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11.9.   计数排序

「计数排序 Counting Sort」通过统计元素数量来实现排序，通常应用于整数数组。

11.9.1.   简单实现

先来看一个简单的例子。给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，其中的元素都是“非负整数”。计数排序的整体流程如下：

  1. 遍历数组，找出数组中的最大数字，记为 \(m\) ，然后创建一个长度为 \(m + 1\) 的辅助数组 counter ；
  2. 借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums（设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 增加 \(1\) 即可。
  3. 由于 counter 的各个索引天然有序，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字的出现次数，将它们按从小到大的顺序填入 nums 即可。

计数排序流程

Fig. 计数排序流程

counting_sort.java
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.cpp
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.py
def counting_sort_naive(nums: list[int]) -> None:
    """计数排序"""
    # 简单实现，无法用于排序对象
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = 0
    for num in nums:
        m = max(m, num)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    i = 0
    for num in range(m + 1):
        for _ in range(counter[num]):
            nums[i] = num
            i += 1
counting_sort.go
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    for i, num := 0, 0; num < m+1; num++ {
        for j := 0; j < counter[num]; j++ {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}
counting_sort.js
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter = new Array(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.ts
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
function countingSortNaive(nums: number[]): void {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    let i = 0;
    for (let num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (let j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.c
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int nums[], int size) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > m) {
            m = nums[i];
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int *counter = malloc(sizeof(int) * m);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        counter[nums[i]]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.cs
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    foreach (int num in nums) {
        m = Math.Max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    foreach (int num in nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.swift
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums: inout [Int]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    var i = 0
    for num in stride(from: 0, to: m + 1, by: 1) {
        for _ in stride(from: 0, to: counter[num], by: 1) {
            nums[i] = num
            i += 1
        }
    }
}
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
counting_sort.dart
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(List<int> nums) {
  // 1. 统计数组最大元素 m
  int m = 0;
  for (int num in nums) {
    m = max(m, num);
  }
 // 2. 统计各数字的出现次数
  // counter[num] 代表 num 的出现次数
  List<int> counter = List.filled(m + 1, 0);
  for (int num in nums) {
    counter[num]++;
  }
  // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
  int i = 0;
  for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
    for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
      nums[i] = num;
    }
  }
}

计数排序与桶排序的联系

从桶排序的角度看，我们可以将计数排序中的计数数组 counter 的每个索引视为一个桶，将统计数量的过程看作是将各个元素分配到对应的桶中。本质上，计数排序是桶排序在整型数据下的一个特例。

11.9.2.   完整实现

细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。例如，输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的「前缀和」。顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和，即

\[ \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]} \]

前缀和具有明确的意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息非常关键，因为它告诉我们各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行：

  1. 将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处；
  2. 令前缀和 prefix[num] 减小 \(1\) ，从而得到下次放置 num 的索引；

遍历完成后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可。

计数排序步骤

counting_sort_step2

counting_sort_step3

counting_sort_step4

counting_sort_step5

counting_sort_step6

counting_sort_step7

counting_sort_step8

计数排序的实现代码如下所示。

counting_sort.java
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.length;
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.cpp
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(vector<int> &nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--;              // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    nums = res;
}
counting_sort.py
def counting_sort(nums: list[int]) -> None:
    """计数排序"""
    # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = max(nums)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i in range(m):
        counter[i + 1] += counter[i]
    # 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    # 初始化数组 res 用于记录结果
    n = len(nums)
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num  # 将 num 放置到对应索引处
        counter[num] -= 1  # 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    # 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]
counting_sort.go
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
func countingSort(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for _, num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i := 0; i < m; i++ {
        counter[i+1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    n := len(nums)
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        num := nums[i]
        // 将 num 放置到对应索引处
        res[counter[num]-1] = num
        // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
        counter[num]--
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    copy(nums, res)
}
counting_sort.js
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
function countingSort(nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter = new Array(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    const n = nums.length;
    const res = new Array(n);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.ts
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
function countingSort(nums: number[]): void {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = 0;
    for (const num of nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    const counter: number[] = new Array<number>(m + 1).fill(0);
    for (const num of nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (let i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    const n = nums.length;
    const res: number[] = new Array<number>(n);
    for (let i = n - 1; i >= 0; i--) {
        const num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.c
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(int nums[], int size) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        if (nums[i] > m) {
            m = nums[i];
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int *counter = malloc(sizeof(int) * m);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        counter[nums[i]]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int *res = malloc(sizeof(int) * size);
    for (int i = size - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--;              // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    memcpy(nums, res, size * sizeof(int));
}
counting_sort.cs
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    foreach (int num in nums) {
        m = Math.Max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    foreach (int num in nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.Length;
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.swift
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
func countingSort(nums: inout [Int]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i in stride(from: 0, to: m, by: 1) {
        counter[i + 1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
    for i in stride(from: nums.count - 1, through: 0, by: -1) {
        let num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num] -= 1 // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for i in stride(from: 0, to: nums.count, by: 1) {
        nums[i] = res[i]
    }
}
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSort}
counting_sort.dart
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(List<int> nums) {
  // 1. 统计数组最大元素 m
  int m = 0;
  for (int num in nums) {
    m = max(m, num);
  }
  // 2. 统计各数字的出现次数
  // counter[num] 代表 num 的出现次数
  List<int> counter = List.filled(m + 1, 0);
  for (int num in nums) {
    counter[num]++;
  }
  // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
  // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
  for (int i = 0; i < m; i++) {
    counter[i + 1] += counter[i];
  }
  // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
  // 初始化数组 res 用于记录结果
  int n = nums.length;
  List<int> res = List.filled(n, 0);
  for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
    int num = nums[i];
    res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
    counter[num]--;              // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
  }
  // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
  nums.setAll(0, res);
}

11.9.3.   算法特性

  • 时间复杂度 \(O(n + m)\) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 \(n \gg m\) ，时间复杂度趋于 \(O(n)\) 。
  • 空间复杂度 \(O(n + m)\) 、非原地排序 ：借助了长度分别为 \(n\) 和 \(m\) 的数组 res 和 counter 。
  • 稳定排序：由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现稳定排序。实际上，正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果是非稳定的。

11.9.4.   局限性

看到这里，你也许会觉得计数排序非常巧妙，仅通过统计数量就可以实现高效的排序工作。然而，使用计数排序的前置条件相对较为严格。

计数排序只适用于非负整数。若想要将其用于其他类型的数据，需要确保这些数据可以被转换为非负整数，并且在转换过程中不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。

计数排序适用于数据量大但数据范围较小的情况。比如，在上述示例中 \(m\) 不能太大，否则会占用过多空间。而当 \(n \ll m\) 时，计数排序使用 \(O(m)\) 时间，可能比 \(O(n \log n)\) 的排序算法还要慢。

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