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hello-algo
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pull/645/head
krahets 1 year ago
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docs/chapter_divide_and_conquer/build_binary_tree_problem.md
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@ -86,7 +86,7 @@
=== "Go" === "Go"
```go title="build_tree.go" ```go title="build_tree.go"
[class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{dfsBuildTree}
[class]{}-[func]{buildTree} [class]{}-[func]{buildTree}
``` ```

2
docs/chapter_divide_and_conquer/hanota_problem.md
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@ -117,7 +117,7 @@
```go title="hanota.go" ```go title="hanota.go"
[class]{}-[func]{move} [class]{}-[func]{move}
[class]{}-[func]{dfs} [class]{}-[func]{dfsHanota}
[class]{}-[func]{hanota} [class]{}-[func]{hanota}
``` ```

6
docs/chapter_greedy/fractional_knapsack_problem.md
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@ -8,8 +8,6 @@
![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png) ![分数背包问题的示例数据](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_example.png)
### 第一步：问题分析
本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。 本题和 0-1 背包整体上非常相似，状态包含当前物品 $i$ 和容量 $c$ ，目标是求不超过背包容量下的最大价值。
不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有： 不同点在于，本题允许只选择物品的一部分，我们可以对物品任意地进行切分，并按照重量比例来计算物品价值，因此有：
@ -19,7 +17,7 @@
![物品在单位重量下的价值](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png) ![物品在单位重量下的价值](fractional_knapsack_problem.assets/fractional_knapsack_unit_value.png)
### 第二步：贪心策略确定 ### 贪心策略确定
最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略： 最大化背包内物品总价值，**本质上是要最大化单位重量下的物品价值**。由此便可推出本题的贪心策略：
@ -123,7 +121,7 @@
最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。 最差情况下，需要遍历整个物品列表，**因此时间复杂度为 $O(n)$** ，其中 $n$ 为物品数量。由于初始化了一个 `Item` 对象列表，**因此空间复杂度为 $O(n)$** 。
### 第三步：正确性证明 ### 正确性证明
采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。 采用反证法。假设物品 $x$ 是单位价值最高的物品，使用某算法求得最大价值为 $res$ ，但该解中不包含物品 $x$ 。

6
docs/chapter_greedy/max_capacity_problem.md
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@ -8,8 +8,6 @@
![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png) ![最大容量问题的示例数据](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png)
### 第一步：问题分析
容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。 容器由任意两个隔板围成，**因此本题的状态为两个隔板的索引，记为 $[i, j]$** 。
根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式： 根据定义，容量等于高度乘以宽度，其中高度由短板决定，宽度是两隔板的索引之差。设容量为 $cap[i, j]$ ，可得计算公式：
@ -20,7 +18,7 @@ $$
设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。 设数组长度为 $n$ ，两个隔板的组合数量（即状态总数）为 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 个。最直接地，**我们可以穷举所有状态**，从而求得最大容量，时间复杂度为 $O(n^2)$ 。
### 第二步：贪心策略确定 ### 贪心策略确定
当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。 当然，这道题还有更高效率的解法。如下图所示，现选取一个状态 $[i, j]$ ，其满足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ，即 $i$ 为短板、 $j$ 为长板。
@ -141,7 +139,7 @@ $$
[class]{}-[func]{maxCapacity} [class]{}-[func]{maxCapacity}
``` ```
### 第三步：正确性证明 ### 正确性证明
之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。 之所以贪心比穷举更快，是因为每轮的贪心选择都会“跳过”一些状态。

6
docs/chapter_greedy/max_product_cutting_problem.md
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@ -4,8 +4,6 @@
给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。 给定一个正整数 $n$ ，将其切分为至少两个正整数的和，求切分后所有整数的乘积最大是多少。
### 第一步：问题分析
![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png) ![最大切分乘积的问题定义](max_product_cutting_problem.assets/max_product_cutting_definition.png)
假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即 假设我们将 $n$ 切分为 $m$ 个整数因子，其中第 $i$ 个因子记为 $n_i$ ，即
@ -22,7 +20,7 @@ $$
我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？ 我们需要思考的是：切分数量 $m$ 应该多大，每个 $n_i$ 应该是多少？
### 第二步：贪心策略确定 ### 贪心策略确定
根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较： 根据经验，两个整数的和往往比它们的积更小。假设从 $n$ 中分出一个因子 $2$ ，则它们的乘积为 $2(n-2)$ 。我们将该乘积与 $n$ 作比较：
@ -140,7 +138,7 @@ $$
变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。 变量 $a$ , $b$ 使用常数大小的额外空间，**因此空间复杂度为 $O(1)$** 。
### 第三步：正确性证明 ### 正确性证明
使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。 使用反证法，只分析 $n \geq 3$ 的情况。

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