# 最大容量問題 !!! question 輸入一個陣列 $ht$ ,其中的每個元素代表一個垂直隔板的高度。陣列中的任意兩個隔板,以及它們之間的空間可以組成一個容器。 容器的容量等於高度和寬度的乘積(面積),其中高度由較短的隔板決定,寬度是兩個隔板的陣列索引之差。 請在陣列中選擇兩個隔板,使得組成的容器的容量最大,返回最大容量。示例如下圖所示。 ![最大容量問題的示例資料](max_capacity_problem.assets/max_capacity_example.png) 容器由任意兩個隔板圍成,**因此本題的狀態為兩個隔板的索引,記為 $[i, j]$** 。 根據題意,容量等於高度乘以寬度,其中高度由短板決定,寬度是兩隔板的陣列索引之差。設容量為 $cap[i, j]$ ,則可得計算公式: $$ cap[i, j] = \min(ht[i], ht[j]) \times (j - i) $$ 設陣列長度為 $n$ ,兩個隔板的組合數量(狀態總數)為 $C_n^2 = \frac{n(n - 1)}{2}$ 個。最直接地,**我們可以窮舉所有狀態**,從而求得最大容量,時間複雜度為 $O(n^2)$ 。 ### 貪婪策略確定 這道題還有更高效率的解法。如下圖所示,現選取一個狀態 $[i, j]$ ,其滿足索引 $i < j$ 且高度 $ht[i] < ht[j]$ ,即 $i$ 為短板、$j$ 為長板。 ![初始狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_initial_state.png) 如下圖所示,**若此時將長板 $j$ 向短板 $i$ 靠近,則容量一定變小**。 這是因為在移動長板 $j$ 後,寬度 $j-i$ 肯定變小;而高度由短板決定,因此高度只可能不變( $i$ 仍為短板)或變小(移動後的 $j$ 成為短板)。 ![向內移動長板後的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_long_board.png) 反向思考,**我們只有向內收縮短板 $i$ ,才有可能使容量變大**。因為雖然寬度一定變小,**但高度可能會變大**(移動後的短板 $i$ 可能會變長)。例如在下圖中,移動短板後面積變大。 ![向內移動短板後的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_moving_short_board.png) 由此便可推出本題的貪婪策略:初始化兩指標,使其分列容器兩端,每輪向內收縮短板對應的指標,直至兩指標相遇。 下圖展示了貪婪策略的執行過程。 1. 初始狀態下,指標 $i$ 和 $j$ 分列陣列兩端。 2. 計算當前狀態的容量 $cap[i, j]$ ,並更新最大容量。 3. 比較板 $i$ 和板 $j$ 的高度,並將短板向內移動一格。 4. 迴圈執行第 `2.` 步和第 `3.` 步,直至 $i$ 和 $j$ 相遇時結束。 === "<1>" ![最大容量問題的貪婪過程](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step1.png) === "<2>" ![max_capacity_greedy_step2](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step2.png) === "<3>" ![max_capacity_greedy_step3](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step3.png) === "<4>" ![max_capacity_greedy_step4](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step4.png) === "<5>" ![max_capacity_greedy_step5](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step5.png) === "<6>" ![max_capacity_greedy_step6](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step6.png) === "<7>" ![max_capacity_greedy_step7](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step7.png) === "<8>" ![max_capacity_greedy_step8](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step8.png) === "<9>" ![max_capacity_greedy_step9](max_capacity_problem.assets/max_capacity_greedy_step9.png) ### 程式碼實現 程式碼迴圈最多 $n$ 輪,**因此時間複雜度為 $O(n)$** 。 變數 $i$、$j$、$res$ 使用常數大小的額外空間,**因此空間複雜度為 $O(1)$** 。 ```src [file]{max_capacity}-[class]{}-[func]{max_capacity} ``` ### 正確性證明 之所以貪婪比窮舉更快,是因為每輪的貪婪選擇都會“跳過”一些狀態。 比如在狀態 $cap[i, j]$ 下,$i$ 為短板、$j$ 為長板。若貪婪地將短板 $i$ 向內移動一格,會導致下圖所示的狀態被“跳過”。**這意味著之後無法驗證這些狀態的容量大小**。 $$ cap[i, i+1], cap[i, i+2], \dots, cap[i, j-2], cap[i, j-1] $$ ![移動短板導致被跳過的狀態](max_capacity_problem.assets/max_capacity_skipped_states.png) 觀察發現,**這些被跳過的狀態實際上就是將長板 $j$ 向內移動的所有狀態**。前面我們已經證明內移長板一定會導致容量變小。也就是說,被跳過的狀態都不可能是最優解,**跳過它們不會導致錯過最優解**。 以上分析說明,移動短板的操作是“安全”的,貪婪策略是有效的。