From ecc718d0b1c2f2430e3789752bbbdf5443cdb7c0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: krahets Date: Mon, 20 Mar 2023 21:10:01 +0800 Subject: [PATCH] Update build_heap.md --- docs/chapter_heap/build_heap.md | 18 ++++++++++-------- 1 file changed, 10 insertions(+), 8 deletions(-) diff --git a/docs/chapter_heap/build_heap.md b/docs/chapter_heap/build_heap.md index defb518bf..766bf0f60 100644 --- a/docs/chapter_heap/build_heap.md +++ b/docs/chapter_heap/build_heap.md @@ -8,9 +8,11 @@ 最直接地，考虑借助「元素入堆」方法，先建立一个空堆，**再将列表元素依次入堆即可**。 +设元素数量为 $n$ ，则最后一个元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，在依次入堆时，堆的平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 + ### 基于堆化操作实现 -然而，**存在一种更加高效的建堆方法**。设元素数量为 $n$ ，我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。 +有趣的是，存在一种更加高效的建堆方法，时间复杂度可以达到 $O(n)$ 。我们先将列表所有元素原封不动添加进堆，**然后迭代地对各个结点执行「从顶至底堆化」**。当然，**无需对叶结点执行堆化**，因为其没有子结点。 === "Java" @@ -74,23 +76,23 @@ ## 复杂度分析 -对于第一种建堆方法，元素入堆的时间复杂度为 $O(\log n)$ ，而平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此该方法的总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。 - -那么，第二种建堆方法的时间复杂度是多少呢？我们来展开推算一下。 +第二种建堆方法的时间复杂度为什么是 $O(n)$ 呢？我们来展开推算一下。 - 完全二叉树中，设结点总数为 $n$ ，则叶结点数量为 $(n + 1) / 2$ ，其中 $/$ 为向下整除。因此在排除叶结点后，需要堆化结点数量为 $(n - 1)/2$ ，即为 $O(n)$ ； - 从顶至底堆化中，每个结点最多堆化至叶结点，因此最大迭代次数为二叉树高度 $O(\log n)$ ； -将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。然而，该估算结果仍不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。 +将上述两者相乘，可得时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。这个估算结果不够准确，因为我们没有考虑到 **二叉树底层结点远多于顶层结点** 的性质。 -下面我们来尝试展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到所有结点的堆化的迭代次数总和。 +下面我们来展开计算。为了减小计算难度，我们假设树是一个「完美二叉树」，该假设不会影响计算结果的正确性。设二叉树（即堆）结点数量为 $n$ ，树高度为 $h$ 。上文提到，**结点堆化最大迭代次数等于该结点到叶结点的距离，而这正是“结点高度”**。 + +![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png) + +因此，我们将各层的“结点数量 $\times$ 结点高度”求和，即可得到 **所有结点的堆化的迭代次数总和**。 $$ T(h) = 2^0h + 2^1(h-1) + 2^2(h-2) + \cdots + 2^{(h-1)}\times1 $$ -![完美二叉树的各层结点数量](build_heap.assets/heapify_operations_count.png) - 化简上式需要借助中学的数列知识，先对 $T(h)$ 乘以 $2$ ，易得 $$