/docs/chapter_introduction/summary.md index 08734e691..5901832b0 100644 --- a/docs/chapter_introduction/summary.md +++ b/docs/chapter_introduction/summary.md @@ -1,6 +1,6 @@ # 小结 -- 算法在日常生活中无处不在，并不是遥不可及的高深知识。实际上，我们已经在不知不觉中学习了许多“算法”，用以解决生活中的大小问题。 +- 算法在日常生活中无处不在，并不是遥不可及的高深知识。实际上，我们已经在不知不觉中学会了许多算法，用以解决生活中的大小问题。 - 查阅字典的原理与二分查找算法相一致。二分查找体现了分而治之的重要算法思想。 - 算法是在有限时间内解决特定问题的一组指令或操作步骤，而数据结构是计算机中组织和存储数据的方式。 - 数据结构与算法紧密相连。数据结构是算法的基石，而算法则是发挥数据结构作用的舞台。