From f5dda8d99a280b5ded1000e363da8b4f275d10a7 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: krahets <krahets@163.com>
Date: Mon, 21 Aug 2023 03:06:53 +0800
Subject: [PATCH] Polish the content

---
 .../space_complexity.c                        |  2 +-
 .../space_complexity.cpp                      |  2 +-
 .../space_complexity.cs                       |  2 +-
 .../space_complexity.dart                     |  2 +-
 .../space_complexity.go                       |  2 +-
 .../space_complexity.java                     |  2 +-
 .../space_complexity.js                       |  2 +-
 .../space_complexity.py                       |  2 +-
 .../space_complexity.rs                       |  2 +-
 .../space_complexity.swift                    |  2 +-
 .../space_complexity.ts                       |  2 +-
 .../space_complexity.zig                      |  2 +-
 .../space_complexity.md                       | 50 +++++++++----------
 .../time_complexity.md                        | 16 +++---
 .../divide_and_conquer.md                     |  2 +-
 docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md      |  2 +-
 docs/chapter_sorting/bubble_sort.md           |  2 +-
 docs/chapter_sorting/quick_sort.md            |  2 +-
 docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md    |  2 +-
 19 files changed, 49 insertions(+), 51 deletions(-)

diff --git a/codes/c/chapter_computational_complexity/space_complexity.c b/codes/c/chapter_computational_complexity/space_complexity.c
index f5b2141c6..8cc667d85 100644
--- a/codes/c/chapter_computational_complexity/space_complexity.c
+++ b/codes/c/chapter_computational_complexity/space_complexity.c
@@ -8,7 +8,7 @@
 
 /* 函数 */
 int func() {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/codes/cpp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cpp b/codes/cpp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cpp
index d0e284e0b..34f315e84 100644
--- a/codes/cpp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cpp
+++ b/codes/cpp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cpp
@@ -8,7 +8,7 @@
 
 /* 函数 */
 int func() {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/codes/csharp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cs b/codes/csharp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cs
index 993851a82..b88f88ea6 100644
--- a/codes/csharp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cs
+++ b/codes/csharp/chapter_computational_complexity/space_complexity.cs
@@ -9,7 +9,7 @@ namespace hello_algo.chapter_computational_complexity;
 public class space_complexity {
     /* 函数 */
     static int function() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
 
diff --git a/codes/dart/chapter_computational_complexity/space_complexity.dart b/codes/dart/chapter_computational_complexity/space_complexity.dart
index 099fcf711..b6b83fc1e 100644
--- a/codes/dart/chapter_computational_complexity/space_complexity.dart
+++ b/codes/dart/chapter_computational_complexity/space_complexity.dart
@@ -11,7 +11,7 @@ import '../utils/tree_node.dart';
 
 /* 函数 */
 int function() {
-  // do something
+  // 执行某些操作
   return 0;
 }
 
diff --git a/codes/go/chapter_computational_complexity/space_complexity.go b/codes/go/chapter_computational_complexity/space_complexity.go
index 93f5b3380..aaad21404 100644
--- a/codes/go/chapter_computational_complexity/space_complexity.go
+++ b/codes/go/chapter_computational_complexity/space_complexity.go
@@ -44,7 +44,7 @@ func printTree(root *treeNode) {
 
 /* 函数 */
 func function() int {
-	// do something...
+	// 执行某些操作...
 	return 0
 }
 
diff --git a/codes/java/chapter_computational_complexity/space_complexity.java b/codes/java/chapter_computational_complexity/space_complexity.java
index e7c0872f1..d73b8c2cb 100644
--- a/codes/java/chapter_computational_complexity/space_complexity.java
+++ b/codes/java/chapter_computational_complexity/space_complexity.java
@@ -12,7 +12,7 @@ import java.util.*;
 public class space_complexity {
     /* 函数 */
     static int function() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
 
diff --git a/codes/javascript/chapter_computational_complexity/space_complexity.js b/codes/javascript/chapter_computational_complexity/space_complexity.js
index bdbba6642..7708eaabb 100644
--- a/codes/javascript/chapter_computational_complexity/space_complexity.js
+++ b/codes/javascript/chapter_computational_complexity/space_complexity.js
@@ -10,7 +10,7 @@ const { printTree } = require('../modules/PrintUtil');
 
 /* 函数 */
 function constFunc() {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/codes/python/chapter_computational_complexity/space_complexity.py b/codes/python/chapter_computational_complexity/space_complexity.py
index dc8c9a623..6b4cb90b0 100644
--- a/codes/python/chapter_computational_complexity/space_complexity.py
+++ b/codes/python/chapter_computational_complexity/space_complexity.py
@@ -12,7 +12,7 @@ from modules import *
 
 def function() -> int:
     """函数"""
-    # do something
+    # 执行某些操作
     return 0
 
 
diff --git a/codes/rust/chapter_computational_complexity/space_complexity.rs b/codes/rust/chapter_computational_complexity/space_complexity.rs
index 82758f201..1cf8dff9b 100644
--- a/codes/rust/chapter_computational_complexity/space_complexity.rs
+++ b/codes/rust/chapter_computational_complexity/space_complexity.rs
@@ -14,7 +14,7 @@ use tree_node::TreeNode;
 
 /* 函数 */
 fn function() ->i32 {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/codes/swift/chapter_computational_complexity/space_complexity.swift b/codes/swift/chapter_computational_complexity/space_complexity.swift
index fdd29f8e2..e35429ba4 100644
--- a/codes/swift/chapter_computational_complexity/space_complexity.swift
+++ b/codes/swift/chapter_computational_complexity/space_complexity.swift
@@ -9,7 +9,7 @@ import utils
 /* 函数 */
 @discardableResult
 func function() -> Int {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0
 }
 
diff --git a/codes/typescript/chapter_computational_complexity/space_complexity.ts b/codes/typescript/chapter_computational_complexity/space_complexity.ts
index 8324d4ca2..ab4849781 100644
--- a/codes/typescript/chapter_computational_complexity/space_complexity.ts
+++ b/codes/typescript/chapter_computational_complexity/space_complexity.ts
@@ -10,7 +10,7 @@ import { printTree } from '../modules/PrintUtil';
 
 /* 函数 */
 function constFunc(): number {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/codes/zig/chapter_computational_complexity/space_complexity.zig b/codes/zig/chapter_computational_complexity/space_complexity.zig
index b301d5fa7..e4d753000 100644
--- a/codes/zig/chapter_computational_complexity/space_complexity.zig
+++ b/codes/zig/chapter_computational_complexity/space_complexity.zig
@@ -7,7 +7,7 @@ const inc = @import("include");
 
 // 函数
 fn function() i32 {
-    // do something
+    // 执行某些操作
     return 0;
 }
 
diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
index 5ee66c2c3..d938c91d8 100755
--- a/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
+++ b/docs/chapter_computational_complexity/space_complexity.md
@@ -34,7 +34,7 @@
     
     /* 函数 */
     int function() {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0;
     }
     
@@ -59,7 +59,7 @@
 
     /* 函数 */
     int func() {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0;
     }
 
@@ -83,7 +83,7 @@
 
     def function() -> int:
         """函数"""
-        # do something...
+        # 执行某些操作...
         return 0
 
     def algorithm(n) -> int:  # 输入数据
@@ -110,7 +110,7 @@
     
     /* 函数 */
     func function() int {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0
     }
 
@@ -138,7 +138,7 @@
 
     /* 函数 */
     function constFunc() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
 
@@ -166,7 +166,7 @@
 
     /* 函数 */
     function constFunc(): number {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
 
@@ -184,7 +184,7 @@
     ```c title=""
     /* 函数 */
     int func() {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0;
     }
 
@@ -208,7 +208,7 @@
 
     /* 函数 */
     int function() {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0;
     }
 
@@ -236,7 +236,7 @@
 
     /* 函数 */
     func function() -> Int {
-        // do something...
+        // 执行某些操作...
         return 0
     }
 
@@ -267,7 +267,7 @@
 
     /* 函数 */
     int function() {
-      // do something...
+      // 执行某些操作...
       return 0;
     }
 
@@ -435,7 +435,7 @@
 
     ```java title=""
     int function() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -455,7 +455,7 @@
 
     ```cpp title=""
     int func() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -475,7 +475,7 @@
 
     ```python title=""
     def function() -> int:
-        # do something
+        # 执行某些操作
         return 0
 
     def loop(n: int):
@@ -493,7 +493,7 @@
 
     ```go title=""
     func function() int {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0
     }
     
@@ -517,7 +517,7 @@
 
     ```javascript title=""
     function constFunc() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -537,7 +537,7 @@
 
     ```typescript title=""
     function constFunc(): number {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -557,7 +557,7 @@
 
     ```c title=""
     int func() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -577,7 +577,7 @@
 
     ```csharp title=""
     int function() {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -598,7 +598,7 @@
     ```swift title=""
     @discardableResult
     func function() -> Int {
-        // do something
+        // 执行某些操作
         return 0
     }
 
@@ -628,7 +628,7 @@
 
     ```dart title=""
     int function() {
-      // do something
+      // 执行某些操作
       return 0;
     }
     /* 循环 O(1) */
@@ -847,7 +847,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{linear}
     ```
 
-以下递归函数会同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
+以下函数的递归深度为 $n$ ，即同时存在 $n$ 个未返回的 `linear_recur()` 函数，使用 $O(n)$ 大小的栈帧空间：
 
 === "Java"
 
@@ -999,7 +999,7 @@ $$
     [class]{}-[func]{quadratic}
     ```
 
-在以下递归函数中，同时存在 $n$ 个未返回的 `algorithm()` ，并且每个函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $\frac{n}{2}$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
+以下函数的递归深度为 $n$ ，在每个递归函数中都初始化了一个数组，长度分别为 $n, n-1, n-2, ..., 2, 1$ ，平均长度为 $n / 2$ ，因此总体占用 $O(n^2)$ 空间。
 
 === "Java"
 
@@ -1155,11 +1155,9 @@ $$
 
 ### 对数阶 $O(\log n)$
 
-对数阶常见于分治算法和数据类型转换等。
+对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
 
-例如归并排序算法，输入长度为 $n$ 的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为 $\log n$ 的递归树，使用 $O(\log n)$ 栈帧空间。
-
-再例如将数字转化为字符串，输入任意正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n + 1$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n + 1$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ 。
+再例如将数字转化为字符串，输入一个正整数 $n$ ，它的位数为 $\log_{10} n + 1$ ，即对应字符串长度为 $\log_{10} n + 1$ ，因此空间复杂度为 $O(\log_{10} n + 1) = O(\log n)$ 。
 
 ## 权衡时间与空间
 
diff --git a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
index 14acb162e..e9f77c4a8 100755
--- a/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
+++ b/docs/chapter_computational_complexity/time_complexity.md
@@ -1210,11 +1210,7 @@ $$
 
 ![常数阶、线性阶和平方阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png)
 
-以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $\frac{n}{2}$ 次，因此时间复杂度为 $O(n^2)$ ：
-
-$$
-O((n - 1) \frac{n}{2}) = O(n^2)
-$$
+以冒泡排序为例，外层循环执行 $n - 1$ 次，内层循环执行 $n-1, n-2, \cdots, 2, 1$ 次，平均为 $n / 2$ 次，因此时间复杂度为 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ 。
 
 === "Java"
 
@@ -1596,7 +1592,11 @@ $$
     [class]{}-[func]{log_recur}
     ```
 
-对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是理想的时间复杂度，仅次于常数阶。
+对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。
+
+!!! tip
+
+    “一分为 $m$”对应的时间复杂度 $O(\log_m n)$ 。我们通常会省略底数 $m$ ，直接将其记为 $O(\log n)$ 。
 
 ### 线性对数阶 $O(n \log n)$
 
@@ -1762,7 +1762,7 @@ $$
 
 ![阶乘阶的时间复杂度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png)
 
-请注意，因为 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
+请注意，因为当 $n \geq 4$ 时恒有 $n! > 2^n$ ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 $n$ 较大时也是不可接受的。
 
 ## 最差、最佳、平均时间复杂度
 
@@ -1892,7 +1892,7 @@ $$
 
 从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，**平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率**，用 $\Theta$ 记号来表示。
 
-对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $\frac{n}{2}$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(\frac{n}{2}) = \Theta(n)$ 。
+对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 $1$ 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 $n / 2$ ，平均时间复杂度为 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。
 
 但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。
 
diff --git a/docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md b/docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
index 8010becef..46f723577 100644
--- a/docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
+++ b/docs/chapter_divide_and_conquer/divide_and_conquer.md
@@ -34,7 +34,7 @@
 
 ### 操作数量优化
 
-以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((\frac{n}{2})^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
+以“冒泡排序”为例，其处理一个长度为 $n$ 的数组需要 $O(n^2)$ 时间。假设我们把数组从中点分为两个子数组，则划分需要 $O(n)$ 时间，排序每个子数组需要 $O((n / 2)^2)$ 时间，合并两个子数组需要 $O(n)$ 时间，总体时间复杂度为：
 
 $$
 O(n + (\frac{n}{2})^2 \times 2 + n) = O(\frac{n^2}{2} + 2n)
diff --git a/docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md b/docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md
index 06b6d20a6..05eb6fbb2 100644
--- a/docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md
+++ b/docs/chapter_introduction/what_is_dsa.md
@@ -26,7 +26,7 @@
 数据结构与算法高度相关、紧密结合，具体表现在以下几个方面。
 
 - 数据结构是算法的基石。数据结构为算法提供了结构化存储的数据，以及用于操作数据的方法。
-- 算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，通过结合算法才能解决特定问题。
+- 算法是数据结构发挥作用的舞台。数据结构本身仅存储数据信息，结合算法才能解决特定问题。
 - 特定算法通常会有对应最优的数据结构。算法通常可以基于不同的数据结构进行实现，但最终执行效率可能相差很大。
 
 ![数据结构与算法的关系](what_is_dsa.assets/relationship_between_data_structure_and_algorithm.png)
diff --git a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md
index 65d568e00..b3c4d86e5 100755
--- a/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md
+++ b/docs/chapter_sorting/bubble_sort.md
@@ -188,6 +188,6 @@
 
 ## 算法特性
 
-- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $\frac{(n - 1) n}{2}$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
+- **时间复杂度为 $O(n^2)$ 、自适应排序** ：各轮“冒泡”遍历的数组长度依次为 $n - 1$ , $n - 2$ , $\cdots$ , $2$ , $1$ ，总和为 $(n - 1) n / 2$ 。在引入 `flag` 优化后，最佳时间复杂度可达到 $O(n)$ 。
 - **空间复杂度为 $O(1)$ 、原地排序**：指针 $i$ , $j$ 使用常数大小的额外空间。
 - **稳定排序**：由于在“冒泡”中遇到相等元素不交换。
diff --git a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md
index 7d70f08db..da65a1a7d 100755
--- a/docs/chapter_sorting/quick_sort.md
+++ b/docs/chapter_sorting/quick_sort.md
@@ -335,7 +335,7 @@
 
 **在某些输入下，快速排序可能占用空间较多**。以完全倒序的输入数组为例，由于每轮哨兵划分后右子数组长度为 $0$ ，递归树的高度会达到 $n - 1$ ，此时需要占用 $O(n)$ 大小的栈帧空间。
 
-为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，**仅对较短的子数组进行递归**。由于较短子数组的长度不会超过 $\frac{n}{2}$ ，因此这种方法能确保递归深度不超过 $\log n$ ，从而将最差空间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
+为了防止栈帧空间的累积，我们可以在每轮哨兵排序完成后，比较两个子数组的长度，**仅对较短的子数组进行递归**。由于较短子数组的长度不会超过 $n / 2$ ，因此这种方法能确保递归深度不超过 $\log n$ ，从而将最差空间复杂度优化至 $O(\log n)$ 。
 
 === "Java"
 
diff --git a/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md b/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md
index e10cdd7cf..72ee77ccf 100755
--- a/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md
+++ b/docs/chapter_tree/binary_tree_traversal.md
@@ -88,7 +88,7 @@
 
 **时间复杂度**：所有节点被访问一次，使用 $O(n)$ 时间，其中 $n$ 为节点数量。
 
-**空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $\frac{n + 1}{2}$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
+**空间复杂度**：在最差情况下，即满二叉树时，遍历到最底层之前，队列中最多同时存在 $(n + 1) / 2$ 个节点，占用 $O(n)$ 空间。
 
 ## 前序、中序、后序遍历