「桶排序 Bucket Sort」考虑设置 \(k\) 个桶，并将 \(n\) 个元素根据大小分配到 \(k\) 个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，由于桶之间的大小关系的确定的，因此最后按照桶之间的顺序将元素依次展开即可。
假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 \(\frac{n}{k}\) ；如果使用「快速排序」来实现桶内排序，则排序单个桶使用 \(O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})\) 时间，排序所有桶使用 \(O(n \log\frac{n}{k})\) 时间。当桶数量 \(k\) 比较大时，时间复杂度则趋向于 \(O(n)\) 。
Note
计数排序可以看作是桶排序的一种特例。我们可以把计数排序中 counter 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把 \(n\) 个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
counter
「桶排序 Bucket Sort」是分治思想的典型体现，其通过设置一些桶，将数据平均分配到各个桶中，并在每个桶内部分别执行排序，最终根据桶之间天然的大小顺序将各个桶内元素合并，从而得到排序结果。
输入一个长度为 \(n\) 的数组，元素是范围 \([0, 1)\) 的浮点数，桶排序流程为：
Fig. 桶排序算法流程
/* 桶排序 */ +void bucketSort(float[] nums) { + // 初始化 k = n/3 个桶，预期向每个桶分配 3 个元素 + int k = nums.length / 2; + List<List<Float>> buckets = new ArrayList<>(); + for (int i = 0; i < k; i++) { + buckets.add(new ArrayList<>()); + } + // 1. 将数组元素分配到各个桶中 + for (float num : nums) { + // 输入数据范围 [0, 1)，使用 num * k 映射到索引范围 [0, k-1] + int i = (int) num * k; + // 将 num 添加进桶 i + buckets.get(i).add(num); + } + // 2. 对各个桶执行排序 + for (List<Float> bucket : buckets) { + // 使用内置排序函数，也可以替换成其它排序算法 + Collections.sort(bucket); + } + // 3. 遍历桶合并结果 + int i = 0; + for (List<Float> bucket : buckets) { + for (float num : bucket) { + nums[i++] = num; + } + } +} +
（图）
理论上桶排序的时间复杂度是 \(O(n)\) ，但前提是需要将元素均匀分配到各个桶中，而这并不容易做到。假设想要把淘宝的 \(100\) 万件商品根据价格范围平均分配到 \(100\) 个桶中，而商品价格不是均匀分布的，例如 \(100\) 元以下的商品非常多、\(1000\) 元以上的商品非常少等。如果我们将价格区间平均划分为 \(100\) 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。为了实现平均分配，我们一般这样做：
另外，排序桶内元素需要选择一种合适的排序算法，比如快速排序。
[class]{}-[func]{bucketSort} +
[class]{}-[func]{bucket_sort} +
[class]{bucket_sort}-[func]{bucketSort} +
桶排序是计数排序的一种推广
从桶排序的角度，我们可以把计数排序中计数数组 counter 的每个索引想象成一个桶，将统计数量的过程想象成把各个元素分配到对应的桶中，再根据桶之间的有序性输出结果，从而实现排序。
时间复杂度 \(O(n + k)\) ：假设元素平均分布在各个桶内，则每个桶内元素数量为 \(\frac{n}{k}\) 。假设排序单个桶使用 \(O(\frac{n}{k} \log\frac{n}{k})\) 时间，则排序所有桶使用 \(O(n \log\frac{n}{k})\) 时间，当桶数量 \(k\) 比较大时，时间复杂度则趋向于 \(O(n)\) 。最后合并结果需要遍历 \(n\) 个桶，使用 \(O(k)\) 时间。
最差情况下，所有数据被分配到一个桶中，且排序算法退化至 \(O(n^2)\) ，此时使用 \(O(n^2)\) 时间，因此是“自适应排序”。
空间复杂度 \(O(n + k)\) ：需要借助 \(k\) 个桶和共 \(n\) 个元素的额外空间，是“非原地排序”。
桶排序是否稳定取决于排序桶内元素的算法是否稳定。
桶排序的时间复杂度理论上可以达到 \(O(n)\) ，难点是需要将元素均匀分配到各个桶中，因为现实中的数据往往都不是均匀分布的。举个例子，假设我们想要把淘宝的所有商品根据价格范围平均分配到 10 个桶中，然而商品价格不是均匀分布的，100 元以下非常多、1000 元以上非常少；如果我们将价格区间平均划为 10 份，那么各个桶内的商品数量差距会非常大。
为了实现平均分配，我们可以先大致设置一个分界线，将数据粗略分到 3 个桶，分配完后，再把商品较多的桶继续划分为 3 个桶，直至所有桶内元素数量大致平均为止。此方法本质上是生成一个递归树，让叶结点的值尽量平均。当然，不一定非要划分为 3 个桶，可以根据数据特点灵活选取。
Fig. 递归划分桶
如果我们提前知道商品价格的概率分布，那么也可以根据数据概率分布来设置每个桶的价格分界线。注意，数据分布不一定需要特意去统计，也可以根据数据特点采用某种概率模型来近似。如下图所示，我们假设商品价格服从正态分布，就可以合理设置价格区间，将商品平均分配到各个桶中。
Fig. 根据概率分布划分桶