--- comments: true --- # 2.3   時間複雜度 執行時間可以直觀且準確地反映演算法的效率。如果我們想準確預估一段程式碼的執行時間，應該如何操作呢？ 1. **確定執行平臺**，包括硬體配置、程式語言、系統環境等，這些因素都會影響程式碼的執行效率。 2. **評估各種計算操作所需的執行時間**，例如加法操作 `+` 需要 1 ns ，乘法操作 `*` 需要 10 ns ，列印操作 `print()` 需要 5 ns 等。 3. **統計程式碼中所有的計算操作**，並將所有操作的執行時間求和，從而得到執行時間。 例如在以下程式碼中，輸入資料大小為 $n$ ： === "Python" ```python title="" # 在某執行平臺下 def algorithm(n: int): a = 2 # 1 ns a = a + 1 # 1 ns a = a * 2 # 10 ns # 迴圈 n 次 for _ in range(n): # 1 ns print(0) # 5 ns ``` === "C++" ```cpp title="" // 在某執行平臺下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns cout << 0 << endl; // 5 ns } } ``` === "Java" ```java title="" // 在某執行平臺下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns System.out.println(0); // 5 ns } } ``` === "C#" ```csharp title="" // 在某執行平臺下 void Algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns Console.WriteLine(0); // 5 ns } } ``` === "Go" ```go title="" // 在某執行平臺下 func algorithm(n int) { a := 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 迴圈 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // 1 ns fmt.Println(a) // 5 ns } } ``` === "Swift" ```swift title="" // 在某執行平臺下 func algorithm(n: Int) { var a = 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 迴圈 n 次 for _ in 0 ..< n { // 1 ns print(0) // 5 ns } } ``` === "JS" ```javascript title="" // 在某執行平臺下 function algorithm(n) { var a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns console.log(0); // 5 ns } } ``` === "TS" ```typescript title="" // 在某執行平臺下 function algorithm(n: number): void { var a: number = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns console.log(0); // 5 ns } } ``` === "Dart" ```dart title="" // 在某執行平臺下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns print(0); // 5 ns } } ``` === "Rust" ```rust title="" // 在某執行平臺下 fn algorithm(n: i32) { let mut a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for _ in 0..n { // 1 ns println!("{}", 0); // 5 ns } } ``` === "C" ```c title="" // 在某執行平臺下 void algorithm(int n) { int a = 2; // 1 ns a = a + 1; // 1 ns a = a * 2; // 10 ns // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // 1 ns printf("%d", 0); // 5 ns } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" // 在某執行平臺下 fun algorithm(n: Int) { var a = 2 // 1 ns a = a + 1 // 1 ns a = a * 2 // 10 ns // 迴圈 n 次 for (i in 0.. 圖 2-7   演算法 A、B 和 C 的時間增長趨勢

相較於直接統計演算法的執行時間，時間複雜度分析有哪些特點呢？ - **時間複雜度能夠有效評估演算法效率**。例如，演算法 `B` 的執行時間呈線性增長，在 $n > 1$ 時比演算法 `A` 更慢，在 $n > 1000000$ 時比演算法 `C` 更慢。事實上，只要輸入資料大小 $n$ 足夠大，複雜度為“常數階”的演算法一定優於“線性階”的演算法，這正是時間增長趨勢的含義。 - **時間複雜度的推算方法更簡便**。顯然，執行平臺和計算操作型別都與演算法執行時間的增長趨勢無關。因此在時間複雜度分析中，我們可以簡單地將所有計算操作的執行時間視為相同的“單位時間”，從而將“計算操作執行時間統計”簡化為“計算操作數量統計”，這樣一來估算難度就大大降低了。 - **時間複雜度也存在一定的侷限性**。例如，儘管演算法 `A` 和 `C` 的時間複雜度相同，但實際執行時間差別很大。同樣，儘管演算法 `B` 的時間複雜度比 `C` 高，但在輸入資料大小 $n$ 較小時，演算法 `B` 明顯優於演算法 `C` 。對於此類情況，我們時常難以僅憑時間複雜度判斷演算法效率的高低。當然，儘管存在上述問題，複雜度分析仍然是評判演算法效率最有效且常用的方法。 ## 2.3.2   函式漸近上界 給定一個輸入大小為 $n$ 的函式： === "Python" ```python title="" def algorithm(n: int): a = 1 # +1 a = a + 1 # +1 a = a * 2 # +1 # 迴圈 n 次 for i in range(n): # +1 print(0) # +1 ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每輪都執行 i ++） cout << 0 << endl; // +1 } } ``` === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每輪都執行 i ++） System.out.println(0); // +1 } } ``` === "C#" ```csharp title="" void Algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每輪都執行 i ++） Console.WriteLine(0); // +1 } } ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 迴圈 n 次 for i := 0; i < n; i++ { // +1 fmt.Println(a) // +1 } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 迴圈 n 次 for _ in 0 ..< n { // +1 print(0) // +1 } } ``` === "JS" ```javascript title="" function algorithm(n) { var a = 1; // +1 a += 1; // +1 a *= 2; // +1 // 迴圈 n 次 for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每輪都執行 i ++） console.log(0); // +1 } } ``` === "TS" ```typescript title="" function algorithm(n: number): void{ var a: number = 1; // +1 a += 1; // +1 a *= 2; // +1 // 迴圈 n 次 for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每輪都執行 i ++） console.log(0); // +1 } } ``` === "Dart" ```dart title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每輪都執行 i ++） print(0); // +1 } } ``` === "Rust" ```rust title="" fn algorithm(n: i32) { let mut a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for _ in 0..n { // +1（每輪都執行 i ++） println!("{}", 0); // +1 } } ``` === "C" ```c title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +1 a = a + 1; // +1 a = a * 2; // +1 // 迴圈 n 次 for (int i = 0; i < n; i++) { // +1（每輪都執行 i ++） printf("%d", 0); // +1 } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" fun algorithm(n: Int) { var a = 1 // +1 a = a + 1 // +1 a = a * 2 // +1 // 迴圈 n 次 for (i in 0..大 $O$ 記號（big-$O$ notation），表示函式 $T(n)$ 的漸近上界（asymptotic upper bound）。 時間複雜度分析本質上是計算“操作數量 $T(n)$”的漸近上界，它具有明確的數學定義。 !!! note "函式漸近上界" 若存在正實數 $c$ 和實數 $n_0$ ，使得對於所有的 $n > n_0$ ，均有 $T(n) \leq c \cdot f(n)$ ，則可認為 $f(n)$ 給出了 $T(n)$ 的一個漸近上界，記為 $T(n) = O(f(n))$ 。 如圖 2-8 所示，計算漸近上界就是尋找一個函式 $f(n)$ ，使得當 $n$ 趨向於無窮大時，$T(n)$ 和 $f(n)$ 處於相同的增長級別，僅相差一個常數項 $c$ 的倍數。 ![函式的漸近上界](time_complexity.assets/asymptotic_upper_bound.png){ class="animation-figure" }

圖 2-8   函式的漸近上界

## 2.3.3   推算方法 漸近上界的數學味兒有點重，如果你感覺沒有完全理解，也無須擔心。我們可以先掌握推算方法，在不斷的實踐中，就可以逐漸領悟其數學意義。 根據定義，確定 $f(n)$ 之後，我們便可得到時間複雜度 $O(f(n))$ 。那麼如何確定漸近上界 $f(n)$ 呢？總體分為兩步：首先統計操作數量，然後判斷漸近上界。 ### 1.   第一步：統計操作數量 針對程式碼，逐行從上到下計算即可。然而，由於上述 $c \cdot f(n)$ 中的常數項 $c$ 可以取任意大小，**因此操作數量 $T(n)$ 中的各種係數、常數項都可以忽略**。根據此原則，可以總結出以下計數簡化技巧。 1. **忽略 $T(n)$ 中的常數項**。因為它們都與 $n$ 無關，所以對時間複雜度不產生影響。 2. **省略所有係數**。例如，迴圈 $2n$ 次、$5n + 1$ 次等，都可以簡化記為 $n$ 次，因為 $n$ 前面的係數對時間複雜度沒有影響。 3. **迴圈巢狀時使用乘法**。總操作數量等於外層迴圈和內層迴圈操作數量之積，每一層迴圈依然可以分別套用第 `1.` 點和第 `2.` 點的技巧。 給定一個函式，我們可以用上述技巧來統計操作數量： === "Python" ```python title="" def algorithm(n: int): a = 1 # +0（技巧 1） a = a + n # +0（技巧 1） # +n（技巧 2） for i in range(5 * n + 1): print(0) # +n*n（技巧 3） for i in range(2 * n): for j in range(n + 1): print(0) ``` === "C++" ```cpp title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { cout << 0 << endl; } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { cout << 0 << endl; } } } ``` === "Java" ```java title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { System.out.println(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { System.out.println(0); } } } ``` === "C#" ```csharp title="" void Algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { Console.WriteLine(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { Console.WriteLine(0); } } } ``` === "Go" ```go title="" func algorithm(n int) { a := 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ { fmt.Println(0) } // +n*n（技巧 3） for i := 0; i < 2 * n; i++ { for j := 0; j < n + 1; j++ { fmt.Println(0) } } } ``` === "Swift" ```swift title="" func algorithm(n: Int) { var a = 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for _ in 0 ..< (5 * n + 1) { print(0) } // +n*n（技巧 3） for _ in 0 ..< (2 * n) { for _ in 0 ..< (n + 1) { print(0) } } } ``` === "JS" ```javascript title="" function algorithm(n) { let a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { console.log(0); } // +n*n（技巧 3） for (let i = 0; i < 2 * n; i++) { for (let j = 0; j < n + 1; j++) { console.log(0); } } } ``` === "TS" ```typescript title="" function algorithm(n: number): void { let a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { console.log(0); } // +n*n（技巧 3） for (let i = 0; i < 2 * n; i++) { for (let j = 0; j < n + 1; j++) { console.log(0); } } } ``` === "Dart" ```dart title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { print(0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { print(0); } } } ``` === "Rust" ```rust title="" fn algorithm(n: i32) { let mut a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for i in 0..(5 * n + 1) { println!("{}", 0); } // +n*n（技巧 3） for i in 0..(2 * n) { for j in 0..(n + 1) { println!("{}", 0); } } } ``` === "C" ```c title="" void algorithm(int n) { int a = 1; // +0（技巧 1） a = a + n; // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) { printf("%d", 0); } // +n*n（技巧 3） for (int i = 0; i < 2 * n; i++) { for (int j = 0; j < n + 1; j++) { printf("%d", 0); } } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="" fun algorithm(n: Int) { var a = 1 // +0（技巧 1） a = a + n // +0（技巧 1） // +n（技巧 2） for (i in 0..<5 * n + 1) { println(0) } // +n*n（技巧 3） for (i in 0..<2 * n) { for (j in 0.. 表 2-2   不同操作數量對應的時間複雜度

| 操作數量 $T(n)$ | 時間複雜度 $O(f(n))$ | | ---------------------- | -------------------- | | $100000$ | $O(1)$ | | $3n + 2$ | $O(n)$ | | $2n^2 + 3n + 2$ | $O(n^2)$ | | $n^3 + 10000n^2$ | $O(n^3)$ | | $2^n + 10000n^{10000}$ | $O(2^n)$ |
## 2.3.4   常見型別 設輸入資料大小為 $n$ ，常見的時間複雜度型別如圖 2-9 所示（按照從低到高的順序排列）。 $$ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常數階} < \text{對數階} < \text{線性階} < \text{線性對數階} < \text{平方階} < \text{指數階} < \text{階乘階} \end{aligned} $$ ![常見的時間複雜度型別](time_complexity.assets/time_complexity_common_types.png){ class="animation-figure" }

圖 2-9   常見的時間複雜度型別

### 1.   常數階 $O(1)$ {data-toc-label="1.   常數階"} 常數階的操作數量與輸入資料大小 $n$ 無關，即不隨著 $n$ 的變化而變化。 在以下函式中，儘管操作數量 `size` 可能很大，但由於其與輸入資料大小 $n$ 無關，因此時間複雜度仍為 $O(1)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def constant(n: int) -> int: """常數階""" count = 0 size = 100000 for _ in range(size): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 常數階 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 常數階 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 常數階 */ int Constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (int i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 常數階 */ func constant(n int) int { count := 0 size := 100000 for i := 0; i < size; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 常數階 */ func constant(n: Int) -> Int { var count = 0 let size = 100_000 for _ in 0 ..< size { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 常數階 */ function constant(n) { let count = 0; const size = 100000; for (let i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 常數階 */ function constant(n: number): number { let count = 0; const size = 100000; for (let i = 0; i < size; i++) count++; return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 常數階 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; for (var i = 0; i < size; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 常數階 */ fn constant(n: i32) -> i32 { _ = n; let mut count = 0; let size = 100_000; for _ in 0..size { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 常數階 */ int constant(int n) { int count = 0; int size = 100000; int i = 0; for (int i = 0; i < size; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 常數階 */ fun constant(n: Int): Int { var count = 0 val size = 100000 for (i in 0..
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### 2.   線性階 $O(n)$ {data-toc-label="2.   線性階"} 線性階的操作數量相對於輸入資料大小 $n$ 以線性級別增長。線性階通常出現在單層迴圈中： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def linear(n: int) -> int: """線性階""" count = 0 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 線性階 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 線性階 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 線性階 */ int Linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 線性階 */ func linear(n int) int { count := 0 for i := 0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 線性階 */ func linear(n: Int) -> Int { var count = 0 for _ in 0 ..< n { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 線性階 */ function linear(n) { let count = 0; for (let i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 線性階 */ function linear(n: number): number { let count = 0; for (let i = 0; i < n; i++) count++; return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 線性階 */ int linear(int n) { int count = 0; for (var i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 線性階 */ fn linear(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; for _ in 0..n { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 線性階 */ int linear(int n) { int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 線性階 */ fun linear(n: Int): Int { var count = 0 for (i in 0.. 走訪陣列和走訪鏈結串列等操作的時間複雜度均為 $O(n)$ ，其中 $n$ 為陣列或鏈結串列的長度： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def array_traversal(nums: list[int]) -> int: """線性階（走訪陣列）""" count = 0 # 迴圈次數與陣列長度成正比 for num in nums: count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 線性階（走訪陣列） */ int arrayTraversal(vector &nums) { int count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 線性階（走訪陣列） */ int arrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (int num : nums) { count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 線性階（走訪陣列） */ int ArrayTraversal(int[] nums) { int count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 foreach (int num in nums) { count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 線性階（走訪陣列） */ func arrayTraversal(nums []int) int { count := 0 // 迴圈次數與陣列長度成正比 for range nums { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 線性階（走訪陣列） */ func arrayTraversal(nums: [Int]) -> Int { var count = 0 // 迴圈次數與陣列長度成正比 for _ in nums { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 線性階（走訪陣列） */ function arrayTraversal(nums) { let count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (let i = 0; i < nums.length; i++) { count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 線性階（走訪陣列） */ function arrayTraversal(nums: number[]): number { let count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (let i = 0; i < nums.length; i++) { count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 線性階（走訪陣列） */ int arrayTraversal(List nums) { int count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (var _num in nums) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 線性階（走訪陣列） */ fn array_traversal(nums: &[i32]) -> i32 { let mut count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for _ in nums { count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 線性階（走訪陣列） */ int arrayTraversal(int *nums, int n) { int count = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 線性階（走訪陣列） */ fun arrayTraversal(nums: IntArray): Int { var count = 0 // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (num in nums) { count++ } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 線性階（走訪陣列）### def array_traversal(nums) count = 0 # 迴圈次數與陣列長度成正比 for num in nums count += 1 end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 線性階（走訪陣列） fn arrayTraversal(nums: []i32) i32 { var count: i32 = 0; // 迴圈次數與陣列長度成正比 for (nums) |_| { count += 1; } return count; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
值得注意的是，**輸入資料大小 $n$ 需根據輸入資料的型別來具體確定**。比如在第一個示例中，變數 $n$ 為輸入資料大小；在第二個示例中，陣列長度 $n$ 為資料大小。 ### 3.   平方階 $O(n^2)$ {data-toc-label="3.   平方階"} 平方階的操作數量相對於輸入資料大小 $n$ 以平方級別增長。平方階通常出現在巢狀迴圈中，外層迴圈和內層迴圈的時間複雜度都為 $O(n)$ ，因此總體的時間複雜度為 $O(n^2)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def quadratic(n: int) -> int: """平方階""" count = 0 # 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for i in range(n): for j in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 平方階 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 平方階 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 平方階 */ int Quadratic(int n) { int count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 平方階 */ func quadratic(n int) int { count := 0 // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < n; j++ { count++ } } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 平方階 */ func quadratic(n: Int) -> Int { var count = 0 // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for _ in 0 ..< n { for _ in 0 ..< n { count += 1 } } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 平方階 */ function quadratic(n) { let count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 平方階 */ function quadratic(n: number): number { let count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 平方階 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 平方階 */ fn quadratic(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for _ in 0..n { for _ in 0..n { count += 1; } } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 平方階 */ int quadratic(int n) { int count = 0; // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { count++; } } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 平方階 */ fun quadratic(n: Int): Int { var count = 0 // 迴圈次數與資料大小 n 成平方關係 for (i in 0.. 圖 2-10 對比了常數階、線性階和平方階三種時間複雜度。 ![常數階、線性階和平方階的時間複雜度](time_complexity.assets/time_complexity_constant_linear_quadratic.png){ class="animation-figure" }

圖 2-10   常數階、線性階和平方階的時間複雜度

以泡沫排序為例，外層迴圈執行 $n - 1$ 次，內層迴圈執行 $n-1$、$n-2$、$\dots$、$2$、$1$ 次，平均為 $n / 2$ 次，因此時間複雜度為 $O((n - 1) n / 2) = O(n^2)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def bubble_sort(nums: list[int]) -> int: """平方階（泡沫排序）""" count = 0 # 計數器 # 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for i in range(len(nums) - 1, 0, -1): # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for j in range(i): if nums[j] > nums[j + 1]: # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] tmp: int = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 # 元素交換包含 3 個單元操作 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 平方階（泡沫排序） */ int bubbleSort(vector &nums) { int count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (int i = nums.size() - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 平方階（泡沫排序） */ int bubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (int i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 平方階（泡沫排序） */ int BubbleSort(int[] nums) { int count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (int i = nums.Length - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] (nums[j + 1], nums[j]) = (nums[j], nums[j + 1]); count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 平方階（泡沫排序） */ func bubbleSort(nums []int) int { count := 0 // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for j := 0; j < i; j++ { if nums[j] > nums[j+1] { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] tmp := nums[j] nums[j] = nums[j+1] nums[j+1] = tmp count += 3 // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 平方階（泡沫排序） */ func bubbleSort(nums: inout [Int]) -> Int { var count = 0 // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for i in nums.indices.dropFirst().reversed() { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for j in 0 ..< i { if nums[j] > nums[j + 1] { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] let tmp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 平方階（泡沫排序） */ function bubbleSort(nums) { let count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (let j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 平方階（泡沫排序） */ function bubbleSort(nums: number[]): number { let count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (let j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 平方階（泡沫排序） */ int bubbleSort(List nums) { int count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (var i = nums.length - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (var j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 平方階（泡沫排序） */ fn bubble_sort(nums: &mut [i32]) -> i32 { let mut count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for i in (1..nums.len()).rev() { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for j in 0..i { if nums[j] > nums[j + 1] { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] let tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 平方階（泡沫排序） */ int bubbleSort(int *nums, int n) { int count = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (int i = n - 1; i > 0; i--) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (int j = 0; j < i; j++) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] int tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 平方階（泡沫排序） */ fun bubbleSort(nums: IntArray): Int { var count = 0 // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for (i in nums.size - 1 downTo 1) { // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for (j in 0.. nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] val temp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = temp count += 3 // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 平方階（泡沫排序）### def bubble_sort(nums) count = 0 # 計數器 # 外迴圈：未排序區間為 [0, i] for i in (nums.length - 1).downto(0) # 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 for j in 0...i if nums[j] > nums[j + 1] # 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] tmp = nums[j] nums[j] = nums[j + 1] nums[j + 1] = tmp count += 3 # 元素交換包含 3 個單元操作 end end end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 平方階（泡沫排序） fn bubbleSort(nums: []i32) i32 { var count: i32 = 0; // 計數器 // 外迴圈：未排序區間為 [0, i] var i: i32 = @as(i32, @intCast(nums.len)) - 1; while (i > 0) : (i -= 1) { var j: usize = 0; // 內迴圈：將未排序區間 [0, i] 中的最大元素交換至該區間的最右端 while (j < i) : (j += 1) { if (nums[j] > nums[j + 1]) { // 交換 nums[j] 與 nums[j + 1] var tmp = nums[j]; nums[j] = nums[j + 1]; nums[j + 1] = tmp; count += 3; // 元素交換包含 3 個單元操作 } } } return count; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
### 4.   指數階 $O(2^n)$ {data-toc-label="4.   指數階"} 生物學的“細胞分裂”是指數階增長的典型例子：初始狀態為 $1$ 個細胞，分裂一輪後變為 $2$ 個，分裂兩輪後變為 $4$ 個，以此類推，分裂 $n$ 輪後有 $2^n$ 個細胞。 圖 2-11 和以下程式碼模擬了細胞分裂的過程，時間複雜度為 $O(2^n)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def exponential(n: int) -> int: """指數階（迴圈實現）""" count = 0 base = 1 # 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in range(n): for _ in range(base): count += 1 base *= 2 # count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 指數階（迴圈實現） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 指數階（迴圈實現） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 指數階（迴圈實現） */ int Exponential(int n) { int count = 0, bas = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < bas; j++) { count++; } bas *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 指數階（迴圈實現）*/ func exponential(n int) int { count, base := 0, 1 // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for i := 0; i < n; i++ { for j := 0; j < base; j++ { count++ } base *= 2 } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 指數階（迴圈實現） */ func exponential(n: Int) -> Int { var count = 0 var base = 1 // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in 0 ..< n { for _ in 0 ..< base { count += 1 } base *= 2 } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 指數階（迴圈實現） */ function exponential(n) { let count = 0, base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 指數階（迴圈實現） */ function exponential(n: number): number { let count = 0, base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (let i = 0; i < n; i++) { for (let j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 指數階（迴圈實現） */ int exponential(int n) { int count = 0, base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (var i = 0; i < n; i++) { for (var j = 0; j < base; j++) { count++; } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 指數階（迴圈實現） */ fn exponential(n: i32) -> i32 { let mut count = 0; let mut base = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for _ in 0..n { for _ in 0..base { count += 1 } base *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 指數階（迴圈實現） */ int exponential(int n) { int count = 0; int bas = 1; // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (int i = 0; i < n; i++) { for (int j = 0; j < bas; j++) { count++; } bas *= 2; } // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1 return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 指數階（迴圈實現） */ fun exponential(n: Int): Int { var count = 0 var base = 1 // 細胞每輪一分為二，形成數列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1) for (i in 0.. ![指數階的時間複雜度](time_complexity.assets/time_complexity_exponential.png){ class="animation-figure" }

圖 2-11   指數階的時間複雜度

在實際演算法中，指數階常出現於遞迴函式中。例如在以下程式碼中，其遞迴地一分為二，經過 $n$ 次分裂後停止： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def exp_recur(n: int) -> int: """指數階（遞迴實現）""" if n == 1: return 1 return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 指數階（遞迴實現） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 指數階（遞迴實現） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 指數階（遞迴實現） */ int ExpRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return ExpRecur(n - 1) + ExpRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 指數階（遞迴實現）*/ func expRecur(n int) int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1 } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 指數階（遞迴實現） */ func expRecur(n: Int) -> Int { if n == 1 { return 1 } return expRecur(n: n - 1) + expRecur(n: n - 1) + 1 } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 指數階（遞迴實現） */ function expRecur(n) { if (n === 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 指數階（遞迴實現） */ function expRecur(n: number): number { if (n === 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 指數階（遞迴實現） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 指數階（遞迴實現） */ fn exp_recur(n: i32) -> i32 { if n == 1 { return 1; } exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 指數階（遞迴實現） */ int expRecur(int n) { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 指數階（遞迴實現） */ fun expRecur(n: Int): Int { if (n == 1) { return 1 } return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 指數階（遞迴實現）### def exp_recur(n) return 1 if n == 1 exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1 end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 指數階（遞迴實現） fn expRecur(n: i32) i32 { if (n == 1) return 1; return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
指數階增長非常迅速，在窮舉法（暴力搜尋、回溯等）中比較常見。對於資料規模較大的問題，指數階是不可接受的，通常需要使用動態規劃或貪婪演算法等來解決。 ### 5.   對數階 $O(\log n)$ {data-toc-label="5.   對數階"} 與指數階相反，對數階反映了“每輪縮減到一半”的情況。設輸入資料大小為 $n$ ，由於每輪縮減到一半，因此迴圈次數是 $\log_2 n$ ，即 $2^n$ 的反函式。 圖 2-12 和以下程式碼模擬了“每輪縮減到一半”的過程，時間複雜度為 $O(\log_2 n)$ ，簡記為 $O(\log n)$ ： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def logarithmic(n: int) -> int: """對數階（迴圈實現）""" count = 0 while n > 1: n = n / 2 count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 對數階（迴圈實現） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 對數階（迴圈實現） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 對數階（迴圈實現） */ int Logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n /= 2; count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 對數階（迴圈實現）*/ func logarithmic(n int) int { count := 0 for n > 1 { n = n / 2 count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 對數階（迴圈實現） */ func logarithmic(n: Int) -> Int { var count = 0 var n = n while n > 1 { n = n / 2 count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 對數階（迴圈實現） */ function logarithmic(n) { let count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 對數階（迴圈實現） */ function logarithmic(n: number): number { let count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 對數階（迴圈實現） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n ~/ 2; count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 對數階（迴圈實現） */ fn logarithmic(mut n: i32) -> i32 { let mut count = 0; while n > 1 { n = n / 2; count += 1; } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 對數階（迴圈實現） */ int logarithmic(int n) { int count = 0; while (n > 1) { n = n / 2; count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 對數階（迴圈實現） */ fun logarithmic(n: Int): Int { var n1 = n var count = 0 while (n1 > 1) { n1 /= 2 count++ } return count } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 對數階（迴圈實現）### def logarithmic(n) count = 0 while n > 1 n /= 2 count += 1 end count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 對數階（迴圈實現） fn logarithmic(n: i32) i32 { var count: i32 = 0; var n_var = n; while (n_var > 1) { n_var = n_var / 2; count +=1; } return count; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
![對數階的時間複雜度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic.png){ class="animation-figure" }

圖 2-12   對數階的時間複雜度

與指數階類似，對數階也常出現於遞迴函式中。以下程式碼形成了一棵高度為 $\log_2 n$ 的遞迴樹： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def log_recur(n: int) -> int: """對數階（遞迴實現）""" if n <= 1: return 0 return log_recur(n / 2) + 1 ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 對數階（遞迴實現） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 對數階（遞迴實現） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 對數階（遞迴實現） */ int LogRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return LogRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 對數階（遞迴實現）*/ func logRecur(n int) int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n/2) + 1 } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 對數階（遞迴實現） */ func logRecur(n: Int) -> Int { if n <= 1 { return 0 } return logRecur(n: n / 2) + 1 } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 對數階（遞迴實現） */ function logRecur(n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 對數階（遞迴實現） */ function logRecur(n: number): number { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 對數階（遞迴實現） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n ~/ 2) + 1; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 對數階（遞迴實現） */ fn log_recur(n: i32) -> i32 { if n <= 1 { return 0; } log_recur(n / 2) + 1 } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 對數階（遞迴實現） */ int logRecur(int n) { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 對數階（遞迴實現） */ fun logRecur(n: Int): Int { if (n <= 1) return 0 return logRecur(n / 2) + 1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="time_complexity.rb" ### 對數階（遞迴實現）### def log_recur(n) return 0 unless n > 1 log_recur(n / 2) + 1 end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 對數階（遞迴實現） fn logRecur(n: i32) i32 { if (n <= 1) return 0; return logRecur(n / 2) + 1; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
對數階常出現於基於分治策略的演算法中，體現了“一分為多”和“化繁為簡”的演算法思想。它增長緩慢，是僅次於常數階的理想的時間複雜度。 !!! tip "$O(\log n)$ 的底數是多少？" 準確來說，“一分為 $m$”對應的時間複雜度是 $O(\log_m n)$ 。而透過對數換底公式，我們可以得到具有不同底數、相等的時間複雜度： $$ O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n) $$ 也就是說，底數 $m$ 可以在不影響複雜度的前提下轉換。因此我們通常會省略底數 $m$ ，將對數階直接記為 $O(\log n)$ 。 ### 6.   線性對數階 $O(n \log n)$ {data-toc-label="6.   線性對數階"} 線性對數階常出現於巢狀迴圈中，兩層迴圈的時間複雜度分別為 $O(\log n)$ 和 $O(n)$ 。相關程式碼如下： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def linear_log_recur(n: int) -> int: """線性對數階""" if n <= 1: return 1 # 一分為二，子問題的規模減小一半 count = linear_log_recur(n // 2) + linear_log_recur(n // 2) # 當前子問題包含 n 個操作 for _ in range(n): count += 1 return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 線性對數階 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 線性對數階 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 線性對數階 */ int LinearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = LinearLogRecur(n / 2) + LinearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 線性對數階 */ func linearLogRecur(n int) int { if n <= 1 { return 1 } count := linearLogRecur(n/2) + linearLogRecur(n/2) for i := 0; i < n; i++ { count++ } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 線性對數階 */ func linearLogRecur(n: Int) -> Int { if n <= 1 { return 1 } var count = linearLogRecur(n: n / 2) + linearLogRecur(n: n / 2) for _ in stride(from: 0, to: n, by: 1) { count += 1 } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 線性對數階 */ function linearLogRecur(n) { if (n <= 1) return 1; let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (let i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 線性對數階 */ function linearLogRecur(n: number): number { if (n <= 1) return 1; let count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (let i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 線性對數階 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n ~/ 2) + linearLogRecur(n ~/ 2); for (var i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 線性對數階 */ fn linear_log_recur(n: i32) -> i32 { if n <= 1 { return 1; } let mut count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2); for _ in 0..n { count += 1; } return count; } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 線性對數階 */ int linearLogRecur(int n) { if (n <= 1) return 1; int count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); for (int i = 0; i < n; i++) { count++; } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 線性對數階 */ fun linearLogRecur(n: Int): Int { if (n <= 1) return 1 var count = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2) for (i in 0.. 1 count = linear_log_recur(n / 2) + linear_log_recur(n / 2) (0...n).each { count += 1 } count end ``` === "Zig" ```zig title="time_complexity.zig" // 線性對數階 fn linearLogRecur(n: i32) i32 { if (n <= 1) return 1; var count: i32 = linearLogRecur(n / 2) + linearLogRecur(n / 2); var i: i32 = 0; while (i < n) : (i += 1) { count += 1; } return count; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
圖 2-13 展示了線性對數階的生成方式。二元樹的每一層的操作總數都為 $n$ ，樹共有 $\log_2 n + 1$ 層，因此時間複雜度為 $O(n \log n)$ 。 ![線性對數階的時間複雜度](time_complexity.assets/time_complexity_logarithmic_linear.png){ class="animation-figure" }

圖 2-13   線性對數階的時間複雜度

主流排序演算法的時間複雜度通常為 $O(n \log n)$ ，例如快速排序、合併排序、堆積排序等。 ### 7.   階乘階 $O(n!)$ {data-toc-label="7.   階乘階"} 階乘階對應數學上的“全排列”問題。給定 $n$ 個互不重複的元素，求其所有可能的排列方案，方案數量為： $$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1 $$ 階乘通常使用遞迴實現。如圖 2-14 和以下程式碼所示，第一層分裂出 $n$ 個，第二層分裂出 $n - 1$ 個，以此類推，直至第 $n$ 層時停止分裂： === "Python" ```python title="time_complexity.py" def factorial_recur(n: int) -> int: """階乘階（遞迴實現）""" if n == 0: return 1 count = 0 # 從 1 個分裂出 n 個 for _ in range(n): count += factorial_recur(n - 1) return count ``` === "C++" ```cpp title="time_complexity.cpp" /* 階乘階（遞迴實現） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Java" ```java title="time_complexity.java" /* 階乘階（遞迴實現） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "C#" ```csharp title="time_complexity.cs" /* 階乘階（遞迴實現） */ int FactorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (int i = 0; i < n; i++) { count += FactorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Go" ```go title="time_complexity.go" /* 階乘階（遞迴實現） */ func factorialRecur(n int) int { if n == 0 { return 1 } count := 0 // 從 1 個分裂出 n 個 for i := 0; i < n; i++ { count += factorialRecur(n - 1) } return count } ``` === "Swift" ```swift title="time_complexity.swift" /* 階乘階（遞迴實現） */ func factorialRecur(n: Int) -> Int { if n == 0 { return 1 } var count = 0 // 從 1 個分裂出 n 個 for _ in 0 ..< n { count += factorialRecur(n: n - 1) } return count } ``` === "JS" ```javascript title="time_complexity.js" /* 階乘階（遞迴實現） */ function factorialRecur(n) { if (n === 0) return 1; let count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (let i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "TS" ```typescript title="time_complexity.ts" /* 階乘階（遞迴實現） */ function factorialRecur(n: number): number { if (n === 0) return 1; let count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (let i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Dart" ```dart title="time_complexity.dart" /* 階乘階（遞迴實現） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for (var i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Rust" ```rust title="time_complexity.rs" /* 階乘階（遞迴實現） */ fn factorial_recur(n: i32) -> i32 { if n == 0 { return 1; } let mut count = 0; // 從 1 個分裂出 n 個 for _ in 0..n { count += factorial_recur(n - 1); } count } ``` === "C" ```c title="time_complexity.c" /* 階乘階（遞迴實現） */ int factorialRecur(int n) { if (n == 0) return 1; int count = 0; for (int i = 0; i < n; i++) { count += factorialRecur(n - 1); } return count; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="time_complexity.kt" /* 階乘階（遞迴實現） */ fun factorialRecur(n: Int): Int { if (n == 0) return 1 var count = 0 // 從 1 個分裂出 n 個 for (i in 0.. ![階乘階的時間複雜度](time_complexity.assets/time_complexity_factorial.png){ class="animation-figure" }

圖 2-14   階乘階的時間複雜度

請注意，因為當 $n \geq 4$ 時恆有 $n! > 2^n$ ，所以階乘階比指數階增長得更快，在 $n$ 較大時也是不可接受的。 ## 2.3.5   最差、最佳、平均時間複雜度 **演算法的時間效率往往不是固定的，而是與輸入資料的分佈有關**。假設輸入一個長度為 $n$ 的陣列 `nums` ，其中 `nums` 由從 $1$ 至 $n$ 的數字組成，每個數字只出現一次；但元素順序是隨機打亂的，任務目標是返回元素 $1$ 的索引。我們可以得出以下結論。 - 當 `nums = [?, ?, ..., 1]` ，即當末尾元素是 $1$ 時，需要完整走訪陣列，**達到最差時間複雜度 $O(n)$** 。 - 當 `nums = [1, ?, ?, ...]` ，即當首個元素為 $1$ 時，無論陣列多長都不需要繼續走訪，**達到最佳時間複雜度 $\Omega(1)$** 。 “最差時間複雜度”對應函式漸近上界，使用大 $O$ 記號表示。相應地，“最佳時間複雜度”對應函式漸近下界，用 $\Omega$ 記號表示： === "Python" ```python title="worst_best_time_complexity.py" def random_numbers(n: int) -> list[int]: """生成一個陣列，元素為: 1, 2, ..., n ，順序被打亂""" # 生成陣列 nums =: 1, 2, 3, ..., n nums = [i for i in range(1, n + 1)] # 隨機打亂陣列元素 random.shuffle(nums) return nums def find_one(nums: list[int]) -> int: """查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引""" for i in range(len(nums)): # 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) # 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if nums[i] == 1: return i return -1 ``` === "C++" ```cpp title="worst_best_time_complexity.cpp" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ vector randomNumbers(int n) { vector nums(n); // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 使用系統時間生成隨機種子 unsigned seed = chrono::system_clock::now().time_since_epoch().count(); // 隨機打亂陣列元素 shuffle(nums.begin(), nums.end(), default_random_engine(seed)); return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ int findOne(vector &nums) { for (int i = 0; i < nums.size(); i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Java" ```java title="worst_best_time_complexity.java" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ int[] randomNumbers(int n) { Integer[] nums = new Integer[n]; // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 Collections.shuffle(Arrays.asList(nums)); // Integer[] -> int[] int[] res = new int[n]; for (int i = 0; i < n; i++) { res[i] = nums[i]; } return res; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ int findOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.length; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "C#" ```csharp title="worst_best_time_complexity.cs" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ int[] RandomNumbers(int n) { int[] nums = new int[n]; // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 for (int i = 0; i < nums.Length; i++) { int index = new Random().Next(i, nums.Length); (nums[i], nums[index]) = (nums[index], nums[i]); } return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ int FindOne(int[] nums) { for (int i = 0; i < nums.Length; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Go" ```go title="worst_best_time_complexity.go" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ func randomNumbers(n int) []int { nums := make([]int, n) // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for i := 0; i < n; i++ { nums[i] = i + 1 } // 隨機打亂陣列元素 rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) { nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i] }) return nums } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ func findOne(nums []int) int { for i := 0; i < len(nums); i++ { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if nums[i] == 1 { return i } } return -1 } ``` === "Swift" ```swift title="worst_best_time_complexity.swift" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ func randomNumbers(n: Int) -> [Int] { // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } var nums = Array(1 ... n) // 隨機打亂陣列元素 nums.shuffle() return nums } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ func findOne(nums: [Int]) -> Int { for i in nums.indices { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if nums[i] == 1 { return i } } return -1 } ``` === "JS" ```javascript title="worst_best_time_complexity.js" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ function randomNumbers(n) { const nums = Array(n); // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (let i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 for (let i = 0; i < n; i++) { const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1)); const temp = nums[i]; nums[i] = nums[r]; nums[r] = temp; } return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ function findOne(nums) { for (let i = 0; i < nums.length; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] === 1) { return i; } } return -1; } ``` === "TS" ```typescript title="worst_best_time_complexity.ts" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ function randomNumbers(n: number): number[] { const nums = Array(n); // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (let i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 for (let i = 0; i < n; i++) { const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1)); const temp = nums[i]; nums[i] = nums[r]; nums[r] = temp; } return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ function findOne(nums: number[]): number { for (let i = 0; i < nums.length; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] === 1) { return i; } } return -1; } ``` === "Dart" ```dart title="worst_best_time_complexity.dart" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ List randomNumbers(int n) { final nums = List.filled(n, 0); // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (var i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 nums.shuffle(); return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ int findOne(List nums) { for (var i = 0; i < nums.length; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Rust" ```rust title="worst_best_time_complexity.rs" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ fn random_numbers(n: i32) -> Vec { // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } let mut nums = (1..=n).collect::>(); // 隨機打亂陣列元素 nums.shuffle(&mut thread_rng()); nums } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ fn find_one(nums: &[i32]) -> Option { for i in 0..nums.len() { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if nums[i] == 1 { return Some(i); } } None } ``` === "C" ```c title="worst_best_time_complexity.c" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ int *randomNumbers(int n) { // 分配堆積區記憶體（建立一維可變長陣列：陣列中元素數量為 n ，元素型別為 int ） int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int)); // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (int i = 0; i < n; i++) { nums[i] = i + 1; } // 隨機打亂陣列元素 for (int i = n - 1; i > 0; i--) { int j = rand() % (i + 1); int temp = nums[i]; nums[i] = nums[j]; nums[j] = temp; } return nums; } /* 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 */ int findOne(int *nums, int n) { for (int i = 0; i < n; i++) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i; } return -1; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="worst_best_time_complexity.kt" /* 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 */ fun randomNumbers(n: Int): Array { val nums = IntArray(n) // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (i in 0..(n) for (i in 0..): Int { for (i in nums.indices) { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (nums[i] == 1) return i } return -1 } ``` === "Ruby" ```ruby title="worst_best_time_complexity.rb" ### 生成一個陣列，元素為: 1, 2, ..., n ，順序被打亂 ### def random_numbers(n) # 生成陣列 nums =: 1, 2, 3, ..., n nums = Array.new(n) { |i| i + 1 } # 隨機打亂陣列元素 nums.shuffle! end ### 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 ### def find_one(nums) for i in 0...nums.length # 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) # 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) return i if nums[i] == 1 end -1 end ``` === "Zig" ```zig title="worst_best_time_complexity.zig" // 生成一個陣列，元素為 { 1, 2, ..., n }，順序被打亂 fn randomNumbers(comptime n: usize) [n]i32 { var nums: [n]i32 = undefined; // 生成陣列 nums = { 1, 2, 3, ..., n } for (&nums, 0..) |*num, i| { num.* = @as(i32, @intCast(i)) + 1; } // 隨機打亂陣列元素 const rand = std.crypto.random; rand.shuffle(i32, &nums); return nums; } // 查詢陣列 nums 中數字 1 所在索引 fn findOne(nums: []i32) i32 { for (nums, 0..) |num, i| { // 當元素 1 在陣列頭部時，達到最佳時間複雜度 O(1) // 當元素 1 在陣列尾部時，達到最差時間複雜度 O(n) if (num == 1) return @intCast(i); } return -1; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行"
值得說明的是，我們在實際中很少使用最佳時間複雜度，因為通常只有在很小機率下才能達到，可能會帶來一定的誤導性。**而最差時間複雜度更為實用，因為它給出了一個效率安全值**，讓我們可以放心地使用演算法。 從上述示例可以看出，最差時間複雜度和最佳時間複雜度只出現於“特殊的資料分佈”，這些情況的出現機率可能很小，並不能真實地反映演算法執行效率。相比之下，**平均時間複雜度可以體現演算法在隨機輸入資料下的執行效率**，用 $\Theta$ 記號來表示。 對於部分演算法，我們可以簡單地推算出隨機資料分佈下的平均情況。比如上述示例，由於輸入陣列是被打亂的，因此元素 $1$ 出現在任意索引的機率都是相等的，那麼演算法的平均迴圈次數就是陣列長度的一半 $n / 2$ ，平均時間複雜度為 $\Theta(n / 2) = \Theta(n)$ 。 但對於較為複雜的演算法，計算平均時間複雜度往往比較困難，因為很難分析出在資料分佈下的整體數學期望。在這種情況下，我們通常使用最差時間複雜度作為演算法效率的評判標準。 !!! question "為什麼很少看到 $\Theta$ 符號？" 可能由於 $O$ 符號過於朗朗上口，因此我們常常使用它來表示平均時間複雜度。但從嚴格意義上講，這種做法並不規範。在本書和其他資料中，若遇到類似“平均時間複雜度 $O(n)$”的表述，請將其直接理解為 $\Theta(n)$ 。