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comments: true
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# 11.5. 归并排序
「归并排序 Merge Sort」基于分治思想实现排序，包含“划分”和“合并”两个阶段：
1. **划分阶段**：通过递归不断地将数组从中点处分开，将长数组的排序问题转换为短数组的排序问题；
2. **合并阶段**：当子数组长度为 1 时终止划分，开始合并，持续地将左右两个较短的有序数组合并为一个较长的有序数组，直至结束；
Fig. 归并排序的划分与合并阶段
## 11.5.1. 算法流程
“划分阶段”从顶至底递归地将数组从中点切为两个子数组，直至长度为 1 ；
1. 计算数组中点 `mid` ，递归划分左子数组（区间 `[left, mid]` ）和右子数组（区间 `[mid + 1, right]` ）；
2. 递归执行步骤 `1.` ，直至子数组区间长度为 1 时，终止递归划分；
“合并阶段”从底至顶地将左子数组和右子数组合并为一个有序数组。需要注意的是，从长度为 1 的子数组开始合并，合并阶段中的每个子数组都是有序的。
=== "<1>"
=== "<2>"
=== "<3>"
=== "<4>"
=== "<5>"
=== "<6>"
=== "<7>"
=== "<8>"
=== "<9>"
=== "<10>"
观察发现，归并排序的递归顺序与二叉树的后序遍历相同，具体来看：
- **后序遍历**：先递归左子树，再递归右子树，最后处理根节点。
- **归并排序**：先递归左子数组，再递归右子数组，最后处理合并。
=== "Java"
```java title="merge_sort.java"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
int[] tmp = Arrays.copyOfRange(nums, left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C++"
```cpp title="merge_sort.cpp"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(vector &nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
vector tmp(nums.begin() + left, nums.begin() + right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(vector &nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Python"
```python title="merge_sort.py"
def merge(nums: list[int], left: int, mid: int, right: int) -> None:
"""合并左子数组和右子数组"""
# 左子数组区间 [left, mid]
# 右子数组区间 [mid + 1, right]
# 初始化辅助数组
tmp: list[int] = list(nums[left : right + 1])
# 左子数组的起始索引和结束索引
left_start: int = 0
left_end: int = mid - left
# 右子数组的起始索引和结束索引
right_start: int = mid + 1 - left
right_end: int = right - left
# i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
i: int = left_start
j: int = right_start
# 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in range(left, right + 1):
# 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if i > left_end:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
# 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
elif j > right_end or tmp[i] <= tmp[j]:
nums[k] = tmp[i]
i += 1
# 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else:
nums[k] = tmp[j]
j += 1
def merge_sort(nums: list[int], left: int, right: int) -> None:
"""归并排序"""
# 终止条件
if left >= right:
return # 当子数组长度为 1 时终止递归
# 划分阶段
mid: int = (left + right) // 2 # 计算中点
merge_sort(nums, left, mid) # 递归左子数组
merge_sort(nums, mid + 1, right) # 递归右子数组
# 合并阶段
merge(nums, left, mid, right)
```
=== "Go"
```go title="merge_sort.go"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums []int, left, mid, right int) {
// 初始化辅助数组 借助 copy 模块
tmp := make([]int, right-left+1)
for i := left; i <= right; i++ {
tmp[i-left] = nums[i]
}
// 左子数组的起始索引和结束索引
leftStart, leftEnd := left-left, mid-left
// 右子数组的起始索引和结束索引
rightStart, rightEnd := mid+1-left, right-left
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
i, j := leftStart, rightStart
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k := left; k <= right; k++ {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if i > leftEnd {
nums[k] = tmp[j]
j++
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
} else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
nums[k] = tmp[i]
i++
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j]
j++
}
}
}
/* 归并排序 */
func mergeSort(nums []int, left, right int) {
// 终止条件
if left >= right {
return
}
// 划分阶段
mid := (left + right) / 2
mergeSort(nums, left, mid)
mergeSort(nums, mid+1, right)
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right)
}
```
=== "JavaScript"
```javascript title="merge_sort.js"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums, left, mid, right) {
// 初始化辅助数组
let tmp = nums.slice(left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left,
leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left,
rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let i = leftStart,
j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (let k = left; k <= right; k++) {
if (i > leftEnd) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
nums[k] = tmp[i++];
} else {
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
}
}
}
/* 归并排序 */
function mergeSort(nums, left, right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "TypeScript"
```typescript title="merge_sort.ts"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
function merge(nums: number[], left: number, mid: number, right: number): void {
// 初始化辅助数组
let tmp = nums.slice(left, right + 1);
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left,
leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left,
rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
let i = leftStart,
j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (let k = left; k <= right; k++) {
if (i > leftEnd) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
} else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j]) {
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j++];
}
}
}
/* 归并排序 */
function mergeSort(nums: number[], left: number, right: number): void {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
let mid = Math.floor((left + right) / 2); // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C"
```c title="merge_sort.c"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int *nums, int left, int mid, int right) {
int index;
// 初始化辅助数组
int tmp[right + 1 - left];
for (index = left; index < right + 1; index++) {
tmp[index - left] = nums[index];
}
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int *nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right)
return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "C#"
```csharp title="merge_sort.cs"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
void merge(int[] nums, int left, int mid, int right) {
// 初始化辅助数组
int[] tmp = nums[left..(right + 1)];
// 左子数组的起始索引和结束索引
int leftStart = left - left, leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
int rightStart = mid + 1 - left, rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
int i = leftStart, j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for (int k = left; k <= right; k++) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd)
nums[k] = tmp[j++];
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if (j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j])
nums[k] = tmp[i++];
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else
nums[k] = tmp[j++];
}
}
/* 归并排序 */
void mergeSort(int[] nums, int left, int right) {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
int mid = (left + right) / 2; // 计算中点
mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums, left, mid, right);
}
```
=== "Swift"
```swift title="merge_sort.swift"
/* 合并左子数组和右子数组 */
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
func merge(nums: inout [Int], left: Int, mid: Int, right: Int) {
// 初始化辅助数组
let tmp = Array(nums[left ..< (right + 1)])
// 左子数组的起始索引和结束索引
let leftStart = left - left
let leftEnd = mid - left
// 右子数组的起始索引和结束索引
let rightStart = mid + 1 - left
let rightEnd = right - left
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
var i = leftStart
var j = rightStart
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
for k in left ... right {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if i > leftEnd {
nums[k] = tmp[j]
j += 1
}
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
else if j > rightEnd || tmp[i] <= tmp[j] {
nums[k] = tmp[i]
i += 1
}
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
else {
nums[k] = tmp[j]
j += 1
}
}
}
/* 归并排序 */
func mergeSort(nums: inout [Int], left: Int, right: Int) {
// 终止条件
if left >= right { // 当子数组长度为 1 时终止递归
return
}
// 划分阶段
let mid = (left + right) / 2 // 计算中点
mergeSort(nums: &nums, left: left, right: mid) // 递归左子数组
mergeSort(nums: &nums, left: mid + 1, right: right) // 递归右子数组
// 合并阶段
merge(nums: &nums, left: left, mid: mid, right: right)
}
```
=== "Zig"
```zig title="merge_sort.zig"
// 合并左子数组和右子数组
// 左子数组区间 [left, mid]
// 右子数组区间 [mid + 1, right]
fn merge(nums: []i32, left: usize, mid: usize, right: usize) !void {
// 初始化辅助数组
var mem_arena = std.heap.ArenaAllocator.init(std.heap.page_allocator);
defer mem_arena.deinit();
const mem_allocator = mem_arena.allocator();
var tmp = try mem_allocator.alloc(i32, right + 1 - left);
std.mem.copy(i32, tmp, nums[left..right+1]);
// 左子数组的起始索引和结束索引
var leftStart = left - left;
var leftEnd = mid - left;
// 右子数组的起始索引和结束索引
var rightStart = mid + 1 - left;
var rightEnd = right - left;
// i, j 分别指向左子数组、右子数组的首元素
var i = leftStart;
var j = rightStart;
// 通过覆盖原数组 nums 来合并左子数组和右子数组
var k = left;
while (k <= right) : (k += 1) {
// 若“左子数组已全部合并完”，则选取右子数组元素，并且 j++
if (i > leftEnd) {
nums[k] = tmp[j];
j += 1;
// 否则，若“右子数组已全部合并完”或“左子数组元素 <= 右子数组元素”，则选取左子数组元素，并且 i++
} else if (j > rightEnd or tmp[i] <= tmp[j]) {
nums[k] = tmp[i];
i += 1;
// 否则，若“左右子数组都未全部合并完”且“左子数组元素 > 右子数组元素”，则选取右子数组元素，并且 j++
} else {
nums[k] = tmp[j];
j += 1;
}
}
}
// 归并排序
fn mergeSort(nums: []i32, left: usize, right: usize) !void {
// 终止条件
if (left >= right) return; // 当子数组长度为 1 时终止递归
// 划分阶段
var mid = (left + right) / 2; // 计算中点
try mergeSort(nums, left, mid); // 递归左子数组
try mergeSort(nums, mid + 1, right); // 递归右子数组
// 合并阶段
try merge(nums, left, mid, right);
}
```
合并方法 `merge()` 代码中的难点包括：
- **在阅读代码时，需要特别注意各个变量的含义**。`nums` 的待合并区间为 `[left, right]` ，但由于 `tmp` 仅复制了 `nums` 该区间的元素，因此 `tmp` 对应区间为 `[0, right - left]` 。
- 在比较 `tmp[i]` 和 `tmp[j]` 的大小时，**还需考虑子数组遍历完成后的索引越界问题**，即 `i > leftEnd` 和 `j > rightEnd` 的情况。索引越界的优先级是最高的，如果左子数组已经被合并完了，那么不需要继续比较，直接合并右子数组元素即可。
## 11.5.2. 算法特性
**时间复杂度 $O(n \log n)$** ：划分产生高度为 $\log n$ 的递归树，每层合并的总操作数量为 $n$ ，因此总体时间复杂度为 $O(n \log n)$ 。
**空间复杂度 $O(n)$** ：递归深度为 $\log n$ ，使用 $O(\log n)$ 大小的栈帧空间；合并操作需要借助辅助数组实现，使用 $O(n)$ 大小的额外空间；因此是“非原地排序”。
在合并过程中，相等元素的次序保持不变，因此归并排序是“稳定排序”。
## 11.5.3. 链表排序 *
归并排序在排序链表时具有显著优势，空间复杂度可以优化至 $O(1)$ ，原因如下：
- 由于链表仅需改变指针就可实现节点的增删操作，因此合并阶段（将两个短有序链表合并为一个长有序链表）无需创建辅助链表。
- 通过使用“迭代划分”替代“递归划分”，可省去递归使用的栈帧空间；
具体实现细节比较复杂，有兴趣的同学可以查阅相关资料进行学习。