圖 7-16 二元搜尋樹
## 7.4.1 二元搜尋樹的操作 我們將二元搜尋樹封裝為一個類別 `BinarySearchTree` ，並宣告一個成員變數 `root` ，指向樹的根節點。 ### 1. 查詢節點 給定目標節點值 `num` ，可以根據二元搜尋樹的性質來查詢。如圖 7-17 所示，我們宣告一個節點 `cur` ，從二元樹的根節點 `root` 出發，迴圈比較節點值 `cur.val` 和 `num` 之間的大小關係。 - 若 `cur.val < num` ，說明目標節點在 `cur` 的右子樹中，因此執行 `cur = cur.right` 。 - 若 `cur.val > num` ，說明目標節點在 `cur` 的左子樹中，因此執行 `cur = cur.left` 。 - 若 `cur.val = num` ，說明找到目標節點，跳出迴圈並返回該節點。 === "<1>" { class="animation-figure" } === "<2>" { class="animation-figure" } === "<3>" { class="animation-figure" } === "<4>" { class="animation-figure" }圖 7-17 二元搜尋樹查詢節點示例
二元搜尋樹的查詢操作與二分搜尋演算法的工作原理一致，都是每輪排除一半情況。迴圈次數最多為二元樹的高度，當二元樹平衡時，使用 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下： === "Python" ```python title="binary_search_tree.py" def search(self, num: int) -> TreeNode | None: """查詢節點""" cur = self._root # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while cur is not None: # 目標節點在 cur 的右子樹中 if cur.val < num: cur = cur.right # 目標節點在 cur 的左子樹中 elif cur.val > num: cur = cur.left # 找到目標節點，跳出迴圈 else: break return cur ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_tree.cpp" /* 查詢節點 */ TreeNode *search(int num) { TreeNode *cur = root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != nullptr) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur->val < num) cur = cur->right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur->val > num) cur = cur->left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_tree.java" /* 查詢節點 */ TreeNode search(int num) { TreeNode cur = root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur.val > num) cur = cur.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_tree.cs" /* 查詢節點 */ TreeNode? Search(int num) { TreeNode? cur = root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur.val > num) cur = cur.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "Go" ```go title="binary_search_tree.go" /* 查詢節點 */ func (bst *binarySearchTree) search(num int) *TreeNode { node := bst.root // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 for node != nil { if node.Val.(int) < num { // 目標節點在 cur 的右子樹中 node = node.Right } else if node.Val.(int) > num { // 目標節點在 cur 的左子樹中 node = node.Left } else { // 找到目標節點，跳出迴圈 break } } // 返回目標節點 return node } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_tree.swift" /* 查詢節點 */ func search(num: Int) -> TreeNode? { var cur = root // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while cur != nil { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if cur!.val < num { cur = cur?.right } // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if cur!.val > num { cur = cur?.left } // 找到目標節點，跳出迴圈 else { break } } // 返回目標節點 return cur } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_tree.js" /* 查詢節點 */ search(num) { let cur = this.root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur.val > num) cur = cur.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_tree.ts" /* 查詢節點 */ search(num: number): TreeNode | null { let cur = this.root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur.val > num) cur = cur.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_tree.dart" /* 查詢節點 */ TreeNode? search(int _num) { TreeNode? cur = _root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < _num) cur = cur.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur.val > _num) cur = cur.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 else break; } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_tree.rs" /* 查詢節點 */ pub fn search(&self, num: i32) -> OptionTreeNodeRc { let mut cur = self.root.clone(); // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while let Some(node) = cur.clone() { match num.cmp(&node.borrow().val) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 Ordering::Greater => cur = node.borrow().right.clone(), // 目標節點在 cur 的左子樹中 Ordering::Less => cur = node.borrow().left.clone(), // 找到目標節點，跳出迴圈 Ordering::Equal => break, } } // 返回目標節點 cur } ``` === "C" ```c title="binary_search_tree.c" /* 查詢節點 */ TreeNode *search(BinarySearchTree *bst, int num) { TreeNode *cur = bst->root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != NULL) { if (cur->val < num) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 cur = cur->right; } else if (cur->val > num) { // 目標節點在 cur 的左子樹中 cur = cur->left; } else { // 找到目標節點，跳出迴圈 break; } } // 返回目標節點 return cur; } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_search_tree.kt" /* 查詢節點 */ fun search(num: Int): TreeNode? { var cur = root // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 cur = if (cur._val < num) cur.right // 目標節點在 cur 的左子樹中 else if (cur._val > num) cur.left // 找到目標節點，跳出迴圈 else break } // 返回目標節點 return cur } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_search_tree.rb" ### 查詢節點 ### def search(num) cur = @root # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while !cur.nil? # 目標節點在 cur 的右子樹中 if cur.val < num cur = cur.right # 目標節點在 cur 的左子樹中 elsif cur.val > num cur = cur.left # 找到目標節點，跳出迴圈 else break end end cur end ``` === "Zig" ```zig title="binary_search_tree.zig" // 查詢節點 fn search(self: *Self, num: T) ?*inc.TreeNode(T) { var cur = self.root; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 目標節點在 cur 的右子樹中 if (cur.?.val < num) { cur = cur.?.right; // 目標節點在 cur 的左子樹中 } else if (cur.?.val > num) { cur = cur.?.left; // 找到目標節點，跳出迴圈 } else { break; } } // 返回目標節點 return cur; } ``` ??? pythontutor "視覺化執行" ### 2. 插入節點 給定一個待插入元素 `num` ，為了保持二元搜尋樹“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質，插入操作流程如圖 7-18 所示。 1. **查詢插入位置**：與查詢操作相似，從根節點出發，根據當前節點值和 `num` 的大小關係迴圈向下搜尋，直到越過葉節點（走訪至 `None` ）時跳出迴圈。 2. **在該位置插入節點**：初始化節點 `num` ，將該節點置於 `None` 的位置。 { class="animation-figure" }圖 7-18 在二元搜尋樹中插入節點
在程式碼實現中，需要注意以下兩點。 - 二元搜尋樹不允許存在重複節點，否則將違反其定義。因此，若待插入節點在樹中已存在，則不執行插入，直接返回。 - 為了實現插入節點，我們需要藉助節點 `pre` 儲存上一輪迴圈的節點。這樣在走訪至 `None` 時，我們可以獲取到其父節點，從而完成節點插入操作。 === "Python" ```python title="binary_search_tree.py" def insert(self, num: int): """插入節點""" # 若樹為空，則初始化根節點 if self._root is None: self._root = TreeNode(num) return # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 cur, pre = self._root, None while cur is not None: # 找到重複節點，直接返回 if cur.val == num: return pre = cur # 插入位置在 cur 的右子樹中 if cur.val < num: cur = cur.right # 插入位置在 cur 的左子樹中 else: cur = cur.left # 插入節點 node = TreeNode(num) if pre.val < num: pre.right = node else: pre.left = node ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_tree.cpp" /* 插入節點 */ void insert(int num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (root == nullptr) { root = new TreeNode(num); return; } TreeNode *cur = root, *pre = nullptr; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != nullptr) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur->val == num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur->val < num) cur = cur->right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur->left; } // 插入節點 TreeNode *node = new TreeNode(num); if (pre->val < num) pre->right = node; else pre->left = node; } ``` === "Java" ```java title="binary_search_tree.java" /* 插入節點 */ void insert(int num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (root == null) { root = new TreeNode(num); return; } TreeNode cur = root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.val == num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 插入節點 TreeNode node = new TreeNode(num); if (pre.val < num) pre.right = node; else pre.left = node; } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_tree.cs" /* 插入節點 */ void Insert(int num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (root == null) { root = new TreeNode(num); return; } TreeNode? cur = root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.val == num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 插入節點 TreeNode node = new(num); if (pre != null) { if (pre.val < num) pre.right = node; else pre.left = node; } } ``` === "Go" ```go title="binary_search_tree.go" /* 插入節點 */ func (bst *binarySearchTree) insert(num int) { cur := bst.root // 若樹為空，則初始化根節點 if cur == nil { bst.root = NewTreeNode(num) return } // 待插入節點之前的節點位置 var pre *TreeNode = nil // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 for cur != nil { if cur.Val == num { return } pre = cur if cur.Val.(int) < num { cur = cur.Right } else { cur = cur.Left } } // 插入節點 node := NewTreeNode(num) if pre.Val.(int) < num { pre.Right = node } else { pre.Left = node } } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_tree.swift" /* 插入節點 */ func insert(num: Int) { // 若樹為空，則初始化根節點 if root == nil { root = TreeNode(x: num) return } var cur = root var pre: TreeNode? // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while cur != nil { // 找到重複節點，直接返回 if cur!.val == num { return } pre = cur // 插入位置在 cur 的右子樹中 if cur!.val < num { cur = cur?.right } // 插入位置在 cur 的左子樹中 else { cur = cur?.left } } // 插入節點 let node = TreeNode(x: num) if pre!.val < num { pre?.right = node } else { pre?.left = node } } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_tree.js" /* 插入節點 */ insert(num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (this.root === null) { this.root = new TreeNode(num); return; } let cur = this.root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.val === num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 插入節點 const node = new TreeNode(num); if (pre.val < num) pre.right = node; else pre.left = node; } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_tree.ts" /* 插入節點 */ insert(num: number): void { // 若樹為空，則初始化根節點 if (this.root === null) { this.root = new TreeNode(num); return; } let cur: TreeNode | null = this.root, pre: TreeNode | null = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.val === num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 插入節點 const node = new TreeNode(num); if (pre!.val < num) pre!.right = node; else pre!.left = node; } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_tree.dart" /* 插入節點 */ void insert(int _num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (_root == null) { _root = TreeNode(_num); return; } TreeNode? cur = _root; TreeNode? pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.val == _num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.val < _num) cur = cur.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 插入節點 TreeNode? node = TreeNode(_num); if (pre!.val < _num) pre.right = node; else pre.left = node; } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_tree.rs" /* 插入節點 */ pub fn insert(&mut self, num: i32) { // 若樹為空，則初始化根節點 if self.root.is_none() { self.root = Some(TreeNode::new(num)); return; } let mut cur = self.root.clone(); let mut pre = None; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while let Some(node) = cur.clone() { match num.cmp(&node.borrow().val) { // 找到重複節點，直接返回 Ordering::Equal => return, // 插入位置在 cur 的右子樹中 Ordering::Greater => { pre = cur.clone(); cur = node.borrow().right.clone(); } // 插入位置在 cur 的左子樹中 Ordering::Less => { pre = cur.clone(); cur = node.borrow().left.clone(); } } } // 插入節點 let pre = pre.unwrap(); let node = Some(TreeNode::new(num)); if num > pre.borrow().val { pre.borrow_mut().right = node; } else { pre.borrow_mut().left = node; } } ``` === "C" ```c title="binary_search_tree.c" /* 插入節點 */ void insert(BinarySearchTree *bst, int num) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (bst->root == NULL) { bst->root = newTreeNode(num); return; } TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != NULL) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur->val == num) { return; } pre = cur; if (cur->val < num) { // 插入位置在 cur 的右子樹中 cur = cur->right; } else { // 插入位置在 cur 的左子樹中 cur = cur->left; } } // 插入節點 TreeNode *node = newTreeNode(num); if (pre->val < num) { pre->right = node; } else { pre->left = node; } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_search_tree.kt" /* 插入節點 */ fun insert(num: Int) { // 若樹為空，則初始化根節點 if (root == null) { root = TreeNode(num) return } var cur = root var pre: TreeNode? = null // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur._val == num) return pre = cur // 插入位置在 cur 的右子樹中 cur = if (cur._val < num) cur.right // 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur.left } // 插入節點 val node = TreeNode(num) if (pre?._val!! < num) pre.right = node else pre.left = node } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_search_tree.rb" ### 插入節點 ### def insert(num) # 若樹為空，則初始化根節點 if @root.nil? @root = TreeNode.new(num) return end # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 cur, pre = @root, nil while !cur.nil? # 找到重複節點，直接返回 return if cur.val == num pre = cur # 插入位置在 cur 的右子樹中 if cur.val < num cur = cur.right # 插入位置在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left end end # 插入節點 node = TreeNode.new(num) if pre.val < num pre.right = node else pre.left = node end end ``` === "Zig" ```zig title="binary_search_tree.zig" // 插入節點 fn insert(self: *Self, num: T) !void { // 若樹為空，則初始化根節點 if (self.root == null) { self.root = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T)); return; } var cur = self.root; var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到重複節點，直接返回 if (cur.?.val == num) return; pre = cur; // 插入位置在 cur 的右子樹中 if (cur.?.val < num) { cur = cur.?.right; // 插入位置在 cur 的左子樹中 } else { cur = cur.?.left; } } // 插入節點 var node = try self.mem_allocator.create(inc.TreeNode(T)); node.init(num); if (pre.?.val < num) { pre.?.right = node; } else { pre.?.left = node; } } ``` ??? pythontutor "視覺化執行" 與查詢節點相同，插入節點使用 $O(\log n)$ 時間。 ### 3. 刪除節點 先在二元樹中查詢到目標節點，再將其刪除。與插入節點類似，我們需要保證在刪除操作完成後，二元搜尋樹的“左子樹 < 根節點 < 右子樹”的性質仍然滿足。因此，我們根據目標節點的子節點數量，分 0、1 和 2 三種情況，執行對應的刪除節點操作。 如圖 7-19 所示，當待刪除節點的度為 $0$ 時，表示該節點是葉節點，可以直接刪除。 { class="animation-figure" }圖 7-19 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 0 ）
如圖 7-20 所示，當待刪除節點的度為 $1$ 時，將待刪除節點替換為其子節點即可。 { class="animation-figure" }圖 7-20 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 1 ）
當待刪除節點的度為 $2$ 時，我們無法直接刪除它，而需要使用一個節點替換該節點。由於要保持二元搜尋樹“左子樹 $<$ 根節點 $<$ 右子樹”的性質，**因此這個節點可以是右子樹的最小節點或左子樹的最大節點**。 假設我們選擇右子樹的最小節點（中序走訪的下一個節點），則刪除操作流程如圖 7-21 所示。 1. 找到待刪除節點在“中序走訪序列”中的下一個節點，記為 `tmp` 。 2. 用 `tmp` 的值覆蓋待刪除節點的值，並在樹中遞迴刪除節點 `tmp` 。 === "<1>" { class="animation-figure" } === "<2>" { class="animation-figure" } === "<3>" { class="animation-figure" } === "<4>" { class="animation-figure" }圖 7-21 在二元搜尋樹中刪除節點（度為 2 ）
刪除節點操作同樣使用 $O(\log n)$ 時間，其中查詢待刪除節點需要 $O(\log n)$ 時間，獲取中序走訪後繼節點需要 $O(\log n)$ 時間。示例程式碼如下： === "Python" ```python title="binary_search_tree.py" def remove(self, num: int): """刪除節點""" # 若樹為空，直接提前返回 if self._root is None: return # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 cur, pre = self._root, None while cur is not None: # 找到待刪除節點，跳出迴圈 if cur.val == num: break pre = cur # 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if cur.val < num: cur = cur.right # 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else: cur = cur.left # 若無待刪除節點，則直接返回 if cur is None: return # 子節點數量 = 0 or 1 if cur.left is None or cur.right is None: # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 child = cur.left or cur.right # 刪除節點 cur if cur != self._root: if pre.left == cur: pre.left = child else: pre.right = child else: # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 self._root = child # 子節點數量 = 2 else: # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 tmp: TreeNode = cur.right while tmp.left is not None: tmp = tmp.left # 遞迴刪除節點 tmp self.remove(tmp.val) # 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val ``` === "C++" ```cpp title="binary_search_tree.cpp" /* 刪除節點 */ void remove(int num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (root == nullptr) return; TreeNode *cur = root, *pre = nullptr; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != nullptr) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur->val == num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur->val < num) cur = cur->right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur->left; } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == nullptr) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur->left == nullptr || cur->right == nullptr) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點 TreeNode *child = cur->left != nullptr ? cur->left : cur->right; // 刪除節點 cur if (cur != root) { if (pre->left == cur) pre->left = child; else pre->right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 root = child; } // 釋放記憶體 delete cur; } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 TreeNode *tmp = cur->right; while (tmp->left != nullptr) { tmp = tmp->left; } int tmpVal = tmp->val; // 遞迴刪除節點 tmp remove(tmp->val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur->val = tmpVal; } } ``` === "Java" ```java title="binary_search_tree.java" /* 刪除節點 */ void remove(int num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (root == null) return; TreeNode cur = root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.val == num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left == null || cur.right == null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 TreeNode child = cur.left != null ? cur.left : cur.right; // 刪除節點 cur if (cur != root) { if (pre.left == cur) pre.left = child; else pre.right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 root = child; } } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 TreeNode tmp = cur.right; while (tmp.left != null) { tmp = tmp.left; } // 遞迴刪除節點 tmp remove(tmp.val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val; } } ``` === "C#" ```csharp title="binary_search_tree.cs" /* 刪除節點 */ void Remove(int num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (root == null) return; TreeNode? cur = root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.val == num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left == null || cur.right == null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 TreeNode? child = cur.left ?? cur.right; // 刪除節點 cur if (cur != root) { if (pre!.left == cur) pre.left = child; else pre.right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 root = child; } } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 TreeNode? tmp = cur.right; while (tmp.left != null) { tmp = tmp.left; } // 遞迴刪除節點 tmp Remove(tmp.val!.Value); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val; } } ``` === "Go" ```go title="binary_search_tree.go" /* 刪除節點 */ func (bst *binarySearchTree) remove(num int) { cur := bst.root // 若樹為空，直接提前返回 if cur == nil { return } // 待刪除節點之前的節點位置 var pre *TreeNode = nil // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 for cur != nil { if cur.Val == num { break } pre = cur if cur.Val.(int) < num { // 待刪除節點在右子樹中 cur = cur.Right } else { // 待刪除節點在左子樹中 cur = cur.Left } } // 若無待刪除節點，則直接返回 if cur == nil { return } // 子節點數為 0 或 1 if cur.Left == nil || cur.Right == nil { var child *TreeNode = nil // 取出待刪除節點的子節點 if cur.Left != nil { child = cur.Left } else { child = cur.Right } // 刪除節點 cur if cur != bst.root { if pre.Left == cur { pre.Left = child } else { pre.Right = child } } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 bst.root = child } // 子節點數為 2 } else { // 獲取中序走訪中待刪除節點 cur 的下一個節點 tmp := cur.Right for tmp.Left != nil { tmp = tmp.Left } // 遞迴刪除節點 tmp bst.remove(tmp.Val.(int)) // 用 tmp 覆蓋 cur cur.Val = tmp.Val } } ``` === "Swift" ```swift title="binary_search_tree.swift" /* 刪除節點 */ func remove(num: Int) { // 若樹為空，直接提前返回 if root == nil { return } var cur = root var pre: TreeNode? // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while cur != nil { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if cur!.val == num { break } pre = cur // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if cur!.val < num { cur = cur?.right } // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else { cur = cur?.left } } // 若無待刪除節點，則直接返回 if cur == nil { return } // 子節點數量 = 0 or 1 if cur?.left == nil || cur?.right == nil { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 let child = cur?.left ?? cur?.right // 刪除節點 cur if cur !== root { if pre?.left === cur { pre?.left = child } else { pre?.right = child } } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 root = child } } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 var tmp = cur?.right while tmp?.left != nil { tmp = tmp?.left } // 遞迴刪除節點 tmp remove(num: tmp!.val) // 用 tmp 覆蓋 cur cur?.val = tmp!.val } } ``` === "JS" ```javascript title="binary_search_tree.js" /* 刪除節點 */ remove(num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (this.root === null) return; let cur = this.root, pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.val === num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur === null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left === null || cur.right === null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 const child = cur.left !== null ? cur.left : cur.right; // 刪除節點 cur if (cur !== this.root) { if (pre.left === cur) pre.left = child; else pre.right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 this.root = child; } } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 let tmp = cur.right; while (tmp.left !== null) { tmp = tmp.left; } // 遞迴刪除節點 tmp this.remove(tmp.val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val; } } ``` === "TS" ```typescript title="binary_search_tree.ts" /* 刪除節點 */ remove(num: number): void { // 若樹為空，直接提前返回 if (this.root === null) return; let cur: TreeNode | null = this.root, pre: TreeNode | null = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur !== null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.val === num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < num) cur = cur.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur === null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left === null || cur.right === null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 const child: TreeNode | null = cur.left !== null ? cur.left : cur.right; // 刪除節點 cur if (cur !== this.root) { if (pre!.left === cur) pre!.left = child; else pre!.right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 this.root = child; } } // 子節點數量 = 2 else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 let tmp: TreeNode | null = cur.right; while (tmp!.left !== null) { tmp = tmp!.left; } // 遞迴刪除節點 tmp this.remove(tmp!.val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp!.val; } } ``` === "Dart" ```dart title="binary_search_tree.dart" /* 刪除節點 */ void remove(int _num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (_root == null) return; TreeNode? cur = _root; TreeNode? pre = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.val == _num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.val < _num) cur = cur.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left; } // 若無待刪除節點，直接返回 if (cur == null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left == null || cur.right == null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 TreeNode? child = cur.left ?? cur.right; // 刪除節點 cur if (cur != _root) { if (pre!.left == cur) pre.left = child; else pre.right = child; } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 _root = child; } } else { // 子節點數量 = 2 // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 TreeNode? tmp = cur.right; while (tmp!.left != null) { tmp = tmp.left; } // 遞迴刪除節點 tmp remove(tmp.val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val; } } ``` === "Rust" ```rust title="binary_search_tree.rs" /* 刪除節點 */ pub fn remove(&mut self, num: i32) { // 若樹為空，直接提前返回 if self.root.is_none() { return; } let mut cur = self.root.clone(); let mut pre = None; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while let Some(node) = cur.clone() { match num.cmp(&node.borrow().val) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 Ordering::Equal => break, // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 Ordering::Greater => { pre = cur.clone(); cur = node.borrow().right.clone(); } // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 Ordering::Less => { pre = cur.clone(); cur = node.borrow().left.clone(); } } } // 若無待刪除節點，則直接返回 if cur.is_none() { return; } let cur = cur.unwrap(); let (left_child, right_child) = (cur.borrow().left.clone(), cur.borrow().right.clone()); match (left_child.clone(), right_child.clone()) { // 子節點數量 = 0 or 1 (None, None) | (Some(_), None) | (None, Some(_)) => { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點 let child = left_child.or(right_child); let pre = pre.unwrap(); // 刪除節點 cur if !Rc::ptr_eq(&cur, self.root.as_ref().unwrap()) { let left = pre.borrow().left.clone(); if left.is_some() && Rc::ptr_eq(&left.as_ref().unwrap(), &cur) { pre.borrow_mut().left = child; } else { pre.borrow_mut().right = child; } } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 self.root = child; } } // 子節點數量 = 2 (Some(_), Some(_)) => { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 let mut tmp = cur.borrow().right.clone(); while let Some(node) = tmp.clone() { if node.borrow().left.is_some() { tmp = node.borrow().left.clone(); } else { break; } } let tmpval = tmp.unwrap().borrow().val; // 遞迴刪除節點 tmp self.remove(tmpval); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.borrow_mut().val = tmpval; } } } ``` === "C" ```c title="binary_search_tree.c" /* 刪除節點 */ // 由於引入了 stdio.h ，此處無法使用 remove 關鍵詞 void removeItem(BinarySearchTree *bst, int num) { // 若樹為空，直接提前返回 if (bst->root == NULL) return; TreeNode *cur = bst->root, *pre = NULL; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != NULL) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur->val == num) break; pre = cur; if (cur->val < num) { // 待刪除節點在 root 的右子樹中 cur = cur->right; } else { // 待刪除節點在 root 的左子樹中 cur = cur->left; } } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == NULL) return; // 判斷待刪除節點是否存在子節點 if (cur->left == NULL || cur->right == NULL) { /* 子節點數量 = 0 or 1 */ // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = nullptr / 該子節點 TreeNode *child = cur->left != NULL ? cur->left : cur->right; // 刪除節點 cur if (pre->left == cur) { pre->left = child; } else { pre->right = child; } // 釋放記憶體 free(cur); } else { /* 子節點數量 = 2 */ // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 TreeNode *tmp = cur->right; while (tmp->left != NULL) { tmp = tmp->left; } int tmpVal = tmp->val; // 遞迴刪除節點 tmp removeItem(bst, tmp->val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur->val = tmpVal; } } ``` === "Kotlin" ```kotlin title="binary_search_tree.kt" /* 刪除節點 */ fun remove(num: Int) { // 若樹為空，直接提前返回 if (root == null) return var cur = root var pre: TreeNode? = null // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur._val == num) break pre = cur // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 cur = if (cur._val < num) cur.right // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur.left } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == null) return // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.left == null || cur.right == null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 val child = if (cur.left != null) cur.left else cur.right // 刪除節點 cur if (cur != root) { if (pre!!.left == cur) pre.left = child else pre.right = child } else { // 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 root = child } // 子節點數量 = 2 } else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 var tmp = cur.right while (tmp!!.left != null) { tmp = tmp.left } // 遞迴刪除節點 tmp remove(tmp._val) // 用 tmp 覆蓋 cur cur._val = tmp._val } } ``` === "Ruby" ```ruby title="binary_search_tree.rb" ### 刪除節點 ### def remove(num) # 若樹為空，直接提前返回 return if @root.nil? # 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 cur, pre = @root, nil while !cur.nil? # 找到待刪除節點，跳出迴圈 break if cur.val == num pre = cur # 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if cur.val < num cur = cur.right # 待刪除節點在 cur 的左子樹中 else cur = cur.left end end # 若無待刪除節點，則直接返回 return if cur.nil? # 子節點數量 = 0 or 1 if cur.left.nil? || cur.right.nil? # 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 child = cur.left || cur.right # 刪除節點 cur if cur != @root if pre.left == cur pre.left = child else pre.right = child end else # 若刪除節點為根節點，則重新指定根節點 @root = child end # 子節點數量 = 2 else # 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 tmp = cur.right while !tmp.left.nil? tmp = tmp.left end # 遞迴刪除節點 tmp remove(tmp.val) # 用 tmp 覆蓋 cur cur.val = tmp.val end end ``` === "Zig" ```zig title="binary_search_tree.zig" // 刪除節點 fn remove(self: *Self, num: T) void { // 若樹為空，直接提前返回 if (self.root == null) return; var cur = self.root; var pre: ?*inc.TreeNode(T) = null; // 迴圈查詢，越過葉節點後跳出 while (cur != null) { // 找到待刪除節點，跳出迴圈 if (cur.?.val == num) break; pre = cur; // 待刪除節點在 cur 的右子樹中 if (cur.?.val < num) { cur = cur.?.right; // 待刪除節點在 cur 的左子樹中 } else { cur = cur.?.left; } } // 若無待刪除節點，則直接返回 if (cur == null) return; // 子節點數量 = 0 or 1 if (cur.?.left == null or cur.?.right == null) { // 當子節點數量 = 0 / 1 時， child = null / 該子節點 var child = if (cur.?.left != null) cur.?.left else cur.?.right; // 刪除節點 cur if (pre.?.left == cur) { pre.?.left = child; } else { pre.?.right = child; } // 子節點數量 = 2 } else { // 獲取中序走訪中 cur 的下一個節點 var tmp = cur.?.right; while (tmp.?.left != null) { tmp = tmp.?.left; } var tmp_val = tmp.?.val; // 遞迴刪除節點 tmp self.remove(tmp.?.val); // 用 tmp 覆蓋 cur cur.?.val = tmp_val; } } ``` ??? pythontutor "視覺化執行" ### 4. 中序走訪有序 如圖 7-22 所示，二元樹的中序走訪遵循“左 $\rightarrow$ 根 $\rightarrow$ 右”的走訪順序，而二元搜尋樹滿足“左子節點 $<$ 根節點 $<$ 右子節點”的大小關係。 這意味著在二元搜尋樹中進行中序走訪時，總是會優先走訪下一個最小節點，從而得出一個重要性質：**二元搜尋樹的中序走訪序列是升序的**。 利用中序走訪升序的性質，我們在二元搜尋樹中獲取有序資料僅需 $O(n)$ 時間，無須進行額外的排序操作，非常高效。 { class="animation-figure" }圖 7-22 二元搜尋樹的中序走訪序列
## 7.4.2 二元搜尋樹的效率 給定一組資料，我們考慮使用陣列或二元搜尋樹儲存。觀察表 7-2 ，二元搜尋樹的各項操作的時間複雜度都是對數階，具有穩定且高效的效能。只有在高頻新增、低頻查詢刪除資料的場景下，陣列比二元搜尋樹的效率更高。表 7-2 陣列與搜尋樹的效率對比
圖 7-23 二元搜尋樹退化
## 7.4.3 二元搜尋樹常見應用 - 用作系統中的多級索引，實現高效的查詢、插入、刪除操作。 - 作為某些搜尋演算法的底層資料結構。 - 用於儲存資料流，以保持其有序狀態。