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11.6.   计数排序

前面介绍的几种排序算法都属于 基于比较的排序算法，即通过比较元素之间的大小来实现排序，此类排序算法的时间复杂度无法超越 \(O(n \log n)\) 。接下来，我们将学习一种 非比较排序算法 ，名为「计数排序 Counting Sort」，其时间复杂度可以达到 \(O(n)\) 。

11.6.1.   简单实现

先看一个简单例子。给定一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，元素皆为 非负整数。计数排序的整体流程为：

  1. 遍历记录数组中的最大数字，记为 \(m\) ，并建立一个长度为 \(m + 1\) 的辅助数组 counter ；
  2. 借助 counter 统计 nums 中各数字的出现次数，其中 counter[num] 对应数字 num 的出现次数。统计方法很简单，只需遍历 nums （设当前数字为 num），每轮将 counter[num] 自增 \(1\) 即可。
  3. 由于 counter 的各个索引是天然有序的，因此相当于所有数字已经被排序好了。接下来，我们遍历 counter ，根据各数字的出现次数，将各数字按从小到大的顺序填入 nums 即可。

观察发现，计数排序名副其实，是通过“统计元素数量”来实现排序的。

计数排序流程

Fig. 计数排序流程

counting_sort.java
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.cpp
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
void countingSortNaive(vector<int>& nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    int i = 0;
    for (int num = 0; num < m + 1; num++) {
        for (int j = 0; j < counter[num]; j++, i++) {
            nums[i] = num;
        }
    }
}
counting_sort.py
def counting_sort_naive(nums: List[int]) -> None:
    """ 计数排序 """
    # 简单实现，无法用于排序对象
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = 0
    for num in nums:
        m = max(m, num)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    i = 0
    for num in range(m + 1):
        for _ in range(counter[num]):
            nums[i] = num
            i += 1
counting_sort.go
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    for i, num := 0, 0; num < m+1; num++ {
        for j := 0; j < counter[num]; j++ {
            nums[i] = num
            i++
        }
    }
}
counting_sort.js
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
counting_sort.ts
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
counting_sort.c
[class]{}-[func]{countingSortNaive}
counting_sort.cs
[class]{counting_sort}-[func]{countingSortNaive}
counting_sort.swift
/* 计数排序 */
// 简单实现，无法用于排序对象
func countingSortNaive(nums: inout [Int]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 遍历 counter ，将各元素填入原数组 nums
    var i = 0
    for num in stride(from: 0, to: m + 1, by: 1) {
        for _ in stride(from: 0, to: counter[num], by: 1) {
            nums[i] = num
            i += 1
        }
    }
}
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSortNaive}

11.6.2.   完整实现

细心的同学可能发现，如果输入数据是对象，上述步骤 3. 就失效了。例如输入数据是商品对象，我们想要按照商品价格（类的成员变量）对商品进行排序，而上述算法只能给出价格的排序结果。

那么如何才能得到原数据的排序结果呢？我们首先计算 counter 的「前缀和」，顾名思义，索引 i 处的前缀和 prefix[i] 等于数组前 i 个元素之和，即

\[ \text{prefix}[i] = \sum_{j=0}^i \text{counter[j]} \]

前缀和具有明确意义，prefix[num] - 1 代表元素 num 在结果数组 res 中最后一次出现的索引。这个信息很关键，因为其给出了各个元素应该出现在结果数组的哪个位置。接下来，我们倒序遍历原数组 nums 的每个元素 num ，在每轮迭代中执行：

  1. 将 num 填入数组 res 的索引 prefix[num] - 1 处；
  2. 令前缀和 prefix[num] 自减 \(1\) ，从而得到下次放置 num 的索引；

完成遍历后，数组 res 中就是排序好的结果，最后使用 res 覆盖原数组 nums 即可；

counting_sort_step1

counting_sort_step2

counting_sort_step3

counting_sort_step4

counting_sort_step5

counting_sort_step6

counting_sort_step7

counting_sort_step8

计数排序的实现代码如下所示。

counting_sort.java
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(int[] nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = Math.max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    int[] counter = new int[m + 1];
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.length;
    int[] res = new int[n];
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = res[i];
    }
}
counting_sort.cpp
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
void countingSort(vector<int>& nums) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    int m = 0;
    for (int num : nums) {
        m = max(m, num);
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    vector<int> counter(m + 1, 0);
    for (int num : nums) {
        counter[num]++;
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        counter[i + 1] += counter[i];
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    int n = nums.size();
    vector<int> res(n);
    for (int i = n - 1; i >= 0; i--) {
        int num = nums[i];
        res[counter[num] - 1] = num; // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num]--; // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    nums = res;
}
counting_sort.py
def counting_sort(nums: List[int]) -> None:
    """ 计数排序 """
    # 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
    # 1. 统计数组最大元素 m
    m = max(nums)
    # 2. 统计各数字的出现次数
    # counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter = [0] * (m + 1)
    for num in nums:
        counter[num] += 1
    # 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    # 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i in range(m):
        counter[i + 1] += counter[i]
    # 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    # 初始化数组 res 用于记录结果
    n = len(nums)
    res = [0] * n
    for i in range(n - 1, -1, -1):
        num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num  # 将 num 放置到对应索引处
        counter[num] -= 1  # 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    # 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for i in range(n):
        nums[i] = res[i]
counting_sort.go
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
func countingSort(nums []int) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    m := 0
    for num := range nums {
        if num > m {
            m = num
        }
    }
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    counter := make([]int, m+1)
    for _, num := range nums {
        counter[num]++
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i := 0; i < m; i++ {
        counter[i+1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    n := len(nums)
    res := make([]int, n)
    for i := n - 1; i >= 0; i-- {
        num := nums[i]
        // 将 num 放置到对应索引处
        res[counter[num]-1] = num
        // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
        counter[num]--
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    copy(nums, res)
}
counting_sort.js
[class]{}-[func]{countingSort}
counting_sort.ts
[class]{}-[func]{countingSort}
counting_sort.c
[class]{}-[func]{countingSort}
counting_sort.cs
[class]{counting_sort}-[func]{countingSort}
counting_sort.swift
/* 计数排序 */
// 完整实现，可排序对象，并且是稳定排序
func countingSort(nums: inout [Int]) {
    // 1. 统计数组最大元素 m
    let m = nums.max()!
    // 2. 统计各数字的出现次数
    // counter[num] 代表 num 的出现次数
    var counter = Array(repeating: 0, count: m + 1)
    for num in nums {
        counter[num] += 1
    }
    // 3. 求 counter 的前缀和，将“出现次数”转换为“尾索引”
    // 即 counter[num]-1 是 num 在 res 中最后一次出现的索引
    for i in stride(from: 0, to: m, by: 1) {
        counter[i + 1] += counter[i]
    }
    // 4. 倒序遍历 nums ，将各元素填入结果数组 res
    // 初始化数组 res 用于记录结果
    var res = Array(repeating: 0, count: nums.count)
    for i in stride(from: nums.count - 1, through: 0, by: -1) {
        let num = nums[i]
        res[counter[num] - 1] = num // 将 num 放置到对应索引处
        counter[num] -= 1 // 令前缀和自减 1 ，得到下次放置 num 的索引
    }
    // 使用结果数组 res 覆盖原数组 nums
    for i in stride(from: 0, to: nums.count, by: 1) {
        nums[i] = res[i]
    }
}
counting_sort.zig
[class]{}-[func]{countingSort}

11.6.3.   算法特性

时间复杂度 \(O(n + m)\) ：涉及遍历 nums 和遍历 counter ，都使用线性时间。一般情况下 \(n \gg m\) ，此时使用线性 \(O(n)\) 时间。

空间复杂度 \(O(n + m)\) ：数组 res 和 counter 长度分别为 \(n\) , \(m\) 。

非原地排序：借助了辅助数组 counter 和结果数组 res 的额外空间。

稳定排序：倒序遍历 nums 保持了相等元素的相对位置。

非自适应排序：与元素分布无关。

为什么是稳定排序？

由于向 res 中填充元素的顺序是“从右向左”的，因此倒序遍历 nums 可以避免改变相等元素之间的相对位置，从而实现“稳定排序”；其实正序遍历 nums 也可以得到正确的排序结果，但结果“非稳定”。

11.6.4.   局限性

看到这里，你也许会觉得计数排序太妙了，咔咔一通操作，时间复杂度就下来了。然而，使用技术排序的前置条件比较苛刻。

计数排序只适用于非负整数。若想要用在其他类型数据上，则要求该数据必须可以被转化为非负整数，并且不能改变各个元素之间的相对大小关系。例如，对于包含负数的整数数组，可以先给所有数字加上一个常数，将全部数字转化为正数，排序完成后再转换回去即可。

计数排序只适用于数据范围不大的情况。比如，上述示例中 \(m\) 不能太大，否则占用空间太多；而当 \(n \ll m\) 时，计数排序使用 \(O(m)\) 时间，有可能比 \(O(n \log n)\) 的排序算法还要慢。

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